北师大版数学八年级上册7.5.1 三角形内角和定理教学设计
课题
7.5.1 三角形内角和定理
单元
第七单元
学科
数学
年级
八
学习
目标
知识与技能：掌握“三角形内角和定理”的证明及简单的应用.
过程与方法：通过一题多变,建立思考情境,形成独立思考、合作交流的学习模式,培养理性说理能力.
情感态度与价值观：培养学生创造性,弘扬个性发展,体验解决问题的成就感,使学生感悟逻辑推理的数学价值.
重点
理解三角形内角和定理及其简单的应用.
难点
三角形内角和定理的证明方法.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
三角形内角和等于多少度?
我们在小学就已经知道三角形的内角和等于180°,这个结论是通过实验得到的,这个命题是不是真命题还需要证明,怎样证明呢?
回顾我们小学做过的实验,你是怎样操作的?
将三角形纸片的三个角剪下,随意将它们拼凑在一起.由试验可知三角形的内角和正好为一个平角.
但观察与试验得到的结论,并不一定正确、可靠,这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢?这节课我们一起探究一下三角形内角和定理的证明.
让学生回忆思考小学学过的知识点。
对比过去撕纸等探索过程,体会思维试验和符号化的理性作用.将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难,因此需要一个台阶,使学生逐步过渡到严格的证明.
讲授新课
我们知道，三角形内角和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗？
（1）如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能说明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？
（2）根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同伴进行交流.
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
分析：延长BC到D，过点C作射线CE//BA，这样就相当于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置.
这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.
证明：延长BC到D，过点C作射线CE//BA，则
∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），
∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）.
∵∠l+∠2+∠ACB=180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.
我们通过推理的过程,得证了命题:三角形的内角和等于180°是真命题,这时称它为定理,即三角形内角和定理.
1.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
2.定理证明的思路：因为180°的角有：
(1)平角；(2)邻补角的和；
(3)平行线间一对同旁内角的和，因此证三角形的内角和为180°就是要把三角形的三个内角转化为上述的三种角，而创造平行线是转化的桥梁．
【问题】你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗?
证法1:过点A作DE∥BC.
∵DE∥BC,
∴∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).
∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义),
∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).
证法2:过点A作AD∥BC.
∵AD∥BC,∴∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),
∠DAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补).
又∵∠DAC=∠1+∠2,
∴∠1+∠2+∠C=180°(等量代换),
∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).
综上所述,添加辅助线的目的是什么?你是怎样理解辅助线的?
(1)辅助线通常画成虚线;(2)辅助线要正确、规范地写出作法,并标明字母,便于书写证明过程;(3)辅助线能把题目中可利用的隐藏条件显露出来,化难为易.
总结四句话:小小辅助线,作时画虚线,写清其来源,隐藏条件见.
【例1】如图所示,在ΔABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是ΔABC的角平分线,求∠ADB的度数.
解:在ΔABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理).
∵∠B=38°,∠C=62°(已知),
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性质).
∵AD平分∠BAC(已知),
∴∠BAD=∠CAD=80°÷2=40°(角平分线的定义).
在ΔADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理).
∵∠B=38°(已知),∠BAD=40°(已证),
∴∠ADB=180°-38°-40°=102°(等式的性质).
问题1小组交流后学生代表发言,展示交流成果.学生发言时,教师注意提示学生文字命题的证明步骤以及数学语言表达的规范性.对于问题2,教师引导学生再次明确辅助线的作法及其相关要求:(1)这里的CD称为辅助线;(2)辅助线通常画成虚线.师生合作,教师规范完成辅助线的添加后,余下的证明过程由一名学生在黑板上独立完成,其余学生在练习本上写出完整的证明过程.教师巡视,帮助、鼓励困难学生解决问题.学生板演完成后师生共同评价,评价时重点强调辅助线的作法及证明过程的规范性.对于问题3,学生回答时,可能语言不准确,教师及时引导,让学生自主感悟体会到证明的关键是添加辅助线,把三角形内角和转化成一个平角.
学生先结合图形读题,指图说出已知条件和要解决的问题,然后说说分析思路及求解过程,最后学生板演,师生共同评价.如果学生有困难,可以先在小组内讨论交流.
用平行线的性质定理来推导出三角形内角和定理,让学生再次体会推理证明的严密性和数学的严谨.同时让学生初步理解添加辅助线的原因及添加辅助线的注意事项,培养学生的分析能力和逻辑推理能力.
通过学生独立运用较简单的方法证明三角形内角和定理,感受体会“辅助线”的作法和作用,提高一题多解的能力,体会思维的多样性和基本的转化思想.
添加辅助线是教学中的一个难点,学生通过思考、讨论、交流对辅助线的认识,展示思维过程,然后在老师的引导下达成共识,进一步加深了对辅助线的理解,易于突破教学难点,提高学生解决问题的能力.
学生通过三角形内角和定理的简单应用,及时加深了对所学知识的理解,规范学生的证明过程,培养了学生良好的学习数学的习惯.
课堂练习
1.下列叙述正确的是 ( C )
A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和
B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角
C.三角形中至少有两个锐角
D.三角形中至少有一个锐角
2.若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4,则这个三角形是( C )
A.直角三角形 B.钝角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形
3.如图所示,在ΔABC中,∠B=67°,∠C=33°,AD是ΔABC的角平分线,则∠CAD的度数为 ( A )
A.40° B.45° C.50° D.55°
4.如图所示,已知∠ABC和∠ACB的平分线BD,CE相交于点O,∠A=60°,求∠BOC的度数.
解:在ΔABC中,
∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,
∴∠ABC+∠ACB的一半等于60°.
∴在ΔBOC中,∠BOC=120°.
5.在ΔABC中,∠ABC=∠C,BD⊥AC,∠ABD=30°,则∠C的度数是多少?
解:①当ΔABC为锐角三角形时,如图(1)所示,在ΔABD中,∵BD⊥AC(已知),∴∠ADB=90°(垂直的定义).又∵∠ABD=30°(已知),∴∠A=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-30°=60°.又∵∠A+∠ABC+∠C=180°(三角形内角和定理),∴∠ABC+∠C=120°.又∵∠ABC=∠C(已知),∴∠C=60°.
②当ΔABC是钝角三角形时,如图(2)所示,在直角三角形ABD中,∵∠ABD=30°(已知),
∴∠BAD=60°,∴∠BAC=120°,
又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°(三角形内角和定理),∴∠ABC+∠C=60°.
又∵∠ABC=∠C(已知),∴∠C=30°.
综上,∠C的度数应为60°或30°.
6.（2019?铁岭）如图，在△CEF中，∠E=80°，∠F=50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ B ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
7.（2019?赤峰）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACB的度数为（ B ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
学生认真做课堂练习。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。
提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学。
课堂小结
这节课你学到了什么？
1.三角形的内角和定理：三角形内角和等于180 °
2.了解添加辅助线的方法及其目的
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。
板书
7.5.1 三角形内角和定理
1.探索三角形内角和定理
2.想一想,做一做
3.议一议
4.探索活动
5.典例解析,应用新知
课件25张PPT。7.5.1 三角形内角和定理北师版 八年级上新知导入我们在小学就已经知道三角形的内角和等于180°,这个结论是通过实验得到的,这个命题是不是真命题还需要证明,怎样证明呢?三角形内角和等于多少度?新知导入回顾我们小学做过的实验,你是怎样操作的?将三角形纸片的三个角剪下,随意将它们拼凑在一起.由试验可知三角形的内角和正好为一个平角.但观察与试验得到的结论,并不一定正确、可靠,这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢?这节课我们一起探究一下三角形内角和定理的证明.新知讲解我们知道，三角形内角和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗？
（1）如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能说明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？
（2）根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同伴进行交流. 新知讲解已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.新知讲解分析：延长BC到D，过点C作射线CE//BA，这样就相当于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置.新知讲解证明：延长BC到D，过点C作射线CE//BA，则
∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），
∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）.
∵∠l+∠2+∠ACB=180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）. 新知讲解我们通过推理的过程,得证了命题:三角形的内角和等于180°是真命题,这时称它为定理,即三角形内角和定理.1.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
2.定理证明的思路：因为180°的角有：
(1)平角；(2)邻补角的和；
(3)平行线间一对同旁内角的和，因此证三角形的内角和为180°就是要把三角形的三个内角转化为上述的三种角，而创造平行线是转化的桥梁．新知讲解【问题】你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗?证法1:过点A作DE∥BC.
∵DE∥BC,
∴∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).
∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义),
∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).新知讲解证法2:过点A作AD∥BC.
∵AD∥BC,∴∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),
∠DAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补).
又∵∠DAC=∠1+∠2,
∴∠1+∠2+∠C=180°(等量代换),
∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).【问题】你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗?新知讲解综上所述,添加辅助线的目的是什么?你是怎样理解辅助线的?(1)辅助线通常画成虚线;(2)辅助线要正确、规范地写出作法,并标明字母,便于书写证明过程;(3)辅助线能把题目中可利用的隐藏条件显露出来,化难为易.总结四句话:小小辅助线,作时画虚线,写清其来源,隐藏条件见.新知讲解【例1】如图所示,在ΔABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是ΔABC的角平分线,求∠ADB的度数. 解:在ΔABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理).
∵∠B=38°,∠C=62°(已知),
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性质).
∵AD平分∠BAC(已知),
∴∠BAD=∠CAD=80°÷2=40°(角平分线的定义).新知讲解【例1】如图所示,在ΔABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是ΔABC的角平分线,求∠ADB的度数. 在ΔADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理).
∵∠B=38°(已知),∠BAD=40°(已证),
∴∠ADB=180°-38°-40°=102°(等式的性质).课堂练习1.下列叙述正确的是 ( )
A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和
B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角
C.三角形中至少有两个锐角
D.三角形中至少有一个锐角C课堂练习2.若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4,则这个三角形是
( )
A.直角三角形 B.钝角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形3.如图所示,在ΔABC中,∠B=67°,∠C=33°,AD是ΔABC的角平分线,则∠CAD的度数为 ( )
A.40° B.45° C.50° D.55°CA课堂练习4.如图所示,已知∠ABC和∠ACB的平分线BD,CE相交于点O,
∠A=60°,求∠BOC的度数.解:在ΔABC中,
∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,
∴∠ABC+∠ACB的一半等于60°.
∴在ΔBOC中,∠BOC=120°.拓展提高5.在ΔABC中,∠ABC=∠C,BD⊥AC,∠ABD=30°,则∠C的度数是多少?解:①当ΔABC为锐角三角形时,如图(1)所示,在ΔABD中,∵BD⊥AC(已知),∴∠ADB=90°(垂直的定义).
又∵∠ABD=30°(已知),∴∠A=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-30°=60°.
又∵∠A+∠ABC+∠C=180°(三角形内角和定理),∴∠ABC+∠C=120°.又∵∠ABC=∠C(已知),∴∠C=60°.拓展提高②当ΔABC是钝角三角形时,如图(2)所示,在直角三角形ABD中,∵∠ABD=30°(已知),
∴∠BAD=60°,∴∠BAC=120°,
又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°(三角形内角和定理),∴∠ABC+∠C=60°.
又∵∠ABC=∠C(已知),∴∠C=30°.综上,∠C的度数应为60°或30°.5.在ΔABC中,∠ABC=∠C,BD⊥AC,∠ABD=30°,则∠C的度数是多少?中考链接6.（2019?铁岭）如图，在△CEF中，∠E=80°，∠F=50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°B中考链接7.（2019?赤峰）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°B课堂总结这节课你学到了什么？1.三角形的内角和定理：三角形内角和等于180 °2.了解添加辅助线的方法及其目的板书设计7.5.1 三角形内角和定理
1.探索三角形内角和定理
2.想一想,做一做
3.议一议
4.探索活动
5.典例解析,应用新知作业布置课本 P179 练习题
P180 习题7.6谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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