2.5 平面向量应用举例学案
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文档简介
§2.5 平面向量应用举例
内容要求 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题与物理问题(重点).2.培养运算能力、分析问题和解决实际问题的能力(难点)．
知识点1向量方法在几何中的应用
用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”：
1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
2．通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
3．把运算结果“翻译”成几何关系．
【预习评价】
(1)在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC( )
A．是正三角形 B．是直角三角形
C．是等腰三角形 D．形状无法确定
解析 (＋)·(－)＝2－2＝0，即||＝||，∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形．
答案 C
(2)已知△ABC中，＝a，＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
解析 a·b＝·＝||·||cos A<0，即cos A<0，
所以答案 A
知识点2 向量在物理中的应用
1．物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．
2．向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上．
3．动量mv是向量的数乘运算．
4．功是力F与位移s的数量积．
【预习评价】
力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是________．
解析 由题意知W＝F·s＝(－1)×3＋(－2)×4＝－11．
答案 －11
题型一 平面几何中的垂直问题
【例1】
如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．
证明 方法一 设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0．
又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，
所以·＝·
＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0．
故⊥，即AF⊥DE．
方法二 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，则＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0．
所以⊥，即AF⊥DE．
规律方法 利用向量解决垂直问题的方法和途径
方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0．
途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．
【训练1】 已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且四边形PFCE为矩形．求证：PA＝EF且PA⊥EF．
证明 以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy(如图所示)，
设正方形边长为1，
||＝λ，则A(0,1)，P，E，F，
于是＝，
＝．
∵||＝
＝，
同理||＝，
∴||＝||，∴PA＝EF．
·＝＋＝0，
∴⊥.∴PA⊥EF.
典例
迁移
题型二 平面几何中的长度问题
【例2】 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n．
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
(1)证明 以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，m)，B(n,0)，因为D为AB的中点，所以D(，)，所以||＝，||＝，所以||＝||，即CD＝AB．
(2)解 设F(x,0)，因为D(，)，所以E(，)．
＝(，－m)，＝(x，－m)，由∥可知存在实数λ，使得＝λ，
即(x，－m)＝λ(，－m)，即解得所以＝(，－m)，则||＝＝，
即AF＝．
【迁移1】 若例2的条件不变，求AE的长．
解 由例2解析知||＝＝，即AE＝．
【迁移2】 若例2的条件不变，求DF的长．
解 由例2的解析知F(，0)，D(，)，
所以＝(－，－)，故||＝＝，
即DF＝．
规律方法 1.用向量法求长度的策略
(1)利用图形特点选择基底，用公式|a|2＝a2求解．
(2)建立坐标系，确定相应向量的坐标a＝(x，y)，则|a|＝．
2．用向量法解决平面几何问题的两种思想方法
(1)基向量法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
【训练2】 在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是( )
A．2 B．
C．3 D．
解析 BC中点为D，＝，
∴||＝ ．
答案 B
题型三 向量在物理中的应用
【例3】 (1)一艘船以5 km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________km/h；
解析 如图所示，船速|v1|＝5，水速度为v2，实际速度|v|＝10，∴|v2|＝|v|cos 30°＝5(km/h)．
答案 5
(2)如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受绳子的拉力的大小(忽略绳子质量)．
解 设A，B处所受绳子的拉力分别为F1，F2，物体10 N的重力用F表示，则F1＋F2＝F.以点C为F1，F2的始点，作平行四边形CFWE，则CW为对角线，＝F2，＝F1，＝F，
∠ECW＝180°－150°＝30°，
∠FCW＝180°－120°＝60°，
∴∠FCE＝90°．
∴四边形CFWE为矩形．
∴||＝||cos 30°＝10×＝5(N)．
||＝||cos 60°＝10×＝5(N)．
∴A处受绳子的拉力大小为5 N，B处受绳子的拉力大小为5 N．
规律方法 用向量解决物理问题的一般步骤
(1)问题的转化：即把物理问题转化为数学问题；
(2)模型的建立：即建立以向量为主体的数学模型；
(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；
(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．
【训练3】 已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________ J．
解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉
＝6×100×cos 60°＝300(J)．
答案 300
课堂达标
1．在四边形ABCD中，·＝0且＝，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析 由＝知四边形ABCD是平行四边形，又·＝0，故角B＝90°，所以四边形ABCD是矩形．
答案 C
2．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )
A．6 B．2
C．2 D．2
解析 易知F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2F1·F2＝4＋16＝20，∴|F3|＝2．
答案 C
3．已知点A(1,1)，M(x，y)，且A与M不重合，若向量与向量a＝(1,2)垂直，则点M的轨迹方程为________．
解析 ·a＝(x－1，y－1)·(1,2)＝x－1＋2y－2＝x＋2y－3＝0.又A与M不重合，所以x≠1．
答案 x＋2y－3＝0(x≠1)
4．一条河宽为8 000 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________h．
解析 v实际＝v船＋v水＝v1＋v2
|v1|＝20，|v2|＝12，
∴|v|＝
＝＝16(km/h)．
∴所需时间t＝＝0.5(h)．
∴该船到达B处所需的时间为0.5 h．
答案 0.5
5．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
解 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系．
设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，
从而可求：＝(－2a，a)，＝(a，－2a)，
不妨设，的夹角为θ，则cos θ＝
＝＝＝－．
故所求钝角的余弦值为－．
课堂小结
1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．
2．用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：①转化：把物理问题转化为数学问题；②建模：建立以向量为主体的数学模型；③求解：求出数学模型的相关解；④回归：回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象．
基础过关
1．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10 N
C．20 N D．10 N
解析 |F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝10，
当θ＝120°，由平行四边形法则知：
|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 N．
答案 B
2．已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析 ＝(21,7)，＝(1，－3)，∴·＝0，即⊥，则∠A＝90°，所以△ABC是直角三角形．
答案 C
3．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
解析 ∵·＝·，
∴(－)·＝0．
∴·＝0．
∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，
∴O为三条高的交点．
答案 D
4．飞机以300 km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是________km/h．
解析 如图所示，|v1|＝|v|cos 30°＝300×＝150(km/h)．
答案 150
5．在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝________．
解析 ∵||＝1，||＝5，
设OC与AB交于D(x，y)点，
则AD∶BD＝1∶5.
即D分有向线段AB所成的比为.
则
∴＝.
又∵||＝2，∴||＝＝
答案
6．已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．
解 (1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J．
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·
＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)
＝－117＋15＝－102(J)．
∴合力F对质点所做的功为－102 J．
7．已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB．
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．
(1)＝(－1,2)，＝(－2，－1)．
∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF．
(2)设点P坐标为(x，y)，则＝(x，y－1)，
＝(2,1)，∵∥，
∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2，
同理，由∥，得y＝－2x＋4，
由得
∴点P的坐标为(，)．
∴||＝ ＝2＝||，
即AP＝AB．
能力提升
8．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||＝( )
A． B．2
C．3 D．2
解析 建立如图所示的直角坐标系．
设||＝a(a>0)，则A(0,0)，C(4，a)，
D(0，a)，E(2,0)，
所以＝(2，－a)，＝(4，a)．
因为⊥，
所以·＝0，
所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8．
所以a＝2，所以＝(2，－2)，
所以||＝＝2．
答案 B
9．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
解析 设(－10,10)为A，设5秒后P点的坐标为A1(x，y)，
则＝(x＋10，y－10)，由题意有＝5ν．
即(x＋10，y－10)＝(20，－15)??
答案 C
10．如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC和OB的交点P的坐标为________．
解析 设P(x，y)，＝(4,4)，＝(x，y)，由于∥，所以x－y＝0，＝(－2,6)，＝(x－4，y)，由于∥，所以6(x－4)＋2y＝0，可得x＝3，y＝3，故P的坐标是(3,3)．
答案 (3,3)
11．已知P，Q为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则△APQ的面积与△ABC的面积之比为________．
解析 如图，根据题意，P，Q为△ABC中位线DE，DF的中点，PQ＝EF＝BC，而A到PQ的距离是到BC距离的，根据三角形的面积公式可知，S△APQ＝S△ABC．
答案
12．若a，b是两个不共线的非零向量，t∈R．
(1)若a，b的起点相同，t为何值时，a，tb，(a＋b)三个向量的终点在一条直线上？
(2)若|a|＝|b|且a与b的夹角为60°，t为何值时，|a－tb|最小？
解 (1)由题意得a－tb与a－(a＋b)共线，
则设a－tb＝m，m∈R，
化简得a＝b．
因为a与b不共线，
所以
解得
所以当t＝时，a，tb，(a＋b)三个向量的终点在一条直线上．
(2)因为|a|＝|b|，
所以|a－tb|2＝(a－tb)2
＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos 60°
＝(1＋t2－t)|a|2＝|a|2，
所以当t＝时，|a－tb|有最小值|a|．
13．(选做题)某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．
解 设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a，
设实际风速为v，那么此时人感到风速为v－a，设＝－a，＝－2a，＝v，因为＋＝，
所以＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速，
因为＋＝，所以＝v－2a．
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是．
由题意：∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，
从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝a，
即：|v|＝a．
所以实际风速是每小时a千米的西北风．
内容要求 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题与物理问题(重点).2.培养运算能力、分析问题和解决实际问题的能力(难点)．
知识点1向量方法在几何中的应用
用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”：
1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
2．通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
3．把运算结果“翻译”成几何关系．
【预习评价】
(1)在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC( )
A．是正三角形 B．是直角三角形
C．是等腰三角形 D．形状无法确定
解析 (＋)·(－)＝2－2＝0，即||＝||，∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形．
答案 C
(2)已知△ABC中，＝a，＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
解析 a·b＝·＝||·||cos A<0，即cos A<0，
所以
知识点2 向量在物理中的应用
1．物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．
2．向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上．
3．动量mv是向量的数乘运算．
4．功是力F与位移s的数量积．
【预习评价】
力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是________．
解析 由题意知W＝F·s＝(－1)×3＋(－2)×4＝－11．
答案 －11
题型一 平面几何中的垂直问题
【例1】
如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．
证明 方法一 设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0．
又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，
所以·＝·
＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0．
故⊥，即AF⊥DE．
方法二 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，则＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0．
所以⊥，即AF⊥DE．
规律方法 利用向量解决垂直问题的方法和途径
方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0．
途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．
【训练1】 已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且四边形PFCE为矩形．求证：PA＝EF且PA⊥EF．
证明 以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy(如图所示)，
设正方形边长为1，
||＝λ，则A(0,1)，P，E，F，
于是＝，
＝．
∵||＝
＝，
同理||＝，
∴||＝||，∴PA＝EF．
·＝＋＝0，
∴⊥.∴PA⊥EF.
典例
迁移
题型二 平面几何中的长度问题
【例2】 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n．
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
(1)证明 以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，m)，B(n,0)，因为D为AB的中点，所以D(，)，所以||＝，||＝，所以||＝||，即CD＝AB．
(2)解 设F(x,0)，因为D(，)，所以E(，)．
＝(，－m)，＝(x，－m)，由∥可知存在实数λ，使得＝λ，
即(x，－m)＝λ(，－m)，即解得所以＝(，－m)，则||＝＝，
即AF＝．
【迁移1】 若例2的条件不变，求AE的长．
解 由例2解析知||＝＝，即AE＝．
【迁移2】 若例2的条件不变，求DF的长．
解 由例2的解析知F(，0)，D(，)，
所以＝(－，－)，故||＝＝，
即DF＝．
规律方法 1.用向量法求长度的策略
(1)利用图形特点选择基底，用公式|a|2＝a2求解．
(2)建立坐标系，确定相应向量的坐标a＝(x，y)，则|a|＝．
2．用向量法解决平面几何问题的两种思想方法
(1)基向量法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
【训练2】 在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是( )
A．2 B．
C．3 D．
解析 BC中点为D，＝，
∴||＝ ．
答案 B
题型三 向量在物理中的应用
【例3】 (1)一艘船以5 km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________km/h；
解析 如图所示，船速|v1|＝5，水速度为v2，实际速度|v|＝10，∴|v2|＝|v|cos 30°＝5(km/h)．
答案 5
(2)如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受绳子的拉力的大小(忽略绳子质量)．
解 设A，B处所受绳子的拉力分别为F1，F2，物体10 N的重力用F表示，则F1＋F2＝F.以点C为F1，F2的始点，作平行四边形CFWE，则CW为对角线，＝F2，＝F1，＝F，
∠ECW＝180°－150°＝30°，
∠FCW＝180°－120°＝60°，
∴∠FCE＝90°．
∴四边形CFWE为矩形．
∴||＝||cos 30°＝10×＝5(N)．
||＝||cos 60°＝10×＝5(N)．
∴A处受绳子的拉力大小为5 N，B处受绳子的拉力大小为5 N．
规律方法 用向量解决物理问题的一般步骤
(1)问题的转化：即把物理问题转化为数学问题；
(2)模型的建立：即建立以向量为主体的数学模型；
(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；
(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．
【训练3】 已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________ J．
解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉
＝6×100×cos 60°＝300(J)．
答案 300
课堂达标
1．在四边形ABCD中，·＝0且＝，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析 由＝知四边形ABCD是平行四边形，又·＝0，故角B＝90°，所以四边形ABCD是矩形．
答案 C
2．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )
A．6 B．2
C．2 D．2
解析 易知F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2F1·F2＝4＋16＝20，∴|F3|＝2．
答案 C
3．已知点A(1,1)，M(x，y)，且A与M不重合，若向量与向量a＝(1,2)垂直，则点M的轨迹方程为________．
解析 ·a＝(x－1，y－1)·(1,2)＝x－1＋2y－2＝x＋2y－3＝0.又A与M不重合，所以x≠1．
答案 x＋2y－3＝0(x≠1)
4．一条河宽为8 000 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________h．
解析 v实际＝v船＋v水＝v1＋v2
|v1|＝20，|v2|＝12，
∴|v|＝
＝＝16(km/h)．
∴所需时间t＝＝0.5(h)．
∴该船到达B处所需的时间为0.5 h．
答案 0.5
5．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
解 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系．
设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，
从而可求：＝(－2a，a)，＝(a，－2a)，
不妨设，的夹角为θ，则cos θ＝
＝＝＝－．
故所求钝角的余弦值为－．
课堂小结
1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．
2．用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：①转化：把物理问题转化为数学问题；②建模：建立以向量为主体的数学模型；③求解：求出数学模型的相关解；④回归：回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象．
基础过关
1．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10 N
C．20 N D．10 N
解析 |F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝10，
当θ＝120°，由平行四边形法则知：
|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 N．
答案 B
2．已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析 ＝(21,7)，＝(1，－3)，∴·＝0，即⊥，则∠A＝90°，所以△ABC是直角三角形．
答案 C
3．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
解析 ∵·＝·，
∴(－)·＝0．
∴·＝0．
∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，
∴O为三条高的交点．
答案 D
4．飞机以300 km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是________km/h．
解析 如图所示，|v1|＝|v|cos 30°＝300×＝150(km/h)．
答案 150
5．在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝________．
解析 ∵||＝1，||＝5，
设OC与AB交于D(x，y)点，
则AD∶BD＝1∶5.
即D分有向线段AB所成的比为.
则
∴＝.
又∵||＝2，∴||＝＝
答案
6．已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．
解 (1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J．
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·
＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)
＝－117＋15＝－102(J)．
∴合力F对质点所做的功为－102 J．
7．已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB．
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．
(1)＝(－1,2)，＝(－2，－1)．
∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF．
(2)设点P坐标为(x，y)，则＝(x，y－1)，
＝(2,1)，∵∥，
∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2，
同理，由∥，得y＝－2x＋4，
由得
∴点P的坐标为(，)．
∴||＝ ＝2＝||，
即AP＝AB．
能力提升
8．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||＝( )
A． B．2
C．3 D．2
解析 建立如图所示的直角坐标系．
设||＝a(a>0)，则A(0,0)，C(4，a)，
D(0，a)，E(2,0)，
所以＝(2，－a)，＝(4，a)．
因为⊥，
所以·＝0，
所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8．
所以a＝2，所以＝(2，－2)，
所以||＝＝2．
答案 B
9．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
解析 设(－10,10)为A，设5秒后P点的坐标为A1(x，y)，
则＝(x＋10，y－10)，由题意有＝5ν．
即(x＋10，y－10)＝(20，－15)??
答案 C
10．如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC和OB的交点P的坐标为________．
解析 设P(x，y)，＝(4,4)，＝(x，y)，由于∥，所以x－y＝0，＝(－2,6)，＝(x－4，y)，由于∥，所以6(x－4)＋2y＝0，可得x＝3，y＝3，故P的坐标是(3,3)．
答案 (3,3)
11．已知P，Q为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则△APQ的面积与△ABC的面积之比为________．
解析 如图，根据题意，P，Q为△ABC中位线DE，DF的中点，PQ＝EF＝BC，而A到PQ的距离是到BC距离的，根据三角形的面积公式可知，S△APQ＝S△ABC．
答案
12．若a，b是两个不共线的非零向量，t∈R．
(1)若a，b的起点相同，t为何值时，a，tb，(a＋b)三个向量的终点在一条直线上？
(2)若|a|＝|b|且a与b的夹角为60°，t为何值时，|a－tb|最小？
解 (1)由题意得a－tb与a－(a＋b)共线，
则设a－tb＝m，m∈R，
化简得a＝b．
因为a与b不共线，
所以
解得
所以当t＝时，a，tb，(a＋b)三个向量的终点在一条直线上．
(2)因为|a|＝|b|，
所以|a－tb|2＝(a－tb)2
＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos 60°
＝(1＋t2－t)|a|2＝|a|2，
所以当t＝时，|a－tb|有最小值|a|．
13．(选做题)某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．
解 设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a，
设实际风速为v，那么此时人感到风速为v－a，设＝－a，＝－2a，＝v，因为＋＝，
所以＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速，
因为＋＝，所以＝v－2a．
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是．
由题意：∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，
从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝a，
即：|v|＝a．
所以实际风速是每小时a千米的西北风．