2.3.4 平面向量共线的坐标表示学案

2.3.4　平面向量共线的坐标表示
内容要求　1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件(重点).2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，掌握三点共线的判断方法(重、难点)．
知识点　平面向量共线的坐标表示
1．条件：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．
2．结论：当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线．
【预习评价】
(1)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则下列关系式一定成立的是(　　)
A．x1y1－x2y2＝0 B．x1x2－y1y2＝0
C．＝ D．x1y2－x2y1＝0
解析　选项C中，若y1y2＝0，则等式不成立，由向量共线的条件可知选D．
答案　D
(2) 已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________．
解析　∵a∥b，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3，当λ＝－3时，b＝(－1，－3)，a＝－2b，∴a∥b成立．
答案　－3
题型一　向量共线的判定及应用
【例1】　(1)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(，－)
解析　A中向量e1为零向量，∴e1∥e2；C中e1＝e2，
∴e1∥e2；D中e1＝4e2，∴e1∥e2，故选B．
答案　B
(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－．
此时ka＋b＝＝－(a－3b)，
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
规律方法　1.向量共线的判定方法
2．利用向量平行的条件求参数值的思路
(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．
(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解．
【训练1】　若a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，则锐角α＝________．
解析　∵a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，a∥b，
∴sin α－3cos α＝0，即tan α＝，故α＝．
答案　
题型二　三点共线问题
【例2】　(1)已知＝(k,2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________．
解析　＝－＝(1－k,2k－2)，＝－＝(1－2k，－3)，由题意可知∥，所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得k＝－(k＝1不合题意舍去)．
答案　－
(2)已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
解　因为＝(2,4)，＝(1,2)，又因为2×2－4×1＝0，
所以∥，因为＝(2,6)，＝(2,4)，所以2×4－2×6≠0，
所以A，B，C三点不共线，所以直线AB与直线CD不重合，所以AB∥CD．
规律方法　三点共线的条件及判断方法
(1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则A，B，C三点共线的条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0．
(2)若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法：
①直接利用上述条件，计算(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)·(y2－y1)是否为0；
②任取两点构成向量，计算出两向量，如，，再通过两向量共线的条件进行判断．
【训练2】　若A(－1，－2)，B(4,8)，C(5，x)且A，B，C三点共线，求x的值．
解　由条件得＝(5,10)，＝(6，x＋2)，因为A，B，C三点共线，所以∥，即5(x＋2)－10×6＝0，解得x＝10.
互动
探究
　题型三　共线向量的应用
【探究1】　已知A(1,3)，B(－1，－2)，＝，求点C的坐标．
解　设点C的坐标为(x，y)，则＝(x－1，y－3)，＝(－2，－5)，
由＝得(x－1，y－3)＝(－2，－5)，即(x－1，y－3)＝(－，－)，
所以解得
则点C的坐标是(，)．
【探究2】　已知A(0,5)，D(2，)，M(x，y)，若点M在直线AD上，那么x，y应满足什么关系？
解　由题意可得＝(2，－)，＝(x，y－5)，因为点M在直线AD上，即A、D、M三点共线，所以∥，所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20．
【探究3】　在△ABC中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC交于点M，求点M的坐标．
解　设点C坐标为(xC，yC)，因为点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，所以＝(0,5)，＝(4,3)．因为＝(xC，yC)＝＝，所以点C.同理点D(2，)．
设点M的坐标为(x，y)，则＝(x，y－5)，而＝，
因为A，M，D三点共线，所以与共线．
所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20．
而＝，而＝＝．
因为C，M，B三点共线，所以与共线．
所以x－4＝0，即7x－16y＝－20．
由得
所以点M的坐标为．
规律方法　由向量共线求点的坐标的方法步骤
课堂达标
1．下列各组向量中，共线的是(　　)
A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
解析　选项A中，3×4－(－2)×6≠0，则a与b不共线；同理，B，C中的两向量不共线；选项D中，2×6－(－3)×(－4)＝0，则有a∥b．
答案　D
2．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，则实数x的值为(　　)
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析　因为a∥b，所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3．
答案　D
3．若点A(－2,0)，B(3,4)，C(2，a)共线，则a＝________．
解析　＝(5,4)，＝(4，a)，因为A，B，C三点共线，所以∥，故5a－16＝0，所以a＝．
答案　
4．与向量a＝(－3,4)平行的单位向量是________．
解析　设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，则
∴或
答案　(－，)或(，－)
5．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，求m的值．
解　ma＋4b＝(2m,3m)＋(－4,8)＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，因为ma＋4b与a－2b共线，所以4(3m＋8)－(－1)×(2m－4)＝0，得m＝－2．
课堂小结
1．两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)当b≠0时，a＝λb．
(2)x1y2－x2y1＝0．
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．
2．两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．
基础过关
1．已知向量a＝(3,5)，b＝(cos α，sin α)，且a∥b，则tan α等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析　由a∥b，得5cos α－3sin α＝0，即tan α＝．
答案　B
2．向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　)
A．(4,8) B．(8,4)
C．(－4，－8) D．(－4,8)
解析　由a∥b可排除A，B，C，故选D．
答案　D
3．向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为(　　)
A．－2 B．11
C．－2或11 D．2或11
解析　＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)，由题知∥，故(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，解得k＝11或k＝－2．
答案　C
4．设向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，若向量λa＋b与向量c＝(6,2)共线，则实数λ＝________．
解析　λa＋b＝(λ，0)＋(1,1)＝(λ＋1,1)，因为(λa＋b)∥c，所以2(λ＋1)－6＝0，解得λ＝2．
答案　2
5．已知A(2,0)，B(0,2)，若＝，则点C的坐标是________．
解析　设C(x，y)，则＝(x－2，y)，＝(－2,2)，
所以(x－2，y)＝(－，)，得x＝，y＝，即C(，)．
答案　(，)
6．已知两点A(3，－4)，B(－9,2)在直线AB上，求一点P使||＝||．
解　设点P的坐标为(x，y)，
①若点P在线段AB上，则＝，
∴(x－3，y＋4)＝(－9－x,2－y)．
解得x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2)．
②若点P在线段BA的延长线上，则＝－，
∴(x－3，y＋4)＝－(－9－x,2－y)．
解得x＝7，y＝－6，∴P(7，－6)．
综上可得点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．
7．如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标．
解　设P(x，y)，则＝(x－1，y)，
＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0)．
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ)．
又∵＝－＝(5λ－4,4λ)，
由于与共线得，(5λ－4)6＋12λ＝0．
解之得λ＝，∴＝＝，
又＝＋＝(1,0)＋(，)＝(，)，
∴P的坐标为．
能力提升
8．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　)
A．k＝－2 B．k＝
C．k＝1 D．k＝－1
解析　因为A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线，则∥，又＝－＝(1,2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1．
答案　C
9．已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中，正确的个数是(　　)
①存在实数x，使a∥b；
②存在实数x，使(a＋b)∥a；
③存在实数x，m，使(ma＋b)∥a；
④存在实数x，m，使(ma＋b)∥b．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析　只有④正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b．
答案　B
10．已知a＝(1,1)，b＝(x2，x＋λ)且a∥b，则实数λ的最小值是________．
解析　因为a∥b，所以x2－x－λ＝0，即λ＝x2－x＝(x－)2－≥－．
答案　－
11．平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至E，使||＝||，则点E的坐标为________．
解析　∵＝，
∴A为BC的中点，＝，
设C(xC，yC)，则(xC－2，yC＋1)＝(1，－5)，
∴C点的坐标为(3，－6)，
又||＝||，且E在DC的延长线上，
∴＝－，
设E(x，y)，
则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，
得解得
故点E的坐标是(，－7)．
答案　(，－7)
12．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)．
(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件；
(2)若＝2，求x，y的值．
解　(1)因为点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线．
由题意得
＝(3,1)，＝(2－x,1－y)，
所以3(1－y)＝2－x．
所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0．
(2)＝(－x－1，－y)，
由＝2得
(2－x,1－y)＝2(－x－1，－y)，
所以解得
13．(选做题)已知ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF＝AE．
证明　建立如图所示的直角坐标系，为了研究方便．
不妨设正方形ABCD的边长为1，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x，y)，这里y>0，
于是＝(1,1)，＝(x－1，y)．
∵∥，
∴1×y－(x－1)×1＝0?y＝x－1. ①
∵AC＝OC＝CE，
∴CE2＝OC2?(x－1)2＋(y－1)2＝2. ②
由y>0，联立①②解得
即E．
AE＝OE＝＝＋1．
设F(t,0)，则＝(1－t,1)，＝．
∵F，C，E三点共线，∴∥．
∴(1－t)×－×1＝0，解得t＝－1－．
∴AF＝OF＝1＋，∴AF＝AE．