3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学案

3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
内容要求　1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式(难点).2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明(重点)．
知识点　两角和与差的正切公式
T(α＋β)：tan(α＋β)＝　；
T(α－β)：tan(α－β)＝　．
【预习评价】
(1) 若tan＝，则tan α＝________．
解析　tan α＝tan＝＝＝.
答案　
(2)求值：＝________．
解析　原式＝＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－．
答案　－
题型一　两角和与差的正切公式的正用、逆用、变形用
【例1】　(1)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝(　　)
A． B．
C． D．
解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝．
答案　A
(2)＝________；
解析　原式＝＝＝＝－1．
答案　－1
(3)求值：tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝________．
解析　∵tan 23°＋tan 37°＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)，
∴原式＝－tan 23°tan 37°＋tan 23°tan 37°＝．
答案　
规律方法　公式T(α±β)的逆用及变形应用的解题策略
(1)“1”的代换：在T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan；＝tan．
(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
(3)熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
②1－tan αtan β＝．
【训练1】　求值：
(1)；(2)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°．
解　(1)＝
＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝．
(2)由tan(α＋β)＝的变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得：
tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)
＝1－tan 10°tan 35，
所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1．
题型二　条件求值问题
【例2】　(1)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析　由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，
所以tan(α＋β)＝＝＝－3．
答案　A
(2)已知sin α＝，α为第二象限的角，且tan(α＋β)＝－，则tan β的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析　∵α为第二象限角，∴cos α<0，cos α＝－，
∴tan α＝－．
tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝－．
答案　C
规律方法　给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．
【训练2】　已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________．
解析　由条件知＝＝3，则tan α＝2，
因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2，故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝．
答案　
题型三　给值求角问题
【例3】　(1)在△ABC中，tan A＝，tan B＝－2，则角C＝________；
解析　tan(A＋B)＝＝＝－1，
∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，∴C＝π－(A＋B)＝．
答案　
(2)若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β．
解　∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，
∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，
∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，
∴＝－1.∴tan(α＋β)＝－1．
∵α，β∈，∴α＋β∈(π，2π)．
∴α＋β＝．
规律方法　利用公式T(α±β)求角的步骤
(1)求值：根据题设条件求角的某一三角函数值．
(2)讨论角的范围：必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围；
(3)求角：借助角的范围及角的三角函数值求角．
【训练3】　已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于(　　)
A． B．
C．π D．
解析　∵tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1，
∴2α＝－＋kπ(k∈Z)，∴α＝－＋kπ(k∈Z)．
又∵α为锐角，∴α＝－＝．
答案　C
课堂达标
1．与相等的是(　　)
A．tan 66° B．tan 24°
C．tan 42° D．tan 21°
解析　原式＝＝tan(45°－21°)＝tan 24°．
答案　B
2．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为(　　)
A．1 B．2
C．－2 D．不确定
解析　(1＋tan A)(1＋tan B)
＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B
＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B
＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2．
答案　B
3．已知tan＝，tan＝－，则tan＝________．
解析　tan＝tan[(α－)＋(β－)]＝＝．
答案　
4．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝____　．
解析　∵B为锐角，sin B＝，∴cos B＝，∴tan B＝，
∴tan(A＋B)＝＝＝1．
∵0答案　
5．求的值．
解　∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°
＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120°
＝－tan 60°tan 18°tan 42°，
∴原式＝－1．
课堂小结
1．公式T(α±β)的适用范围
由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
2．公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等．
要特别注意tan(＋α)＝，
tan(－α)＝．
3．公式T(α±β)的变形应用
只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．
基础过关
1．已知α，β为任意角，则下列等式：
①sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
②cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
③cos＝－sin α；
④tan(α－β)＝．
其中恒成立的等式有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．1个
解析　①②③恒成立．
答案　B
2．若tan＝2，则tan α的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
解析　tan(α＋)＝＝2，
解得tan α＝．
答案　A
3．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
解析　∵tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，
∴tan(A＋B)＝，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，
∴C为钝角．
答案　A
4．设tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则tan(α＋)＝________．
解析　tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]＝＝．
答案　
5．如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0两根，则＝________．
解析　＝
＝＝＝－．
答案　－
6．已知tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两根，试求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值．
解　由已知有
∴tan(α＋β)＝＝＝．
∴sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)
＝
＝
＝＝－3．
7．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，求α＋β的值．
解　由根与系数的关系得
tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4，
∴tan α<0，tan β<0，
∴tan(α＋β)＝＝＝，
又－<α<，－<β<，且tan α<0，tan β<0．
∴－<α<0，－<β<0，
∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－．
能力提升
8．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则∠B等于(　　)
A．30° B．45°
C．120° D．60°
解析　由公式变形得：
tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)
＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)
＝－tan C(1－tan Atan B)
＝－tan C＋tan Atan Btan C．
∴tan A＋tan B＋tan C
＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C
＝tan Atan Btan C＝3．
∵tan2B＝tan Atan C，
∴tan3B＝3．
∴tan B＝，B＝60°．
答案　D
9．已知tan α＝lg 10a，tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为(　　)
A．1 B．
C．1或 D．1或10
解析　∵α＋β＝，
∴tan(α＋β)＝＝1，
tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
即lg 10a＋lg＝1－lg 10a·lg，
1＝1－lg 10a·lg，
∴lg 10a·lg＝0．
∴lg 10a＝0或lg＝0．
得a＝或a＝1．
答案　C
10．已知tan＝2，则的值为________．
解析　∵tan＝2，∴＝2，解得tan α＝．
∴＝
＝＝＝．
答案　
11．已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________．
解析　∵tan β＝＝．
∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α．
∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1．
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β．
∴＝1，∴tan(α＋β)＝1．
答案　1
12．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
解　∵tan(α－β)＝，tan β＝－，
∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝<1．
∵α∈(0，π)，∴0<α<，0<2α<．
又tan β＝－<0，β∈(0，π)，
∴<β<π，
∴－π<2α－β<0．
又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
＝＝＝1，
∴2α－β＝－．
13．(选做题)已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝
tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
解　∵tan A＋tan B＝tan Atan B－1，
∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，
∴＝－，
∴tan(A＋B)＝－．
又∵0∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝，
∴tan B＋＋tan B＝，
∴tan B＝，
∴B＝，∴A＝，
∴△ABC为顶角为120°的等腰三角形．