北师大版数学八年级上册7.5.2 三角形的外角教学设计
课题
7.5.2 三角形的外角
单元
第七单元
学科
数学
年级
八
学习
目标
知识与技能：掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.
过程与方法：体会几何中不等关系的简单证明过程,引导学生从内和外、相等和不相等的不同角度对三角形做更全面的思考.
情感态度与价值观：通过积极参与课堂练习,培养学生积极思考及与他人交流合作的学习习惯,同时培养学生大胆猜想、勇于探索数学问题的兴趣和信心.
重点
掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.
难点
灵活应用三角形内角和定理的推论解决简单的问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
1.三角形有几个内角? 内角和是多少？
三角形有三个内角 三角形的内角和等于180°
2.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= __48°___ .
教师先提出问题.学生都知道有三个内角,直接问,学生一起回答就可以了
利用问题一问一答,让学生自然而然地认识三角形的外角.激发学生学习的热情,提起学生的学习兴趣.
讲授新课
什么是外角？
三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫做三角形的外角.
如图，∠ACD是由△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，这样的角叫做该三角形的外角．
三角形还有其他外角吗?
你能在图中画出ΔABC的其他外角吗?与同伴交流一下.
每一个三角形都有6个外角．
每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
我们知道∠1是ΔABC的一个外角,猜一猜∠1与ΔABC的内角之间有什么等量关系,理由是什么?在小组内交流.
我们发现∠1+∠4=180°,依据是平角的定义.
我们发现∠1=∠2+∠3.理由是:
∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理),
∠1+∠4=180°(平角的定义),∴∠1=∠2+∠3.
以上内容你们能得出什么结论?
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
你能确定∠1与∠4的大小关系吗?
因为当∠4是锐角时,∠1>∠4;
当∠4是直角时,∠1=∠4;
当∠4是钝角时,∠1<∠4.
所以∠1与∠4的大小关系不能确定.
那么∠1与∠2,∠3的大小关系呢?
∠1>∠2,∠1>∠3.
理由是什么?
由前面我们知道∠1=∠2+∠3,所以∠1>∠2,∠1>∠3.
由此你能得到什么结论?
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.
像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.
推论可以当做定理使用.
【例2】已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.
求证：AD//BC.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C（已知），
∴∠C=
∵AD平分∠EAC（已知），
∴∠DAC=
∴∠DAC=∠C （等量代换）.
∴AD// BC （内错角相等，两直线平行）.
对于例2，你还有其他证明方法吗？
证明：∵∠EAC=∠B+∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C（已知），
∴∠B=
∵AD平分∠EAC（已知），
∴∠EAD=
∴∠EAD=∠B （等量代换）.
∴AD// BC （同位角相等，两直线平行）.
例3 如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC.∠B= ∠C. 求证:∠BPC＞∠A.
证明:如图，延长BP，交AC于点D.
∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义),
∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角
大于和它不相邻的任何一个内角).
∵ ∠PDC是△ABD的一个外角 (外角定义),
∴ ∠PDC>∠A
(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).
∴ ∠BPC>∠A .（不等式的性质）
已知：∠1、∠2、∠3为△ABC的三个外角，如图．
求证：∠1+∠2+∠3=360°．
证明：∵∠1+∠BAC=180°， ∠2+∠BCA=180°，∠3+∠ABC=180°，
∴∠1+∠2+∠3+（∠BAC+∠BCA+∠ABC）=540°（等式性质）.
∵∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°（三角形内角和定理），∴∠1+∠2+∠3=360°.
请自主学习教材第181页议一议前的内容,然后在小组内交流什么样的角是三角形的外角,并举例说明.学生自主学习外角的定义,教师巡视指导.学生在小组内交流后,学生代表展示.
学生在小组内合作探究,教师巡视,及时点拨引导.学生探究完成后,让学生代表展示.
留时间让学生分析这些问题,这里可以相互讨论,然后找学生回答,问题1学生能计算出∠ACD的度数,从而得到∠ACD=∠A+∠B,∠ACD>∠A,∠ACD>∠B的关系.问题2中引导学生用与问题1类似的方法及三角形内角和定理、平角的定义得到相同的结论.
在老师的引导下对三角形外角与内角之间的关系加以归纳,从而得到推论.
学生主动探索、积极思考、踊跃交流,通过交流,让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程,通过学生思考、探索、交流来培养学生解决问题的能力.
通过学生的探索活动,使学生进一步了解辅助线的作法及重要性,理解并掌握三角形的内角和定理及推论.
教师引导学生分析解题思路,师生共同完成.在解题的同时,要明确每题用到的知识点,只有明确问题考查的知识点,才能正确运用知识解决问题.
本例题可以巩固多边形的内角和定理,培养学生灵活运用知识的能力,同时要规范学生解题步骤的规范性.
课堂练习
1.下面四个图形中,能判断∠1>∠2的是 ( D )
如图所示,已知直线AB∥CD,∠C=125°,∠A=45°,则∠E的度数为( B )
A.70° B.80°
C.90° D.100°
3.如图所示,点B是ΔADC的边AD的延长线上一点,DE∥AC,若∠C=50°,∠BDE=60°,则∠CDB的度数等于 ( C )
A.70° B.100°
C.110° D.120°
4.如图所示,∠A,∠1,∠2的大小关系是 ( B )
A.∠A>∠1>∠2
B.∠2>∠1>∠A
C.∠A>∠2>∠1
D.∠2>∠A>∠1
5.如图所示,在ΔABC中,∠ABC的平分线和∠ACD的平分线相交于点E.
(1)如果∠A=60°,∠ABC=50°,求∠E的大小;
(2)根据(1)的结论,试猜测一般情况下,∠E和∠A的大小关系,并说明理由.
5.解:(1)∵∠A=60°,∠ABC=50°,∴∠ACD=∠A+∠ABC=110°,∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,∴∠EBC=∠ABC=25°,∠ECD=∠ACD=55°.
∴∠E=∠ECD-∠EBC=55°-25°=30°.
(3)猜测∠E=∠A.理由如下:∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,
∴∠EBC=∠ABC,∠ECD=∠ACD.
由题意得∠E=∠ECD-∠EBC=∠ACD-
∠ABC= ∠A.
6.（2019?赤峰）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACB的度数为（ B ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
7.（青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于（C ）
A．150° B．180° C．210° D．270°
学生认真做课堂练习。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。
提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学。
课堂小结
这节课你学到了什么？
1.三角形的外角实质上就是三角形一个内角的邻补角．三角形外角的顶点是三角形的顶点，一条边是三角形内角的一边，另一条边是该内角另一条边的反向延长线．
2.三角形内角和定理的推论：①两个定理说明了三角形的外角与内角之间的关系，其中一个是外角与内角之间的相等关系，另一个是外角与内角之间的不等关系．②在应用上述两个定理时，一定要注意“不相邻”这个关键词语．
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。
板书
7.5.2 三角形的外角
1.外角的定义
2.三角形外角的性质
3.例题解析,应用新知
课件26张PPT。7.5.2 三角形的外角北师版 八年级上新知导入1.三角形有几个内角? 内角和是多少？2.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .48 °三角形有三个内角 三角形的内角和等于180°新知讲解如图，∠ACD是由△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，这样的角叫做该三角形的外角．什么是外角？
三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫做三角形的外角.新知讲解三角形还有其他外角吗?
你能在图中画出ΔABC的其他外角吗?与同伴交流一下.每一个三角形都有6个外角．
每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.新知讲解我们知道∠1是ΔABC的一个外角,猜一猜∠1与ΔABC的内角之间有什么等量关系,理由是什么?在小组内交流.我们发现∠1+∠4=180°,依据是平角的定义.
我们发现∠1=∠2+∠3.理由是:
∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理),
∠1+∠4=180°(平角的定义),∴∠1=∠2+∠3.以上内容你们能得出什么结论?
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.新知讲解你能确定∠1与∠4的大小关系吗?因为当∠4是锐角时,∠1>∠4;
当∠4是直角时,∠1=∠4;
当∠4是钝角时,∠1<∠4.
所以∠1与∠4的大小关系不能确定.新知讲解那么∠1与∠2,∠3的大小关系呢?
∠1>∠2,∠1>∠3.
理由是什么?
由前面我们知道∠1=∠2+∠3,所以∠1>∠2,∠1>∠3.
由此你能得到什么结论?
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.新知讲解在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.
像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.
推论可以当做定理使用.新知讲解【例2】已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.
求证：AD//BC.新知讲解证明：∵∠EAC=∠B+∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C（已知），
∴∠C=
∵AD平分∠EAC（已知），
∴∠DAC=
∴∠DAC=∠C （等量代换）.
∴AD// BC （内错角相等，两直线平行）. 新知讲解对于例2，你还有其他证明方法吗？新知讲解例3 如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC.∠B= ∠C. 求证:∠BPC＞∠A.证明:如图，延长BP，交AC于点D.
∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义),
∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角
大于和它不相邻的任何一个内角).
∵ ∠PDC是△ABD的一个外角 (外角定义),
∴ ∠PDC>∠A
(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).
∴ ∠BPC>∠A .（不等式的性质）ABCPD新知讲解 已知：∠1、∠2、∠3为△ABC的三个外角，如图．
求证：∠1+∠2+∠3=360°．
证明：∵∠1+∠BAC=180°， ∠2+∠BCA=180°
∠3+∠ABC=180°，
∴∠1+∠2+∠3+（∠BAC+∠BCA+∠ABC）=540°（等式性质）.
∵∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°（三角形内角和定理），
∴∠1+∠2+∠3=360°.所以三角形的外角和等于360°。课堂练习1.下面四个图形中,能判断∠1>∠2的是 ( ) D课堂练习2. 如图所示,已知直线AB∥CD,∠C=125°,∠A=45°,则∠E的度数为
( )A.70° B.80°
C.90° D.100°B课堂练习3.如图所示,点B是ΔADC的边AD的延长线上一点,DE∥AC,若∠C=50°,∠BDE=60°,则∠CDB的度数等于 ( ) A.70° B.100°
C.110° D.120°C课堂练习4.如图所示,∠A,∠1,∠2的大小关系是 ( ) A.∠A>∠1>∠2
B.∠2>∠1>∠A
C.∠A>∠2>∠1
D.∠2>∠A>∠1B拓展提高5.如图所示,在ΔABC中,∠ABC的平分线和∠ACD的平分线相交于点E.(1)如果∠A=60°,∠ABC=50°,求∠E的大小;
(2)根据(1)的结论,试猜测一般情况下,∠E和∠A的大小关系,并说明理由.拓展提高5.解:(1)∵∠A=60°,∠ABC=50°,∴∠ACD=∠A+∠ABC=110°,∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,∴∠EBC= ∠ABC=25°,∠ECD= ∠ACD=55°.
∴∠E=∠ECD-∠EBC=55°-25°=30°.
(3)猜测∠E= ∠A.理由如下:∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,
∴∠EBC=∠ABC,∠ECD=∠ACD.
由题意得∠E=∠ECD-∠EBC= ∠ACD- ∠ABC= ∠A.中考链接6.（2019?赤峰）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°B中考链接7.（青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于（ ）
A．150° B．180° C．210° D．270°C课堂总结1.三角形的外角实质上就是三角形一个内角的邻补角．三角形外角的顶点是三角形的顶点，一条边是三角形内角的一边，另一条边是该内角另一条边的反向延长线．
2.三角形内角和定理的推论：①两个定理说明了三角形的外角与内角之间的关系，其中一个是外角与内角之间的相等关系，另一个是外角与内角之间的不等关系．②在应用上述两个定理时，一定要注意“不相邻”这个关键词语． 这节课你学到了什么？板书设计7.5.2 三角形的外角
1.外角的定义
2.三角形外角的性质
3.例题解析,应用新知作业布置课本 P183 练习题
P183 习题7.7谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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