2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案
文档属性
| 名称 | 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 138.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-16 11:05:08 | ||
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文档简介
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
内容要求 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算(重点、难点).2.能根据向量的坐标计算向量的模、并推导平面内两点间的距离公式(重点).3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直(重点)．
知识点1两个向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
数量积
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
即：a·b＝x1x2＋y1y2
向量垂直
a⊥b?x1x2＋y1y2＝0
【预习评价】
(1)已知a＝(－1,3)，b＝(2,4)，则a·b的值是________．
解析 a·b＝(－1)×2＋3×4＝10．
答案 10
(2)已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，则x＝________．
解析 由题意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2．
答案 2
知识点2与向量的模、夹角相关的三个重要公式
1．向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝．
2．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝．
3．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则
cos θ＝＝．
【预习评价】
(1)已知向量a＝(4，－1)，b＝(x,3)，若|a|＝|b|，则x＝________．
解析 由|a|＝|b|得＝，解得x＝±2．
答案 ±2
(2)已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为________．
解析 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝．
答案
题型一 数量积的坐标运算
【例1】 已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝( )
A．10 B．－10
C．3 D．－3
解析 a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．
答案 B
规律方法 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
①|a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2．
【训练1】 已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10．
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c．
解 (1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
题型二 平面向量的模
【例2】 (1)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A． B．
C．2 D．10
解析 因为a⊥c，b∥c，所以解得
所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，所以|a＋b|＝．
答案 B
(2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．
解析 由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)，
则a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ)．
令y＝|a＋b|＋|a－b|
＝＋
＝＋，
则y2＝10＋2∈[16，20]．
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝＝2，
(|a＋b|＋|a－b|)min＝＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2.
答案 4 2
规律方法 求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则|a|＝．
【训练2】 已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝( )
A． B．
C．5 D．25
解析 ∵a＝(2,1)，∴a2＝5，
又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50，
即a2＋2a·b＋b2＝50，
∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5．
答案 C
考查
方向
题型三 平面向量的夹角和垂直问题
方向1 向量的夹角问题
【例3-1】 已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析 由a·b＝－10，得(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，
∴c·a＝－，设a与c的夹角为θ，cos θ＝＝＝－．
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案 C
方向2 向量垂直问题
【例3-2】 已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(a＋c)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A．(，) B．(－，)
C．(，) D．(－，－)
解析 设c＝(x，y)，则a＋c＝(x＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)，
由题意知
解得
即c＝(－，－)．
答案 D
规律方法 解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法：先利用平面向量的坐标表示出这两个向量的数量积a·b及|a||b|，再由cos θ＝＝直接求出cos θ．
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°．
【训练3】 已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．
解 设a与b的夹角为θ，
则a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ．
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，
所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－．
(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，
所以a·b<0且a与b不反向．
由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．
所以λ的取值范围为．
(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1，
所以a·b>0且a，b不同向．
由a·b>0，得λ>－，由a与b同向得λ＝2．
所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)．
课堂达标
1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x＝( )
A．3 B．－3
C． D．－
解析 a·b＝－x＋6＝3，故x＝3．
答案 A
2．已知a＝(－，－1)，b＝(1，)，那么a，b的夹角θ＝( )
A. B.
C. D.
解析 cos θ＝＝－，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案 D
3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．1 B．
C．2 D．4
解析 ∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n＝±．
∴|a|＝＝2．
答案 C
4．已知向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝( )
A．(－3,6) B．(3，－6)
C．(6，－3) D．(－6,3)
解析 由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，由于|b|＝3．
∴|b|＝＝＝3，∴λ＝－3，即b＝(－3,6)．
答案 A
5．已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，试求b的坐标．
解 ∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，
∴5a－b＝(－11，－10－k)．
b－3a＝(5，k＋6)，
∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，k＋6)
＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55，
∴(k＋10)(k＋6)＝0，
∴k＝－10或k＝－6，
∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6)．
课堂小结
1．注意掌握平面向量的数量积运算的坐标表示方法及相关问题：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：①a·b＝x1x2＋y1y2，②a⊥b?x1x2＋y1y2＝0，③cos θ＝．
2．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．
基础过关
1．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝0
C．a∥b D．(a－b)⊥b
解析 a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b．
答案 D
2．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A． B．2
C．4 D．12
解析 a＝(2,0)，|b|＝1，
∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1．
∴|a＋2b|＝＝2．
答案 B
3．已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sin A,1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是( )
A．锐角 B．钝角
C．直角 D．不确定
解析 因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B>，即A>－B．
又因函数y＝sin x在(－，)上单调递增，所以sin A>sin(－B)＝cos B，所以p·q＝sin A－cos B>0，又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角．
答案 A
4．已知a＝(－1,1)，b＝(1,2)，则a·(a＋2b)＝________．
解析 a＋2b＝(1,5)，a·(a＋2b)＝1×(－1)＋5×1＝4．
答案 4
5．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为________．
解析 设a，b的夹角为θ，
则cos θ＝＝，
故a在b方向上的投影为
|a|cos θ＝×＝．
或直接根据计算a在b方向上的投影．
答案
6．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|．
解 (1)∵a⊥b，
∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，
解得x＝－1或x＝3．
(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
解得x＝0或x＝－2．
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
∴a－b＝(－2,0)，∴|a－b|＝2．
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
∴a－b＝(2，－4)，
∴|a－b|＝2．
∴|a－b|＝2或2．
7．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围．
解 ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1．
∵a，b的夹角α为钝角．
∴即
∴λ<1且λ≠－1．
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．
能力提升
8．已知＝(－2,1)，＝(0,2)且∥，⊥，则点C的坐标是( )
A．(2,6) B．(－2，－6)
C．(2，－6) D．(－2,6)
解析 设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，
＝(x，y－2)，＝(2,1)，
∵∥，∴2(x＋2)＝0，①
∵⊥，∴2x＋y－2＝0，②
由①②可得∴C(－2,6)．
答案 D
9．角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点
Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则与夹角的余弦值为( )
A．－ B．
C．或－ D．或
解析 ∵tan α＝－2，
∴可设P(x，－2x)，
cos〈，〉＝＝，
当x>0时，cos〈，〉＝，
当x<0时，cos〈，〉＝－.
答案 C
10．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________．
解析 方法一 a＋b＝(m＋1,3)，
又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2．
∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2．
方法二 由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2．
答案 －2
11．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“?”为m?n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，p?q＝(－4，－3)，则q的坐标为________．
解析 设q＝(x，y)，则p?q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)．
∴∴
答案 (－2,1)
12．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋b共线？
(2)ka－b与a＋b的夹角为120°？
解 ∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
(1)∵ka－b与a＋b共线，
∴k＋2－(－k)＝0.∴k＝－1．
(2)∵|ka－b|＝，
|a＋b|＝＝，
(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，
而ka－b与a＋b的夹角为120°，
∴cos 120°＝，
即－＝，
化简整理，得k2＋2k－2＝0，
解得k＝－1±．
13．(选做题)已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．
(1)证明 ∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD．
(2)解 ⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝．
设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴ 得
∴C点坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
所以·＝8＋8＝16>0，
||＝2 ，||＝2 ．
设与夹角为θ，则
cos θ＝＝＝>0，
∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为．
内容要求 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算(重点、难点).2.能根据向量的坐标计算向量的模、并推导平面内两点间的距离公式(重点).3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直(重点)．
知识点1两个向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
数量积
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
即：a·b＝x1x2＋y1y2
向量垂直
a⊥b?x1x2＋y1y2＝0
【预习评价】
(1)已知a＝(－1,3)，b＝(2,4)，则a·b的值是________．
解析 a·b＝(－1)×2＋3×4＝10．
答案 10
(2)已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，则x＝________．
解析 由题意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2．
答案 2
知识点2与向量的模、夹角相关的三个重要公式
1．向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝．
2．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝．
3．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则
cos θ＝＝．
【预习评价】
(1)已知向量a＝(4，－1)，b＝(x,3)，若|a|＝|b|，则x＝________．
解析 由|a|＝|b|得＝，解得x＝±2．
答案 ±2
(2)已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为________．
解析 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝．
答案
题型一 数量积的坐标运算
【例1】 已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝( )
A．10 B．－10
C．3 D．－3
解析 a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．
答案 B
规律方法 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
①|a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2．
【训练1】 已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10．
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c．
解 (1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
题型二 平面向量的模
【例2】 (1)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A． B．
C．2 D．10
解析 因为a⊥c，b∥c，所以解得
所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，所以|a＋b|＝．
答案 B
(2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．
解析 由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)，
则a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ)．
令y＝|a＋b|＋|a－b|
＝＋
＝＋，
则y2＝10＋2∈[16，20]．
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝＝2，
(|a＋b|＋|a－b|)min＝＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2.
答案 4 2
规律方法 求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则|a|＝．
【训练2】 已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝( )
A． B．
C．5 D．25
解析 ∵a＝(2,1)，∴a2＝5，
又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50，
即a2＋2a·b＋b2＝50，
∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5．
答案 C
考查
方向
题型三 平面向量的夹角和垂直问题
方向1 向量的夹角问题
【例3-1】 已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析 由a·b＝－10，得(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，
∴c·a＝－，设a与c的夹角为θ，cos θ＝＝＝－．
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案 C
方向2 向量垂直问题
【例3-2】 已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(a＋c)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A．(，) B．(－，)
C．(，) D．(－，－)
解析 设c＝(x，y)，则a＋c＝(x＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)，
由题意知
解得
即c＝(－，－)．
答案 D
规律方法 解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法：先利用平面向量的坐标表示出这两个向量的数量积a·b及|a||b|，再由cos θ＝＝直接求出cos θ．
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°．
【训练3】 已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．
解 设a与b的夹角为θ，
则a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ．
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，
所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－．
(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，
所以a·b<0且a与b不反向．
由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．
所以λ的取值范围为．
(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1，
所以a·b>0且a，b不同向．
由a·b>0，得λ>－，由a与b同向得λ＝2．
所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)．
课堂达标
1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x＝( )
A．3 B．－3
C． D．－
解析 a·b＝－x＋6＝3，故x＝3．
答案 A
2．已知a＝(－，－1)，b＝(1，)，那么a，b的夹角θ＝( )
A. B.
C. D.
解析 cos θ＝＝－，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案 D
3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．1 B．
C．2 D．4
解析 ∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n＝±．
∴|a|＝＝2．
答案 C
4．已知向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝( )
A．(－3,6) B．(3，－6)
C．(6，－3) D．(－6,3)
解析 由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，由于|b|＝3．
∴|b|＝＝＝3，∴λ＝－3，即b＝(－3,6)．
答案 A
5．已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，试求b的坐标．
解 ∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，
∴5a－b＝(－11，－10－k)．
b－3a＝(5，k＋6)，
∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，k＋6)
＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55，
∴(k＋10)(k＋6)＝0，
∴k＝－10或k＝－6，
∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6)．
课堂小结
1．注意掌握平面向量的数量积运算的坐标表示方法及相关问题：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：①a·b＝x1x2＋y1y2，②a⊥b?x1x2＋y1y2＝0，③cos θ＝．
2．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．
基础过关
1．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝0
C．a∥b D．(a－b)⊥b
解析 a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b．
答案 D
2．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A． B．2
C．4 D．12
解析 a＝(2,0)，|b|＝1，
∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1．
∴|a＋2b|＝＝2．
答案 B
3．已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sin A,1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是( )
A．锐角 B．钝角
C．直角 D．不确定
解析 因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B>，即A>－B．
又因函数y＝sin x在(－，)上单调递增，所以sin A>sin(－B)＝cos B，所以p·q＝sin A－cos B>0，又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角．
答案 A
4．已知a＝(－1,1)，b＝(1,2)，则a·(a＋2b)＝________．
解析 a＋2b＝(1,5)，a·(a＋2b)＝1×(－1)＋5×1＝4．
答案 4
5．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为________．
解析 设a，b的夹角为θ，
则cos θ＝＝，
故a在b方向上的投影为
|a|cos θ＝×＝．
或直接根据计算a在b方向上的投影．
答案
6．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|．
解 (1)∵a⊥b，
∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，
解得x＝－1或x＝3．
(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
解得x＝0或x＝－2．
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
∴a－b＝(－2,0)，∴|a－b|＝2．
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
∴a－b＝(2，－4)，
∴|a－b|＝2．
∴|a－b|＝2或2．
7．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围．
解 ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1．
∵a，b的夹角α为钝角．
∴即
∴λ<1且λ≠－1．
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．
能力提升
8．已知＝(－2,1)，＝(0,2)且∥，⊥，则点C的坐标是( )
A．(2,6) B．(－2，－6)
C．(2，－6) D．(－2,6)
解析 设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，
＝(x，y－2)，＝(2,1)，
∵∥，∴2(x＋2)＝0，①
∵⊥，∴2x＋y－2＝0，②
由①②可得∴C(－2,6)．
答案 D
9．角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点
Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则与夹角的余弦值为( )
A．－ B．
C．或－ D．或
解析 ∵tan α＝－2，
∴可设P(x，－2x)，
cos〈，〉＝＝，
当x>0时，cos〈，〉＝，
当x<0时，cos〈，〉＝－.
答案 C
10．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________．
解析 方法一 a＋b＝(m＋1,3)，
又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2．
∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2．
方法二 由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2．
答案 －2
11．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“?”为m?n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，p?q＝(－4，－3)，则q的坐标为________．
解析 设q＝(x，y)，则p?q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)．
∴∴
答案 (－2,1)
12．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋b共线？
(2)ka－b与a＋b的夹角为120°？
解 ∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
(1)∵ka－b与a＋b共线，
∴k＋2－(－k)＝0.∴k＝－1．
(2)∵|ka－b|＝，
|a＋b|＝＝，
(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，
而ka－b与a＋b的夹角为120°，
∴cos 120°＝，
即－＝，
化简整理，得k2＋2k－2＝0，
解得k＝－1±．
13．(选做题)已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．
(1)证明 ∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD．
(2)解 ⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝．
设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴ 得
∴C点坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
所以·＝8＋8＝16>0，
||＝2 ，||＝2 ．
设与夹角为θ，则
cos θ＝＝＝>0，
∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为．