3.2 简单的三角恒等变换学案

§3.2　简单的三角恒等变换
内容要求　1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想(难点).2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的方法(重点).3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明(重点)．
知识点1　半角公式
sin＝±　．
cos＝±　．
tan＝±　(无理形式)．
tan＝＝　(有理形式)．
【预习评价】
若cos α＝－，且α∈(π，)，则cos＝________．
解析　∵α∈(π，)，∴∈(，)，
∴cos＝－＝－.
答案　－
知识点2　常见的三角恒等变换
1．a sin x＋b cos x＝sin(x＋φ)(ab≠0)，其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定．
2．sin2x＝，cos2x＝，
sin x cos x＝sin 2x　．
【预习评价】
函数f(x)＝cos2x－1的周期为________．
解析　f(x)＝(1＋cos 2x)－1＝cos 2x－，∴T＝＝π．
答案　π
题型一　利用半角公式求值
【例1】　已知cos α＝，α为第四象限角，求sin ，cos ，tan ．
解　sin ＝± ＝± ＝±，
cos ＝± ＝± ＝±，
tan ＝± ＝±＝±．
∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角．
当为第二象限角时，
sin＝，cos＝－，tan＝－；
当为第四象限角时，
sin＝－，cos＝，tan＝－．
规律方法　利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．
(4)下结论：结合(2)求值．
【训练1】　已知sin θ＝－，3π<θ<π，则tan的值为(　　)
A．3 B．－3
C． D．－
解析　∵3π<θ<，sin θ＝－，∴cos θ＝－，tan＝＝－3．
答案　B
题型二　三角函数式的化简
【例2】　化简：(－π<α<0)．
解　原式＝
＝
＝＝．
因为－π<α<0，所以－<<0, 所以sin<0，
所以原式＝＝cos α．
规律方法　三角函数式化简的要求、思路和方法
(1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．
(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．
【训练2】　设α∈(，2π)，化简：．
解　∵α∈(，2π)，∴cos α>0，cos <0，故原式＝＝＝＝|cos|＝－cos．
题型三　三角恒等式的证明
【例3】　证明：＝．
证明　左边＝
＝
＝＝＝．
右边＝＝，
所以左边＝右边，
即等式成立．
规律方法　证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2)证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
【训练3】　求证：－tan θ·tan 2θ＝1．
证明　－tan θ·tan 2θ＝－
＝＝＝
＝＝1．
课堂达标
1．已知cos α＝，α∈(，2π)，则sin等于(　　)
A． B．－
C． D．
解析　∵α∈(，2π)，∴∈(，π)，sin＝＝．
答案　A
2．化简·的结果为(　　)
A．tan α B．tan 2α
C．1 D．2
解析　原式＝·＝tan 2α．
答案　B
3．计算：sin 105°cos 75°的值是________．
解析　sin 105°cos 75°＝sin(180°－105°)cos 75°＝sin 150°＝．
答案　
4．已知sin －cos ＝－，＜α＜π，则tan ＝________．
解析　∵(sin －cos )2＝，
∴1－sin α＝，∴sin α＝.
又∵＜α＜π，∴cos α＝－.
∴tan ＝＝＝2.
答案　2
5．在△ABC中，已知cos A＝，求证＝．
证明　因为cos A＝，
所以1－cos A＝，
1＋cos A＝，
所以＝，
而＝＝tan2，
＝＝tan2，
所以tan2＝·tan2，
即＝．
课堂小结
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝(或sin φ＝，cos φ＝)．
3．研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个角的一种三角函数形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，
例如sin x±cos x＝sin；
sin x±cos x＝2sin等．
基础过关
1．下列各式与tan α相等的是(　　)
A． B．
C． D．
解析　＝＝＝tan α．
答案　D
2．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析　∵5π<θ<6π，∴<<，
∴sin＝－＝－．
答案　D
3．在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
解析　sin Asin B＝(1＋cos C)，
即2sin Asin B＝1＋cos C，
∴2sin Asin B＝1－cos Acos B＋sin Asin B，
故得cos(A－B)＝1，
又因为A－B∈(－π，π)，
∴A－B＝0，即A＝B，则△ABC是等腰三角形．
答案　B
4．化简的结果是________．
解析　＝
＝＝|sin 1＋cos 1|，
因为1∈(0，)，所以sin 1>0，cos 1>0，
则＝sin 1＋cos 1．
答案　sin 1＋cos 1
5．设25sin2x＋sin x－24＝0，x是第二象限角，则cos的值为________．
解析　(25sin x－24)(sin x＋1)＝0，因为x是第二象限角，故是第一或三象限角，sin x＝，cos x＝，故cos＝±＝±．
答案　或-
6．证明：··＝tan ．
证明　左边＝··
＝·＝·
＝＝
＝tan ＝右边．
所以原等式成立．
7．化简：＋．
解　原式＝
＋
＝＋
＝＋＝＝＝．
能力提升
8．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有(　　)
A．cC．a解析　a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，
b＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°，
c＝sin 25°，
y＝sin x在[0，]上是递增的．
∴a答案　C
9．若cos α＝－，α是第三象限的角，则等于(　　)
A．－ B．
C．2 D．－2
解析　∵α是第三象限角，cos α＝－，
∴sin α＝－，∴tan ＝＝＝－3，
∴＝＝－.
答案　A
10．sin220°＋sin 80°·sin 40°的值为________．
解析　原式＝sin220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)
＝sin220°＋(sin 60°cos 20°＋cos 60°sin 20°)·(sin 60°cos 20°－cos 60°sin 20°)
＝sin220°＋sin260°cos220°－cos260°sin220°
＝sin220°＋cos220°－sin220°
＝sin220°＋cos220°＝．
答案　
11．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A＝________．
解析　sin2＋cos 2A＝＋2cos2A－1
＝＋2cos2A－1
＝－．
答案　－
12．已知sin＋sin α＝－，－<α<0，求cos α的值．
解　∵sin＋sin α
＝sin αcos ＋cos αsin ＋sin α
＝sin α＋cos α＝－．
∴sin α＋cos α＝－，
∴sin＝－．
∵－<α<0，∴－<α＋<，
∴cos＝．
∴cos α＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝×＋×＝．
13．(选做题)(1)求证：1＋2cos2θ－cos 2θ＝2．
(2)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝．
证明　(1)左边＝1＋2cos2θ－cos 2θ
＝1＋2×－cos 2θ
＝2＝右边．
所以原等式成立．
(2)原式＝sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°
＝cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝
＝
＝
＝·＝＝右边，
所以原等式得证．