3.1.1 两角差的余弦公式学案

§3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1　两角差的余弦公式
内容要求　1.了解两角差的余弦公式的推导过程，理解用向量法导出公式的主要步骤(难点).2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算(重点)．
知识点　两角差的余弦公式
公式
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β　
简记符号
C(α－β)　
使用条件
α，β都是任意角　
【预习评价】
(1)cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
解析　原式＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝．
答案　C
(2)已知α是锐角，sin α＝，则cos(－α)＝________．
解析　因为α是锐角，sin α＝，所以cos α＝，
所以cos(－α)＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝．
答案　
题型一　两角差的余弦公式的正用和逆用
【例1】　(1)cos(－15°)的值是(　　)
A． B．
C． D．
(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________．
(3)＝________．
解析　(1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝．
(2)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－35°－25°)＝cos(－60°)＝cos 60°＝．
(3)原式＝
＝
＝＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝．
答案　(1)D　(2)　(3)
规律方法　运用两角差的余弦公式求值的注意点
(1)要深刻理解所用公式的特征、恰当地套用公式，
(2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题，然后利用公式化简求值．
【训练1】　求下列三角函数式的值：
(1)sin；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°．
解　(1)原式＝cos(－)＝cos＝cos[－(－)]
＝coscos(－)＋sinsin(－)＝．
(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0．
题型二　给值求值
【例2】　设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos．
解　因为α∈，β∈．
所以α－∈，－β∈．
因为cos＝－，sin＝，
所以sin＝
＝＝，
cos＝＝＝．
所以cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝．
规律方法　给值求值问题的解题策略
(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．
(2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
【训练2】　已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos(α－β)的值．
解　∵α∈，sin α＝，
∴cos α＝－＝－．
又β∈，cos β＝－，
∴sin β＝－＝－．
∴cos(α－β)＝cos αcosβ＋sin αsinβ
＝×＋×
＝．
典例
迁移
　题型三　给值求角
【例3】　已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值．
解　∵α，β∈且cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴α＋β∈(0，π)，∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝．
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝．
又∵β∈，∴β＝．
【迁移1】　若例3条件中的“cos(α＋β)＝－”改为“sin(α＋β)＝”，则β的值是什么？
解　∵α，β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)，
∵cos α＝，sin(α＋β)＝，
∴sin α＝，cos(α＋β)＝±，
当cos(α＋β)＝－时，cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝，
∵β∈(0，)，∴β＝；
当cos (α＋β)＝时，cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝<＝cos(α＋β)，且α＋β∈(0，)，β∈(0，)，
所以β>α＋β，即α<0，与已知矛盾，舍去，所以β＝．
【迁移2】　在例3的条件下，若γ∈(0，)，sin γ＝，求cos(β－γ)．
解　由例3知β＝，
又∵γ∈(0，)，sin γ＝，∴cos γ＝，
∴cos(β－γ)＝cos(－γ)＝coscos γ＋sinsin γ＝×＋×＝．
规律方法　已知三角函数值求角的解题步骤
(1)求所求角的某种三角函数值．
(为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数)．
(2)结合三角函数值及角的范围求角．
课堂达标
1．cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
解析　原式＝cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°＝cos(56°－26°)＝cos 30°＝．
答案　C
2．若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b＝(　　)
A． B．
C． D．－
解析　a·b＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝．
答案　A
3．已知α∈，tan α＝2，则cos＝________．
解析　由tan α＝2得sin α＝2 cos α，
又sin 2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.
因为α∈，所以cos α＝，sin α＝.
因为cos＝cos αcos ＋sin αsin
＝×＋×＝.
答案　
4．计算：sin 60°＋cos 60°＝________．
解析　原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°
＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝．
答案　
5．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a⊥b，求α－β的值．
解　因为a⊥b，所以a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝0.因为－π<α－β<π，所以α－β＝－或．
课堂小结
1．给角求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值．
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
基础过关
1．化简－sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为(　　)
A．sin 2x B．cos 2x
C．－cos 2x D．－cos 2y
解析　原式＝－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－cos 2y，故选D．
答案　D
2．cos 295°sin 70°－sin 115°cos 110°的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
解析　原式＝－cos 115°cos 20°＋sin 115°sin 20°＝cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝cos(65°－20°)＝cos 45°＝．
答案　A
3．已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第四象限角，则cos(β－α)的值是(　　)
A．－ B．
C．－ D．－
解析　由条件可得sin α＝，cos β＝，则cos(β－α)＝cos βcos α＋sin αsin β＝×(－)＋(－)×＝－．
答案　C
4．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________．
解析　原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)
＝2＋2cos(α－β)＝．
答案　
5．已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，则α－β＝________．
解析　由条件得sin α＝，sin β＝．
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsinβ＝×＋×＝，
又α－β∈(－，)，∴α－β＝±，
又因为cos α>cos β，所以α<β，则α－β＝－．
答案　－
6．已知a＝(cos α，sin β)，b＝(cos β，sin α)，0<β<α<，且a·b＝，求α－β．
解　∵0<β<α<，
∴0<α－β<．
又a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝，
∴α－β＝．
7．已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求cos(α－β)．
解　由cos α－cos β＝两边平方得
(cos α－cos β)2＝cos2α＋cos2β－2cos αcos β＝.①
由sin α－sin β＝－两边平方得
(sin α－sin β)2＝sin2α＋sin2β－2sin αsin β＝.②
①＋②得
2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝．
∴cos αcos β＋sin αsin β＝，
∴cos(α－β)＝．
能力提升
8．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为(　　)
A． B．
C． D．
解析　由条件得sin(α－β)＝，sin 2α＝，则cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝
cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝×＋×(－)＝－，又因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝．
答案　C
9．cos 165°等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析　cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°
＝－cos(45°－30°)＝－(cos 45°cos 30°＋sin45°sin 30°)
＝－．
答案　C
10．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．
解析　由
①2＋②2?2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1
?cos(α－β)＝－．
答案　－
11．化简＝________.
解析　原式＝
＝＝．
答案　
12．已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈．
(1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0<φ<，求cos φ的值．
解　(1)因为a⊥b，
所以a·b＝sin θ－2cos θ＝0，
即sin θ＝2cos θ．
又因为sin2θ＋cos2θ＝1，
所以4cos2θ＋cos2θ＝1，
即cos2θ＝，所以sin2θ＝，
又θ∈，
所以sin θ＝，cos θ＝．
(2)因为5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝cos φ＋2sin φ
＝3cos φ，
所以cos φ＝sin φ，
所以cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，
即cos2φ＝．
因为0<φ<，所以cos φ＝．
13．(选做题)已知：cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β<，求cos(α＋β)．
解　因为<α<，0<β<，所以<2α－β<π．
因为cos(2α－β)＝－，所以<2α－β<π．
所以sin(2α－β)＝．
因为<α<，0<β<，所以－<α－2β<．
因为sin(α－2β)＝，所以0<α－2β<，
所以cos(α－2β)＝，
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝－×＋×＝0．