2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学案

§2.4　平面向量的数量积
2.4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义
内容要求　1.了解平面向量数量积的物理背景.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义(重点、难点).3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直(重点)．
知识点1平面向量的数量积及其几何意义
1．平面向量数量积的定义
条件
非零向量a与b，a与b的夹角为θ
结论
数量|a||b|cos θ叫向量a与b的数量积(或内积)
记法
向量a与b的数量积记作a·b，
即a·b＝|a||b|cos θ
规定
零向量与任一向量的数量积为0
2．数量积的几何意义
(1)投影的概念
b在a的方向上的投影为|b|cos θ，a在b的方向上的投影为|a|cos θ．
(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
【预习评价】
已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角θ＝120°，则a·b＝________，a在b方向上的投影为________．
解析　a·b＝|a||b|cos θ＝1×2×(－)＝－1，
a在b方向上的投影为|a|cos θ＝1×(－)＝－．
答案　－1　－
知识点2　向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，
(1)a⊥b?a·b＝0　．
(2)当a∥b时，a·b＝
(3)a·a＝|a|2　或|a|＝　．
(4)cos θ＝　．
(5)|a·b|≤　|a||b|．
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a·b<0，则a与b的夹角为钝角．(　　)
(2)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．(　　)
(3)若a·b≠0，则a与b不垂直．(　　)
提示　(1)×，当a与b的夹角是180°时，a·b＝－|a||b|<0，但180°不是钝角．
(2)√，若|a·b|＝|a||b|，则|cos θ|＝1，cos θ＝±1，θ＝180°或0°，则a∥b．
(3)√，由a⊥b?a·b＝0知其正确性．
知识点3　向量数量积的运算律
1．a·b＝b·a　(交换律)．
2．(λa)·b＝λ(a·b)　＝a·(λb)　(结合律)．
3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c　(分配律)．
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a·(b·c)＝(a·b)·c.(　　)
(2)·＋·＝·(＋)＝·.(　　)
提示　(1)×，三个向量的数量积的结合律不成立，即a·(b·c)≠(a·b)·c．
(2)√　由数量积的分配律可知其正确性．
题型一　平面向量数量积的计算
【例1】　(1)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)
A．－ B．
C． D．
解析　∵D，E分别是AB，BC的中点，且DE＝2EF，
∴·＝(＋)·
＝(－＋)·
＝(－＋)·
＝(－＋－)·
＝(－＋)·
＝－·＋2
＝－||·||cos 60°＋×||2＝－×1×1×＋＝．
答案　B
(2)已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)．
解　(2a＋3b)·(3a－2b)
＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2
＝6|a|2＋5a·b－6|b|2
＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72
＝－268．
规律方法　求平面向量数量积的两个方法
(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ．
运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b．
【训练1】　在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E是CD的中点，求·的值．
解　·＝(＋)·(－)＝2－2－·＝1－×4－×2×1×
＝－．
题型二　与向量模有关的问题
【例2】　已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为.求|a＋b|，|a－b|．
解　a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝．
|a＋b|＝＝
＝＝5．
|a－b|＝＝
＝＝5．
规律方法　求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
【训练2】　已知|a|＝1，|b|＝3，且|a－b|＝2，求|a＋b|．
解　方法一　∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1＋9－2a·b＝4，
∴a·b＝3．
∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋9＋2×3＝16，∴|a＋b|＝4．
方法二　∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
∴|a－b|2＋|a＋b|2＝2a2＋2b2＝2×1＋2×9＝20．
又|a－b|＝2，
∴|a＋b|2＝16，
∴|a＋b|＝4.
考查
方向
　题型三　两个向量的夹角与垂直问题
方向1　求两个向量的夹角
【例3-1】　设n和m是两个单位向量，其夹角是，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
解　∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是，
∴m·n＝|m||n|cos ＝1×1×＝．
|a|＝|2m＋n|＝＝
＝ ＝，
|b|＝|2n－3m|＝
＝
＝ ＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－．
设a与b的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝－．
又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为．
方向2　与垂直有关的问题
【例3-2】　已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)
A．4 B．－4
C． D．－
解析　由题意知，cos〈m，n〉＝＝＝，所以m·n＝|n|2＝n2，因为n·(tm＋n)＝0，所以tm·n＋n2＝0，即tn2＋n2＝0，所以t＝－4．
答案　B
规律方法　求向量夹角的基本步骤及注意事项
(1)步骤：
(2)注意事项：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．
【训练3】　已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，求a与b的夹角．
解　∵(a＋2b)·(a－b)＝|a|2－2|b|2＋a·b＝－2.|a|＝|b|＝2，∴a·b＝2，设a与b的夹角为θ，∴cos θ＝＝，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝．
课堂达标
1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是(　　)
A．|a|2＝a2 B．|a·b|＝|a||b|
C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a||b|
解析　选项B中，|a·b|＝|a||b||cos θ|，其中θ为a与b的夹角．
答案　B
2．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角θ为45°，则m·n＝(　　)
A．12 B．12
C．－12 D．－12
解析　m·n＝|m||n|cos θ＝4×6×＝12．
答案　B
3．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
解析　|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2|a|·|2b|·cos 60°＋(2|b|)2＝22＋2×2×2×＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a＋2b|＝＝2.
答案　2
4．已知|a|＝1，|b|＝，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是________．
解析　∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－a2＝－1，∴cos θ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，∴θ＝．
答案　
5．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，求：(1)c·d；(2)|c＋2d|．
解　(1)c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b
＝2×4－2×1＋3×2×1×＝9．
(2)|c＋2d|2＝(4a＋3b)2＝16a2＋9b2＋24a·b
＝16×4＋9×1＋24×2×1×＝97，
∴|c＋2d|＝．
课堂小结
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉c是一个与c共线的向量，而a·(b·c)＝a·|b|·|c|cos〈b，c〉是一个与a共线的向量，两者一般不同．
3．我们把|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影，其中θ为向量a与b的夹角．由数量积的定义a·b＝|a||b|cos θ可得：
|a|cos θ＝；|b|cos θ＝．
4．向量b在a上的投影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分．
基础过关
1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是(　　)
A．－4 B．4
C．－2 D．2
解析　根据投影的定义，设a，b的夹角为θ，可得向量a在b方向上的投影是|a|cos θ＝＝－4，故选A．
答案　A
2．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|＝(　　)
A．16 B．256
C．8 D．64
解析　∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16．
答案　A
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于(　　)
A． B．－
C．± D．1
解析　∵(3a＋2b)·(λa－b)
＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2
＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0.∴λ＝．
答案　A
4．已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1.则a与b的夹角θ为________．
解析　因为(a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b|＝1，
所以6a·b－8＋5＝0，即a·b＝．
又a·b＝|a||b|cos θ＝cos θ，所以cos θ＝，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝．
答案　
5．已知向量⊥，||＝3，则·＝________．
解析　∵⊥，∴·＝·(－)＝·－2＝·－9＝0，即·＝9．
答案　9
6．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，求β的余弦值．
解　因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b|＝2，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，所以cos β＝＝＝．
7．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．
解　(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－3b2－4a·b＝4×16－3×9－4a·b＝61，解得a·b＝－6，
∴|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋9－12＝13，∴|a＋b|＝．
(2)设a与a＋b的夹角为θ，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝10，
∴cos θ＝＝，则a在a＋b方向上的投影为|a|cos θ＝4×＝．
能力提升
8．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)
A．20 B．15
C．9 D．6
解析　由题知·＝(＋)·(－)＝(＋)·(＋－－)＝(＋)·(－)＝2－2＝×36－×16＝9．
答案　C
9．若非零向量a·b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b的夹角的余弦值是(　　)
A．－ B．
C． D．－
解析　由|a|＝|a＋2b|得a2＝a2＋4b2＋4a·b，即a·b＝－b2，所以cos θ＝＝
＝－．
答案　A
10．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．
解析　b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，
∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，
∴0≤|b|≤1．
答案　[0,1]
11．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为________．
解析　如图，由题意可知，＝＋，＝－＋．
因为·＝1，
所以(＋)·＝1，
即2＋·－2＝1.①
因为||＝1，∠BAD＝60°，
所以①式可化为1＋||－||2＝1．
解得||＝0(舍去)或||＝，
所以AB的长为．
答案　
12．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°．
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
(1)证明　因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之间夹角均为120°，
所以(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|·cos 120°＝0，
所以(a－b)⊥c．
(2)解　因为|ka＋b＋c|>1，
所以(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1．
因为a·b＝a·c＝b·c
＝cos 120°＝－，
所以k2－2k>0，解得k<0或k>2，
即k的取值范围是{k|k<0或k>2}．
13．(选做题)Rt△ABC中斜边BC＝a，PQ是以点A为圆心、a为半径的圆上的一条直径，向量与的夹角为θ.当θ取何值时，·有最大值，并求此最大值．
解　·＝(＋)·(＋)
＝·
＝·＋(－)·－·
＝0＋·－a2
＝||·||cos θ－a2
＝a2(cos θ－1)，
当θ＝0°，即和同方向时，·有最大值0．