3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学案

3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式
内容要求　1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点).2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用(重点、难点)．
知识点　二倍角的正弦、余弦、正切公式
三角函数
公式
简记
正弦
sin 2α＝2sin_αcos_α　
S2α
余弦
cos 2α＝cos2α－sin2α
＝2cos2α－1　＝1－2sin2α　
C2α
正切
tan 2α＝
T2α
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin α＝2sincos.(　　)
(2)cos2α＝(1＋cos 2α)，cos 3α＝1－2sin2α.(　　)
(3)＝tan.(　　)
提示　(1)√，在公式sin 2α＝2sin αcos α中，以α代换2α可得sin α＝2sincos．
(2)√，由cos 2α＝2cos2α－1和cos 2α＝1－2sin2α可知其正确．
(3)×，公式中所含各角要使三角函数有意义，而tan无意义．
题型一　二倍角公式的正用、逆用
【例1】　求下列各式的值：
(1)cos2－sin2；
(2)；
(3)cos 20°cos 40°cos 80°．
解　(1)原式＝cos＝．
(2)原式＝tan 45°＝．
(3)原式＝·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°
＝·sin 40°·cos 40°cos 80°
＝sin 80°cos 80°
＝·sin 160°
＝＝．
规律方法　二倍角公式的关注点
(1)对“二倍角”应该有广义的理解，如：4α是2α的二倍角；α是的二倍角，3α是的二倍角等．
(2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α．
(3)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
【训练1】　(1)－cos2＝________；
解析　原式＝(1－2cos2)＝－cos＝－．
答案　－
(2)若sin(－α)＝，则sin 2α＝________．
解析　∵sin(－α)＝cos α－sin α＝，
∴cos α－sin α＝，平方得1－sin 2α＝，
即sin 2α＝．
答案　
典例
迁移
　题型二　条件求值问题
【例2】　(1)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)
A． B．
C．1 D．
解析　原式＝cos2α＋4sin αcos α＝＝．
答案　A
(2)已知cos＝，≤α<，则cos的值为________．
解析　cos(2α＋)＝cos 2αcos－sin 2αsin＝(cos 2α－sin 2α)，
∵cos(α＋)＝，≤α＜，又cos (α＋)＝＞0，∴＜α＋＜，
∴sin(α＋)＝－，
从而cos 2α＝sin(2α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)
＝－，
sin 2α＝－cos(2α＋)＝1－2cos2(α＋)＝.
∴cos(2α＋)＝(－－)＝－.
答案　－
(3)已知sin＝，0解　∵0∴－x∈(0，)，cos(－x)＝，
＝
＝(cos x＋sin x)＝2cos (－x)＝．
【迁移1】　若例2(3)的条件不变，则的值是什么？
解　sin(－x)＝cos x－sin x＝，
平方得sin 2x＝，
sin(＋x)＝cos[－(＋x)]＝cos(－x)＝，
所以＝×＝．
【迁移2】　若例2(3)的条件变为tan(－x)＝，其他条件不变，结果如何？
解　因为tan(－x)＝，
所以sin(－x)＝cos(－x)，
又sin2(－x)＋cos2(－x)＝1，
故可解得cos(－x)＝，
原式＝2cos(－x)＝．
规律方法　解决条件求值问题的方法
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
(2)当遇到±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．
题型三　三角函数式的化简与证明
【例3】　求证：＝tan4 A．
证明　∵左边＝
＝2＝2＝(tan2A)2
＝tan4 A＝右边，
∴＝tan4 A．
规律方法　三角函数式化简、证明的常用技巧
(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化；
(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；
(3)对于二次根式，注意倍角公式的逆用；
(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；
(5)利用“1”的恒等变形，如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．
【训练2】　求证：＝．
证明　原式变形为1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，*
而*式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ)
＝(2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin22θ＝sin 4θ＋1－cos 4θ＝左边，
∴*式成立，即原式得证．
课堂达标
1．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析　sin 2α＝2sin αcos α＝＝－.
答案　A
2.等于(　　)
A．sin 18° B．cos 18°
C．cos 18°－sin 18° D．sin 18°－cos 18°
解析　＝＝cos 18°．
答案　B
3.·等于(　　)
A．tan 2α B．tan α
C．1 D．
解析　原式＝·＝tan 2α．
答案　A
4.＝________．
解析　原式＝×＝tan 300°＝tan(300°－360°)＝tan(－60°)＝－tan 60°＝－．
答案　－
5．化简：．
解　方法一　原式＝
＝＝
＝tan θ．
方法二　原式＝
＝
＝＝tan θ．
课堂小结
1．对“二倍角”应该有广义上的理解，是相对的如：
8α是4α的二倍；3α是α的二倍．
2．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式：
①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝．
基础过关
1．已知cos x＝，则cos 2x＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析　cos 2x＝2cos2x－1＝2·－1＝，故选D.
答案　 D
2．cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于(　　)
A． B．
C． D．1＋
解析　原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝．
答案　C
3．已知x∈(－，0)，cos x＝，则tan 2x等于(　　)
A． B．－
C． D．－
解析　cos x＝，x∈(－，0)，得sin x＝－，
所以tan x＝－，
所以tan 2x＝＝＝－，故选D．
答案　D
4．若2±是方程x2－5xsin θ＋1＝0的两根，则cos 2θ等于________．
解析　由题意得5sin θ＝4，即sin θ＝，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝－．
答案　－
5．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________．
解析　原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝
＝＝＝．
答案　
6．化简下列各式：
(1)－；
(2)．
解　(1)原式＝
＝＝tan 2θ．
(2)原式＝
＝
＝
＝＝＝1．
7．已知角α在第一象限且cos α＝，求的值．
解　∵cos α＝且α在第一象限，∴sin α＝．
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝，
原式＝
＝＝．
能力提升
8．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析　设底角为θ，则θ∈，顶角为π－2θ．
∵sin θ＝，∴cos θ＝＝．
∴sin(π－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝．
答案　A
9．函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析　f(x)＝1－2sin2x＋6sin x＝－2(sin x－)2＋，所以当sin x＝1时，f(x)的最大值为5．
答案　B
10．已知tan ＝3，则＝______　．
解析　＝
＝
＝tan ＝3．
答案　3
11．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，cos(α－β)＝
________．
解析　α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ.∴cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2kπ)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝－＝－.
答案　－
12．已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π．
(1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解　(1)f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin．
又f(x)的最小正周期为π，ω>0，
∴T＝＝π，∴ω＝1．
(2)由(1)得f(x)＝sin，
函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z得
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
13．(选做题)已知函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x－cos2x＋2sin xcos x．
(1)化简f(x)；
(2)若f(α)＝，2α是第一象限角，求sin 2α．
解　(1)f(x)＝cos 2x－sin 2x－cos 2x＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)．
(2)f(α)＝sin＝，2α是第一象限角，即2kπ<2α<＋2kπ(k∈Z)，
∴2kπ－<2α－<＋2kπ，k∈Z，
∴cos＝，
∴sin 2α＝sin
＝sin·cos＋cos·sin
＝×＋×＝．