第3章 三角恒等变换章末复习课学案

章末复习课
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核心归纳
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β
tan(α±β)＝
2．倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin αcos α
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
tan 2α＝
3．半角公式
sin＝±
cos ＝±
tan＝±＝＝
4．辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)（其中φ为辅助角tan φ＝）
（或asin x＋bcos x＝cos(x－φ)，tan φ＝）
要点一　三角函数式的化简
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，一般化异角为同角，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，一般化异名为同名，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．
【例1】　化简：(1)(0<θ<π)；
(2)·．
解　(1)原式＝
＝
＝．
因为0<θ<π，
所以0<<，
所以cos>0，
所以原式＝－cos θ．
(2)原式＝·
＝·
＝·＝．
【训练1】　化简：．
解　原式＝
＝＝
＝cos 2x．
要点二　三角函数求值
三角函数求值的三种情况
(1)“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”一般用已知角表示所求角．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再根据角的范围，确定角．
【例2】　(1)的值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
解析　原式＝＝＝＝．
答案　B
(2)已知tan＝，且－<α<0，则＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．
解析　因为tan(α＋)＝＝，
所以tan α＝－，
因为－<α<0，
所以sin α＝－，
则＝
＝2sin α＝－．
答案　A
【训练2】　已知sin(－α)＝，0<α<，求的值．
解　∵cos(＋α)＝sin(－α)＝，0<α<，
∴sin(α＋)＝，
又∵cos 2α＝sin(＋2α)＝sin2(＋α)，
∴＝＝2sin(＋α)＝.
考查
方向
　要点三　三角恒等变换的综合应用
利用三角恒等变换研究函数性质的方法步骤：
(1)运用和、差、倍角公式化简；
(2)统一把f(x)化成f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式； (3)利用辅助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质．
方向1　利用三角恒等变换研究函数的性质
【例3-1】　已知函数f(x)＝cos xsin(x＋)－cos2x＋，x∈R．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值．
解　(1)由已知，有f(x)＝cos x·(sin x＋cos x)－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)．
所以f(x)的最小正周期T＝＝π．
(2)∵－≤x≤，
∴－≤2x－≤，
∴－1≤sin(2x－)≤，
∴－≤f(x)≤，
所以，函数f(x)在闭区间[－，]上的最大值为，最小值为－．
方向2　三角恒等变换与向量的综合应用
【例3-2】　已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝．
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若－<β<0<α<，且sin β＝－，求sin α的值．
解　(1)因为向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
|a－b|＝
＝＝，
所以2－2cos(α－β)＝，所以cos(α－β)＝．
(2)因为0<α<，－<β<0，所以0<α－β<π，
因为cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝，且sin β＝－，cos β＝，
所以sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)·sin β＝×＋×(－)＝．
【训练3】　已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点(，)和点(，－2)．
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
解　(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x．
因为y＝f(x)的图象过点(，)和(，－2)，
所以
即解得
(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)．
由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin(2x＋2φ＋)．
设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，
由题意知x＋1＝1，
所以x0＝0，
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．
将其代入y＝g(x)得sin(2φ＋)＝1，
因为0<φ<π，所以φ＝，
因此g(x)＝2sin(2x＋)＝2cos 2x．
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，所以函数y＝g(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ]，k∈Z．