3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)学案

3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
内容要求　1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角差的正弦公式(难点).2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等(重点)．
知识点1　两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β　，简记为C(α＋β)　，其中α，β都是任意角　．
【预习评价】
(1)cos 75°＝________．
解析　cos 75°＝cos(30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝．
答案　
(2)cos(x－y)cos y－sin(x－y)sin y＝________．
解析　原式＝cos[(x－y)＋y]＝cos x．
答案　cos x
知识点2　两角和与差的正弦公式
1．两角和的正弦：
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β　，简记为S(α＋β)　，其中α，β都是任意角　．
2．两角差的正弦：
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β　，简记为S(α－β)　，其中α，β都是任意角　．
【预习评价】
(1)若sin α＝，α∈(0，)，则sin(α＋)＝________
解析　易得cos α＝，故sin(α＋)＝sin αcos＋cos αsin＝．
答案　
(2)sin 15°＝________．
解析　sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝．
答案　
题型一　公式的正用和逆用
【例1】　化简求值：
(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
(2)(tan 10°－)．
解　(1)原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)·sin(x－18°)
＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)
＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin 45°＝．
(2)(tan 10°－)＝(tan 10°－tan 60°)
＝＝·
＝－＝－2．
规律方法　解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
【训练1】　(1)化简：sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝________；
解析　原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝．
答案　
(2)求值：＝________．
解析　原式＝
＝
＝＝＝＝＝2－．
答案　2－
题型二　给值求值
【例2】　已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．
解　因为<α<，
所以<＋α<π．
因为cos＝－，
所以sin＝．
因为0<β<，所以<＋β<π．
因为sin＝，
所以cos＝－．
因为＋＝π＋α＋β，
所以sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)]
＝－sin
＝－sincos－cossin
＝－×－×
＝．
规律方法　给值求值的解题策略
(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：
①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；
②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．
(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围．
【训练2】　已知0<α<<β<π，sin α＝，sin(α＋β)＝，则sin β＝________．
解析　由0<α<<β<π，得<α＋β<，又sin α＝，sin(α＋β)＝，∴cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝×－(－)×＝．
答案　
互动
探究
　题型三　辅助角公式
【探究1】　求值：sincos＋cossin＝________．
解析　原式＝sin(＋)＝sin＝．
答案　
【探究2】　求值：cos＋sin＝________．
解析　原式＝sincos＋cossin＝sin＝．
答案　
【探究3】　求值：cos＋sin＝________．
解析　原式＝2(cos＋sin)＝2sin＝．
答案　
【探究4】　求f(x)＝cos x＋cos(x＋)，
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调增区间．
解　f(x)＝cos x＋cos xcos－sin xsin＝cos x－sin x＝(cos x－sin x)＝cos(x＋)．
(1)T＝2π．
(2)由－π＋2kπ≤x＋≤2kπ(k∈Z)得－＋2kπ≤x≤－＋2kπ(k∈Z)，即f(x)的单调递增区间为[－＋2kπ，－＋2kπ](k∈Z)．
规律方法　辅助角公式及其应用
(1)公式形式：公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))将形如asin α＋bcos α(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．
(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．
【训练3】　函数f(x)＝sin x＋cos x－3的最大值为________.
解析　f(x)＝sin x＋cos x－3＝(sin x＋cos x)－3＝sin(x＋)－3，所以当x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)的最大值为－3．
答案　－3
课堂达标
1．sin 7°cos 37°－sin 83°sin 37°的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析　原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－．
答案　B
2．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos αcos β的值为(　　)
A．0 B．
C．0或 D．0或±
解析　cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，
两式相加可得2cos αcos β＝0，即cos αcos β＝0．
答案　A
3．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈R)的值域是________．
解析　∵f(x)＝2＝2sin．
∴f(x)∈[－2,2]．
答案　[－2,2]
4．sin(－π)＝________．
解析　sin(－)＝－sin＝－sin(3π＋)＝sin＝sin(－)＝sincos－cossin＝．
答案　
5．化简：sincos－cos·sin．
解　原式＝sincos－sin·cos＝sin
＝sin＝sin cos －cos sin
＝×－×＝．
课堂小结
1．两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin＝sin·cos α－cossin α＝－cos α．
2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：
sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)
＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α．
3．运用两角和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快速求解．
基础过关
1．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析　原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35°
＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°
＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－．
答案　B
2．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．±1
解析　sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝0，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝sin αcos 2β＋cos αsin 2β＋sin αcos 2β－cos αsin 2β＝2sin αcos 2β＝0．
答案　C
3．若锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是(　　)
A． B．
C． D．
解析　∵cos α＝，cos(α＋β)＝，α，β∈，∴0＜α＋β＜π，
∴sin α＝，sin(α＋β)＝．
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝．
答案　C
4．函数f(x)＝cos x－cos(x＋)的值域是________．
解析　f(x)＝cos x－cos x＋sin x＝cos x＋ sin x＝sin(x＋)∈[－1,1]．
答案　[－1,1]
5．化简：＝________．
解析　原式＝
＝＝1．
答案　1
6．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
解　因为<β<α<，
所以0<α－β<，π<α＋β<．
又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
所以sin(α－β)＝＝ ＝，
cos(α＋β)＝－＝－ ＝－．
所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×(－)＋×(－)＝－．
7．化简：(1)(cos x－sin x)；
(2)3sin x＋3cos x．
解　(1)(cos x－sin x)
＝×(cos x－sin x)
＝2(cos cos x－sin sin x)
＝2cos(＋x)．
(2)3sin x＋3cos x
＝6(sin x＋cos x)
＝6(sin sin x＋cos cos x)
＝6cos(x－)．
能力提升
8．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．1＋ D．2＋
解析　f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x
＝2(cos x＋sin x)＝2sin(x＋)，
∵0≤x<，∴≤x＋<,∴当x＋＝，即x＝时,
∴f(x)max＝2．
答案　B
9．在△ABC中，三内角分别是A，B，C，若sin C＝2cos Asin B，则△ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．正三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析　∵sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝2cos Asin B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0．
即sin(A－B)＝0，∴A＝B．
答案　C
10．已知向量a＝，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，则sin＝________．
解析　∵a⊥b，∴a·b＝4sin(α＋)＋4cos α－＝2sin α＋2cos α＋4cos α－＝
2sin α＋6cos α－＝4sin(α＋)－＝0，
∴sin(α＋)＝，则sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－．
答案　－
11．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________．
解析　8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，两边分别平方相加可得89＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝136，即sin(α＋β)＝．
答案　
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
(1)求ω和φ的值；
(2)若f＝，求cos的值．
解　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2．
又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2·＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，…．
由－≤φ<，得k＝0，
所以φ＝－＝－．
(2)由(1)得f＝sin＝，
所以sin＝．
由<α<得0<α－<，
所以cos＝＝
＝．
因此cos＝sin α＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×＝．
13．(选做题)证明：－2cos(α＋β)＝．
证明　－2cos(α＋β)
＝
＝
＝
＝＝．