第2章 平面向量章末复习课学案

章末复习课
网络构建
核心归纳
1．五种常见的向量
(1)单位向量：模为1的向量．
(2)零向量：模为0的向量．
(3)平行(共线)向量：方向相同或相反的向量．
(4)相等向量：模相等，方向相同的向量．
(5)相反向量：模相等，方向相反的向量．
2．两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa．
(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
3．两个非零向量平行、垂直的等价条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：
(1)a∥b?a＝λb(λ≠0)?x1y2－x2y1＝0，
(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．
4．平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝．
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝．
5．向量的投影
向量a在b方向上的投影为|a|cos θ＝.
6．向量的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a，a·b＝b·a．
(2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c，a－b－c＝a－(b＋c)，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
(4)重要公式：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．
要点一　平面向量的线性运算及应用
向量线性运算的基本原则和求解策略
(1)基本原则：
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．
(2)求解策略：
①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．
②字符表示下线性运算的常用技巧：
首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝．
③平行向量(共线向量)、相等向量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进行恰当地应用．
④注意常见结论的应用．如△ABC中，点D是BC的中点，则＋＝2．
【例1】　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b的结果是(　　)
A．(7，－2) B．(1，－2)
C．(1，－3) D．(7,2)
解析　∵a＝(2,1)，b＝(－3,4)，∴2a－b＝2(2,1)－(－3，4)＝(4,2)－(－3,4)＝(4＋3,2－4)＝(7，－2)，故选A．
答案　A
(2)设D为△ABC所在平面内一点，则＝3，则(　　)
A．＝－＋ B．＝－
C．＝－ D．＝－＋
解析　∵＝3，∴－＝3(－)，∴2＝3－，∴＝－．
答案　D
【训练1】　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c．
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n．
解　由已知得a＝(5，－5)，
b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，a＝mb＋nc，
所以解得
要点二　平面向量的数量积运算
向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．
运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．
【例2】　 (1)如图所示，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(＋)·(＋)＝________；
解析　由于＝＋，＝＋，
所以＋＝＋＋＋＝－．
(＋)·(＋)＝(－)·(＋)
＝||2－||2＝9－4＝5．
答案　5
(2)在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围为________．
解析　以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)，则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，所以直线AB的方程为x＋y－2＝0.设M(t,2－t)，因为MN＝，所以N(t＋1,1－t)(0≤t≤1)，所以·＝t(t＋1)＋(2－t)(1－t)＝2t2－2t＋2＝22＋.因为0≤t≤1.所以·的取值范围为．
答案　[，2]
【训练2】　已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．
解析　b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×1×1×－8＝－6．
答案　－6
要点三　平面向量的平行与垂直问题
1．证明共线问题常用的方法
(1)向量a，b(a≠0)共线?存在唯一实数λ，使b＝λa．
(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线?x1y2－x2y1＝0．
(3)向量a与b共线?存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0．
2．证明平面向量垂直问题的常用方法
a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
【例3】　已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
解析　由⊥知·＝0，
即·＝(λ＋)·(－)
＝(λ－1)·－λ2＋2
＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝．
答案　
【训练3】　直角坐标系xOy中，＝(2,1)，＝(3，k)，若△ABC是直角三角形，则k的可能值个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析　＝－＝(1，k－1)，若⊥，则·＝6＋k＝0得k＝－6；若⊥，则·＝2＋k－1＝0，得k＝－1；若⊥，则·＝3＋k2－k＝0，此方程无解，故k的可能值为－6或－1．
答案　B
要点四　平面向量的模与夹角
(1)利用数量积求解长度的方法
①|a|2＝a2＝a·a；
②|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；
③若a＝(x，y)，则|a|＝．
(2)求两个非零向量的夹角时要注意
①向量的数量积不满足结合律；
②数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两个向量的夹角为直角；数量积小于0且两个向量不共线时两个向量的夹角就是钝角．
【例4】　(1)已知a，b为平面向量，若a＋b与a的夹角为，a＋b与b的夹角为，则＝________；
解析　设＝a，＝b(O为坐标原点)，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，由于a＋b与a的夹角为，a＋b与b的夹角为，所以∠AOC＝，∠ACO＝，在△AOC中，|a|＝|b|，故＝1．
答案　1
(2)已知△ABC是正三角形，若－λ与向量的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是________．
解析　因为－λ与向量的夹角大于90°，所以(－λ)·<0，即||2－λ|·|cos 60°<0，解得λ>2；当－λ与反向时无解．
答案　(2，＋∞)
【训练4】　已知|a|＝1，a·b＝，|a－b|2＝1，则a与b的夹角等于(　　)
A. B.
C. D.
解析　设a与b的夹角为θ，
因为a·b＝|a||b|·cos θ＝，且|a|＝1，
所以|b|cos θ＝.①
又|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1，即1＋|b|2－1＝1，故|b|＝1.②
由①②得cos θ＝．
又θ∈[0，π]，所以θ＝，故选C.
答案　C