北师大版数学八年级上册7.1为什么要证明教学设计
课题
7.1 为什么要证明
单元
第七单元
学科
数学
年级
八
学习
目标
知识与技能：体会检验数学结论的常用方法:实验验证、举出反例、推理等,发展学生的推理能力.
过程与方法：经历观察、验证、归纳等过程,使学生对由这些方法所得的结论产生怀疑,以此激发学生的好奇心理,从而认识证明的必要性,培养学生的推理意识.
情感态度与价值观：通过积极参与,获取正确的数学推理方法,理解数学的严密性,并培养与他人合作的意识.
重点
要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验、观察或实验是不够的,必须一步一步、有理有据地进行推理.
难点
通过对一些规律的探讨和分析,养成动脑思考问题的习惯.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师:同学们,请你们用学过的数学知识解决下面的问题。
从A地到B地有五条道路,时间紧急,张先生要从B地赶往A地乘车,此时张先生应该选择哪条路?
你的依据是什么?
两点之间,线段最短.
你还记得我们是如何得到“两点之间,线段最短”这个结论的吗?
张先生应该走第③条路.
两点之间,线段最短.
从学生已知的数学结论出发,感受有些结论是通过观察、实验、归纳等活动得出的,适时提出问题,通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?设置悬念,激发学生的求知欲,为新课的学习做好铺垫.
讲授新课
我们曾经通过观察、实验、归纳等活动得到了很多正确的结论.
但是通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?
如何才能得到正确的结论呢?
图(1)中的两条线段a,b长度相等吗?
观察的结果是线段a比较长;
经过测量,线段a,b长度相等.
图(2)中的四边形是正方形吗?请你先观察,再设法检验你观察到的结论.
观察的结果是四边形的四条边是曲线;
经过直尺验证,四边形是正方形.
如图,把地球看成球形,假设用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来,铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流.
解:设赤道的周长为C米,则铁丝的长为(C+1)米,那么铁丝与地球赤道间的间隙为R-r,
0.16 m=16 cm.
通过计算我们可以看出,判断一个结论是否正确,依靠直觉是不可靠的.要想得到正确的结论,必须经过计算来证实.
请大家解决下面问题.
代数式n2-n+11的值是质数吗?取n=0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论:对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数?与同伴进行交流.
当n=0时,n2-n+11=11. 当n=1时,n2-n+11=11.
当n=2时,n2-n+11=13. 当n=3时,n2-n+11=17.
当n=4时,n2-n+11=23. 当n=5时,n2-n+11=31.
因为当n=0,1,2,3,4,5时,代数式n2-n+11的值都是质数,所以
对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数.
你们都同意这个结论吗?
再取几个数试一试,看看你有什么发现.
经过计算,我发现,当n=11时,n2-n+11=121,结果是合数,所以“对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数”这个结论是错误的.
此题告诉我们,仅由几个特例归纳得出的结论可能潜藏着错误.
我们的大数学家费马也犯过类似的错误,请阅读教材第163页读一读:费马的失误.
如图所示,在ΔABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE.DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜,再设法验证你的结论对所有的ΔABC都成立吗?与同伴进行交流.
位置关系是DE∥BC;
数量关系是DE=
你是如何验证你的结论的?
利用刻度尺、量角器进行测量验证.
大家认同这个做法吗?你能肯定这个结论对所有的ΔABC都成立吗?
同学们,我们知道测量是有误差的,误差是难免的,通过猜测,实验验证得出的结论,也不能作为判断某些问题的结论,要想得到图形的性质是需要进行推理的.
【议一议】
实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段.通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经验与困惑.
检验数学结论常用的方法：主要有：实验验证、举出反例、推理证明
实验验证是最基本的方法，它直接反映由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法；
举出反例常用于说明该数学结论不一定成立；
推理证明是最可靠、最科学的方法，是我们要掌握的重点．实际上每一个正确的结论都需要我们进行严格的推理证明才能得出．检验数学结论的具体过程：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理正确结论．
应用：检验数学结论常用的三种方法的应用：
实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论；
举出反例法多用于验证某结论是不是正确的；
推理证明主要用来进行严格的推理论证，既可以验证某结论是正确的，也可以验证某结论是不正确的．
实验、观察、归纳得出的结论可能正确，也可能不正确.
因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据推的证明．
学生先观察,再动手验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同时,教师利用多媒体进行验证.
学生先凭感觉想象,再动手验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同时,教师利用多媒体进行展示.
学生先思考,再动手计算,然后小组交流、归纳.教师巡视、指导学生,进行验证.
让学生先独立思考,再以小组为单位进行讨论交流,最后通过计算回答.
学生先观察、猜一猜,再动手、作图验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同时,教师利用多媒体进行成果展示.
让学生的观察结果与实验结果产生思维上的碰撞,同时让学生明白只有实践才能出真知的道理,从而归纳知识:仅仅依靠观察不能判断一个数学结论是否正确.
通过理性的计算,验证了很难想象到的结论,让学生产生思维上的碰撞,进而对自己的直观感觉产生怀疑,再次为证明的必要性提供素材.
对归纳的结论进行验证,让学生感受到特例有时具有一定的迷惑性(欺骗性),从而对不完全归纳的合理性产生怀疑.
让学生进一步对归纳所得的结论产生怀疑,并且体验举反例是判断错误结论的方法.通过该题的计算,可知用归纳的方法,仍不能判断数学结论是正确的,同时培养了学生的合作竞争意识.
让学生感受由观察、猜想、实验得出的结论仍有不确定性,需要更合适的方法来解决问题.
课堂练习
1.小刚和小明在手工制作课上,用同种小铁丝制作的楼梯模型如图所示.那么他们用的材料长度( A )
小刚
A.一样多 B.小刚的多C.小明的多 D.无法判断
2.骑自行车的速度是每小时15千米,骑摩托车的速度是每小时40千米,则下列结论中你能肯定的是 ( D )
A.从A地到B地,骑摩托车的人一定比骑自行车的人先到达
B.从A地到B地,骑自行车的人一定比骑摩托车的人先到达
C.从A地到B地,骑自行车的人和骑摩托车的人不可能同时到达
D.从A地到B地,骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达
3.下列说法正确的是 ( D )
A.通过观察完全可以判断一个数学结论的正确与否
B.推理是科学家的事,与我们没有多大的关系
C.对于自然数n,n2+n+37一定是质数
D.有10个苹果,将它们放进9个筐中,则至少有一个筐中的苹果数不少于2个
【能力提升】4.为庆祝“六一”儿童节,某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示,按照下面的规律,摆第n个图需要火柴棒的根数为6n+2 .?
【拓展探究】5.数学家迪布凡尔在1590年曾注意到,在形如6n-1和6n+1的数对5,7;11,13;17,19;23,25;29,31;35,37;41,43;…中,当“n”在取前几个自然数时,都至少有一个质数,由此他提出猜想:“对于任何自然数n(n≠0),6n-1和6n+1这两个数中至少有一个质数.”你认为这个猜想正确吗?验证一下:n=8时,结论成立吗?n=9呢?n=10呢?n=20呢?这说明了什么?
解:不正确.当n=8,9,10时结论都成立,当n=20时结论不成立.说明观察、归纳和猜想是重要的,但仅凭此得出的结论不一定可信,还必须经过严格的推理证明.
6.（台湾）小柔要榨果汁，她有苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6，小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为6：3：4，已知小柔榨果汁时没有使用柳丁，关于她榨果汁时另外两种水果的使用情形，下列叙述何者正确？（ B ）
A．只使用苹果
B．只使用芭乐
C．使用苹果及芭乐，且使用的苹果颗数比使用的芭乐颗数多
D．使用苹果及芭乐，且使用的芭乐颗数比使用的苹果颗数多
7.（舟山）某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（ B ）
A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁
学生认真做课堂练习。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。
提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学。
课堂小结
这节课你学到了什么？
1.要判断一个数学结论的正确性，仅依靠经验、观察和实验是不够的，必须一步一步地进行有根有据的推理．否定一个结论举出反例就是最有力的证据．
2.证明的常用方法：验证法、举反例、推理论证等．
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。
板书
7.1 为什么要证明
1.数学结论必须经过严格的论证
2.论证方法
(1)实验验证
(2)举出反例
(3)推理证明
课件27张PPT。7.1 为什么要证明北师版 八年级上新知导入同学们,请你们用学过的数学知识解决下面的问题。从A地到B地有五条道路,时间紧急,张先生要从B地赶往A地乘车,此时张先生应该选择哪条路?
张先生应该走第③条路.
你的依据是什么?
两点之间,线段最短.
你还记得我们是如何得到“两点之间,线段最短”这个结论的吗?新知导入我们曾经通过观察、实验、归纳等活动得到了很多正确的结论.
但是通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?
如何才能得到正确的结论呢?新知讲解图(1)中的两条线段a,b长度相等吗?观察的结果是线段a比较长;经过测量,线段a,b长度相等.新知讲解图(2)中的四边形是正方形吗?请你先观察,再设法检验你观察到的结论.观察的结果是四边形的四条边是曲线;经过直尺验证,四边形是正方形.新知讲解如图,把地球看成球形,假设用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来,铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流.解:设赤道的周长为C米,则铁丝的长为(C+1)米,那么铁丝与地球赤道间的间隙为R-r,0.16 m=16 cm.新知讲解通过计算我们可以看出,判断一个结论是否正确,依靠直觉是不可靠的.要想得到正确的结论,必须经过计算来证实.请大家解决下面问题.
代数式n2-n+11的值是质数吗?取n=0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论:对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数?与同伴进行交流.新知讲解当n=0时,n2-n+11=11. 当n=1时,n2-n+11=11.
当n=2时,n2-n+11=13. 当n=3时,n2-n+11=17.
当n=4时,n2-n+11=23. 当n=5时,n2-n+11=31.
因为当n=0,1,2,3,4,5时,代数式n2-n+11的值都是质数,所以
对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数.再取几个数试一试,看看你有什么发现.你们都同意这个结论吗?新知讲解经过计算,我发现,当n=11时,n2-n+11=121,结果是合数,所以“对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数”这个结论是错误的.此题告诉我们,仅由几个特例归纳得出的结论可能潜藏着错误.
我们的大数学家费马也犯过类似的错误,请阅读教材第163页读一读:费马的失误.新知讲解如图所示,在ΔABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE.DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜,再设法验证你的结论对所有的ΔABC都成立吗?与同伴进行交流. 新知讲解你是如何验证你的结论的?
利用刻度尺、量角器进行测量验证.
大家认同这个做法吗?你能肯定这个结论对所有的ΔABC都成立吗?同学们,我们知道测量是有误差的,误差是难免的,通过猜测,实验验证得出的结论,也不能作为判断某些问题的结论,要想得到图形的性质是需要进行推理的.新知讲解【议一议】
实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段.通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经验与困惑.新知讲解检验数学结论常用的方法：主要有：实验验证、举出反例、推理证明
实验验证是最基本的方法，它直接反映由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法；
举出反例常用于说明该数学结论不一定成立；
推理证明是最可靠、最科学的方法，是我们要掌握的重点．实际上每一个正确的结论都需要我们进行严格的推理证明才能得出．检验数学结论的具体过程：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理正确结论．新知讲解应用：检验数学结论常用的三种方法的应用：
实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论；
举出反例法多用于验证某结论是不是正确的；
推理证明主要用来进行严格的推理论证，既可以验证某结论是正确的，也可以验证某结论是不正确的．实验、观察、归纳得出的结论可能正确，也可能不正确.
因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据推的证明．课堂练习1.小刚和小明在手工制作课上,用同种小铁丝制作的楼梯模型如图所示.那么他们用的材料长度( )A.一样多 B.小刚的多 C.小明的多 D.无法判断A课堂练习2.骑自行车的速度是每小时15千米,骑摩托车的速度是每小时40千米,则下列结论中你能肯定的是 ( )
A.从A地到B地,骑摩托车的人一定比骑自行车的人先到达
B.从A地到B地,骑自行车的人一定比骑摩托车的人先到达
C.从A地到B地,骑自行车的人和骑摩托车的人不可能同时到达
D.从A地到B地,骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达D课堂练习3.下列说法正确的是 ( )
A.通过观察完全可以判断一个数学结论的正确与否
B.推理是科学家的事,与我们没有多大的关系
C.对于自然数n,n2+n+37一定是质数
D.有10个苹果,将它们放进9个筐中,则至少有一个筐中的苹果数不少于2个D课堂练习4.为庆祝“六一”儿童节,某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示,按照下面的规律,摆第n个图需要火柴棒的根数为 . 6n+2拓展提高5.数学家迪布凡尔在1590年曾注意到,在形如6n-1和6n+1的数对5,7;11,13;17,19;23,25;29,31;35,37;41,43;…中,当“n”在取前几个自然数时,都至少有一个质数,由此他提出猜想:“对于任何自然数n(n≠0),6n-1和6n+1这两个数中至少有一个质数.”你认为这个猜想正确吗?验证一下:n=8时,结论成立吗?n=9呢?n=10呢?n=20呢?这说明了什么?拓展提高解:不正确.当n=8,9,10时结论都成立,当n=20时结论不成立.说明观察、归纳和猜想是重要的,但仅凭此得出的结论不一定可信,还必须经过严格的推理证明.中考链接6.（台湾）小柔要榨果汁，她有苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6，小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为6：3：4，已知小柔榨果汁时没有使用柳丁，关于她榨果汁时另外两种水果的使用情形，下列叙述何者正确？（ ）
A．只使用苹果
B．只使用芭乐
C．使用苹果及芭乐，且使用的苹果颗数比使用的芭乐颗数多
D．使用苹果及芭乐，且使用的芭乐颗数比使用的苹果颗数多B中考链接7.（舟山）某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（ ）
A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁B课堂总结1.要判断一个数学结论的正确性，仅依靠经验、观察和实验是不够的，必须一步一步地进行有根有据的推理．否定一个结论举出反例就是最有力的证据．
2.证明的常用方法：验证法、举反例、推理论证等． 这节课你学到了什么？板书设计7.1 为什么要证明
1.数学结论必须经过严格的论证
2.论证方法
(1)实验验证
(2)举出反例
(3)推理证明作业布置课本 P163 练习题
P164 习题7.1谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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