北师大版数学八年级上册7.2.2 定理与证明教学设计
课题
7.2.2 定理与证明
单元
第七单元
学科
数学
年级
八
学习
目标
知识与技能：1.理解公理、证明、定理的概念.2.掌握公理、证明、定理的联系与区别.
过程与方法：1.通过对公理的认识,明确证明需要公理和定理.2.经历实际情境,初步体会公理化的思想和方法.
情感态度与价值观：1.通过从具体例子中提炼数学概念,培养学生思维的严密性和逻辑性.
2.结合实例让学生意识到证明的必要性,培养学生做到有理有据,有条理地表达自己的想法的良好意识,培养学生的语言表达能力.
重点
理解公理、证明和定理的概念.
难点
准确找出命题的条件和结论,公理与定理的区别,写出步步有理有据的证明过程.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
【思考】判断下列句子中,哪些是命题?哪些不是命题?
(1)同一平面中的两条直线不是平行就是相交.( )
(2)画一个长方形和正方形.( )
(3)直角小于钝角.( )
(4)4是偶数吗?( )
一般地,对某一事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题.
命题由可看作由题设(或条件)和结论两部分组成.
【思考】下列命题的条件是什么?结论是什么?
(1)如果地面是潮湿的,那么下雨了.
(2)同位角相等,两条直线平行.
(3)三角形两边之和大于第三边.
在上述命题中,哪些正确?哪些不正确?你的理由是什么?
什么叫做真命题,什么叫做假命题?
正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.
在做题的过程中抓住学生的质疑与好奇,引出新课内容,揭示课题.
加深学生对逻辑推理的理解,可激发学生学习本课时的兴趣,从而引出本课时的问题.
讲授新课
通过刚刚的复习,我们回顾了真命题与假命题的概念,也知道要判断一个命题是假命题,只需要举出一个反例即可;但要判断一个命题是真命题,该怎么办呢?
能用以前学习的观察、实验、验证特例的方法吗?这我们在以前的学习过程中已经探讨过,这种方法不可靠.那么,是否可以根据已经知道的真命题证实呢?试想一下,这样的真命题又该如何证实它是正确的呢?
阅读教材P168~P169内容,并回答下列问题:
(1)什么叫公理?公理的意义是什么?
(1)公理:人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据.这样公认为正确的命题叫做公理.
例如:“两点之间线段最短”,“三边分别相等的两个三角形全等”,
“过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”……
(2)定理的概念是什么?它和公理有什么区别和联系?
(2)定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.
定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据.
本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们
已经认识了其中的八条，它们是：
（1）两点确定一条直线.
（2）两点之间线段最短.
（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行).
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
（8）三边分别相等的两个三角形全等.
此八条基本事实前面已详细探索过，不必验证它们的正确性，可以直接用来证实其它命题的正确性，另外一条我们将在以后认识它。
此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.
例如，如果a=b，b=c, 那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果a>b，b>c， 那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据.
定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系：
(1)联系：这四者都是命题．
(2)区别：定义、基本事实、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实是最原始的依据；而命题不
一定是真命题，因而不 能作为进一步判断其他命题真假的依据.
请用学过的公理或定理说明下面这些命题的正确性.
(1)同角(等角)的补角相等.
(2)同角(等角)的余角相等.
(3)三角形的任意两边之和大于第三边.
(1)已知∠1=∠2,∠3是∠1的补角,∠4是∠2的补角,求证∠3=∠4.
证明: ∵∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°(已知),
∴∠3=180°-∠1,∠4=180°-∠2(等式的性质).
又∠1=∠2(已知),∴∠3=∠4(等量代换).
同理可证同角的补角相等.
(2)证明过程与(1)类似.
(3)任取三角形的两个顶点,根据公理“两点之间线段最短”可知命题正确.
为了使我们的解答更为规范和有条理,请同学们根据此题总结一下证明一个命题的一般步骤.
证明一个命题的一般步骤:
1.已知:写出命题的条件(必要时结合图形).
2.求证:写出命题的结论.
3.证明:写出演绎推理的过程.
已知：如图,直线AB与直线CD相交于点O,
∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC=∠BOD.
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O,
∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义).
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义).
∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等).
由上面的例题，我们可以得到定理：对顶角相等.
[知识拓展] 1.对于公理:①公理是不需要推理证实的真命题,②公理可以作为判断其他命题真假的根据.
2.对于定理:①定理都是真命题,但真命题不一定都是定理;②定理可以作为推证其他命题的依据.
3.证明的一般步骤:①根据题意,画出图形;②根据条件和结论,结合图形写出已知和求证;③经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.
4.假命题的判断:判断一个命题是假命题,只要举出反例来说明即可.
首先学生自主思考,挨个回答上面的问题,然后学生交流合作试画图表,此时教师给予必要的指导.巡视同时注意看有没有同学能够画出较为合理的图表,有的话就给予全班展示.最后再多媒体展示,出示答案.
先让学生独立思考,然后学生试着写出证明过程,最后老师在黑板上板书.说明符号“∵”读作“因为”,“∴”读作“所以”.强调“刚开始学习证明,最好在每一步的后面注明依据”.
教师先让学生独立完成,并请学生板演,其他学生在练习本上完成.做完后小组之间开展互评.教师巡视,适时点拨.学生完成后及时点评,借助多媒体展示正确答案,让学生对出现的问题进行矫正.
在小组交流的基础上,在教师的引导下,首先归纳总结出证明一个命题的一般步骤,然后让学生对照步骤,完善各自的解题过程.
让学生明确有哪些公理,给学生留出一定的思维空间,让他们思考如何证实真命题的问题,在此基础上,引出数学家欧几里得《原本》的编写思路.
通过自主学习、合作交流、优秀图表展示等环节,既可以锻炼学生的自主学习能力,又发展了学生的合作交流能力、有条理思考的能力和语言表达能力.
证明已经探索过的结论,目的是引导学生了解证明要有理有据,规范证明的步骤,发展推理能力;培养学生的合作探究意识.
在解决这个问题的过程中,帮助学生进一步理解和巩固证明的含义,引导学生利用公理、定义、已经证明的真命题解决实际问题,训练思维的严谨性、逻辑性,强化证明步骤的规范性.
课堂练习
1.下列叙述错误的是 ( B )
A.所有的命题都有条件和结论
B.所有的命题都是定理
C.所有的定理都是命题
D.所有的公理都是真命题
2.下列命题为假命题的是 ( C )
A.三角形三个内角的和等于180°
B.三角形两边之和大于第三边
C.三角形两边的平方和等于第三边的平方
D.三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半
3.已知命题:等底等高的两个三角形面积相等,则这个命题的结论是( C )
A.两个三角形
B.两个三角形的面积
C.两个三角形的面积相等
D.两个三角形等底等高
4.如图所示,已知∠AOC与∠BOD都是直角,∠BOC=65°.
(1)求∠AOD的度数;
(2)求证∠AOB=∠DOC;
(3)若不知道∠BOC的具体度数,其他条件不变,(2)的关系仍成立吗?若成立,说明理由.
解:(1)因为∠DOC=∠DOB-∠BOC=90°-65°=25°,所以∠AOD=∠AOC+∠DOC=90°+25°=115°.
(2)证明:因为∠DOC=25°,∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-65°=25°,所以∠AOB=∠DOC.
(3)解:成立.因为∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-∠BOC,∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-∠BOC,所以∠AOB=∠COD.
5.（宜昌）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ D ）
A.垂线段最短
B.经过一点有无数条直线
C.经过两点，有且仅有一条直线
D.两点之间，线段最短
6.（2019?深圳）下面命题正确的是（ D ）
A．矩形对角线互相垂直
B．方程x2=14x的解为x=14
C．六边形内角和为540°
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
学生认真做课堂练习。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。
提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学。
课堂小结
这节课你学到了什么？
本节课的重点是了解命题中的真假命题、公理、定理的含义，通过学习学会区分命题的条件、结论，学会判别真、假命题，理解反例、证明等概念．
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。
板书
7.2.2 定理与证明
1.公理、证明和定理
2.证明的基本依据
3.定理的证明
课件27张PPT。7.2.2 定理与证明北师版 八年级上新知导入【思考】判断下列句子中,哪些是命题?哪些不是命题?
(1)同一平面中的两条直线不是平行就是相交.( )
(2)画一个长方形和正方形.( )
(3)直角小于钝角.( )
(4)4是偶数吗?( )一般地,对某一事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题.
命题由可看作由题设(或条件)和结论两部分组成.新知导入【思考】下列命题的条件是什么?结论是什么?
(1)如果地面是潮湿的,那么下雨了.
(2)同位角相等,两条直线平行.
(3)三角形两边之和大于第三边.
在上述命题中,哪些正确?哪些不正确?你的理由是什么?
什么叫做真命题,什么叫做假命题?
正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.新知讲解通过刚刚的复习,我们回顾了真命题与假命题的概念,也知道要判断一个命题是假命题,只需要举出一个反例即可;但要判断一个命题是真命题,该怎么办呢?
能用以前学习的观察、实验、验证特例的方法吗?这我们在以前的学习过程中已经探讨过,这种方法不可靠.那么,是否可以根据已经知道的真命题证实呢?试想一下,这样的真命题又该如何证实它是正确的呢?新知讲解阅读教材P168~P169内容,并回答下列问题:
(1)什么叫公理?公理的意义是什么?(1)公理:人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据.这样公认为正确的命题叫做公理.
例如:“两点之间线段最短”,“三边分别相等的两个三角形全等”,
“过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”……新知讲解阅读教材P168~P169内容,并回答下列问题:
(2)定理的概念是什么?它和公理有什么区别和联系?(2)定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.
定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据.新知讲解本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们
已经认识了其中的八条，它们是：
（1）两点确定一条直线.
（2）两点之间线段最短.
（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两
条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行).
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.新知讲解本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们
已经认识了其中的八条，它们是：
（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
（8）三边分别相等的两个三角形全等.此八条基本事实前面已详细探索过，不必验证它们的正确性，可以直接用来证实其它命题的正确性，另外一条我们将在以后认识它。新知讲解此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.
例如，如果a=b，b=c, 那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果a>b，b>c， 那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据.新知讲解 定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系：
(1)联系：这四者都是命题．
(2)区别：定义、基本事实、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实是最原始的依据；而命题不
一定是真命题，因而不 能作为进一步判断其他命题真假的依据. 新知讲解请用学过的公理或定理说明下面这些命题的正确性.
(1)同角(等角)的补角相等.
(2)同角(等角)的余角相等.
(3)三角形的任意两边之和大于第三边.新知讲解(1)已知∠1=∠2,∠3是∠1的补角,∠4是∠2的补角,求证∠3=∠4.
证明: ∵∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°(已知),
∴∠3=180°-∠1,∠4=180°-∠2(等式的性质).
又∠1=∠2(已知),∴∠3=∠4(等量代换).
同理可证同角的补角相等.
(2)证明过程与(1)类似.
(3)任取三角形的两个顶点,根据公理“两点之间线段最短”可知命题正确.新知讲解为了使我们的解答更为规范和有条理,请同学们根据此题总结一下证明一个命题的一般步骤.
证明一个命题的一般步骤:
1.已知:写出命题的条件(必要时结合图形).
2.求证:写出命题的结论.
3.证明:写出演绎推理的过程.新知讲解已知：如图,直线AB与直线CD相交于点O,
∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC=∠BOD.
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O,
∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义).
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)
∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等).
由上面的例题，我们可以得到定理：对顶角相等.新知讲解[知识拓展] 1.对于公理:①公理是不需要推理证实的真命题,②公理可以作为判断其他命题真假的根据.
2.对于定理:①定理都是真命题,但真命题不一定都是定理;②定理可以作为推证其他命题的依据.
3.证明的一般步骤:①根据题意,画出图形;②根据条件和结论,结合图形写出已知和求证;③经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.
4.假命题的判断:判断一个命题是假命题,只要举出反例来说明即可.课堂练习1.下列叙述错误的是 ( )
A.所有的命题都有条件和结论
B.所有的命题都是定理
C.所有的定理都是命题
D.所有的公理都是真命题B课堂练习2.下列命题为假命题的是 ( )
A.三角形三个内角的和等于180°
B.三角形两边之和大于第三边
C.三角形两边的平方和等于第三边的平方
D.三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半C课堂练习3.已知命题:等底等高的两个三角形面积相等,则这个命题的结论是
( )
A.两个三角形
B.两个三角形的面积
C.两个三角形的面积相等
D.两个三角形等底等高C拓展提高4.如图所示,已知∠AOC与∠BOD都是直角,∠BOC=65°. (1)求∠AOD的度数;
(2)求证∠AOB=∠DOC;
(3)若不知道∠BOC的具体度数,其他条件不变,(2)的关系仍成立吗?若成立,说明理由.拓展提高解:(1)因为∠DOC=∠DOB-∠BOC=90°-65°=25°,所以∠AOD=∠AOC+∠DOC=90°+25°=115°.
(2)证明:因为∠DOC=25°,∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-65°=25°,所以∠AOB=∠DOC.
(3)解:成立.因为∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-∠BOC,∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-∠BOC,所以∠AOB=∠COD.中考链接5.（宜昌）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A.垂线段最短
B.经过一点有无数条直线
C.经过两点，有且仅有一条直线
D.两点之间，线段最短D中考链接6.（2019?深圳）下面命题正确的是（ ）
A．矩形对角线互相垂直
B．方程x2=14x的解为x=14
C．六边形内角和为540°
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等D课堂总结本节课的重点是了解命题中的真假命题、公理、定理的含义，通过学习学会区分命题的条件、结论，学会判别真、假命题，理解反例、证明等概念．这节课你学到了什么？板书设计7.2.2 定理与证明
1.公理、证明和定理
2.证明的基本依据
3.定理的证明作业布置课本 P171 习题7.3谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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