24.1.2 垂直于弦的直径
教学目标
理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理的过程中发展逻辑思维能力和识图能力．
教学重点： 垂径定理及其推论。
教学难点：垂径定理的应用．
知识回顾
1.学生回答上节课学圆的相关内容。
二、新课导入
探究
探究1
问1：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）
可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
答：（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴．
线段: AE=BE
问2：你能证明上面发现的这个结论吗？
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴。
所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，
AE和BE重合，AC、AD分别和BC、
BD重合。
因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
几何语言：
垂径定理的有关计算
垂径定理的推论
归纳总结：
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。
特别说明：圆的两条直径是互相平分的
试一试
判断：
⑴垂直于弦的直径平分这条弦．（ ）
⑵平分弦的直径垂直于这条弦. （ )
五、学以致用
例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造白石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
七、作业布置数学书本P89 8题10题
垂径定理
一.选择题
★1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
答案：D
★★2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：B
★★3．过⊙O内一点M的最长弦为10?cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）
A．9cm B．6cm C．3cm D．
答案：C
★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）
A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位
答案：B
★★5．如图，的直径垂直弦于，且是半径的中点，，则直径的长是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
★★6．下列命题中，正确的是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
答案：D
★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )
A．5米 B．8米 C．7米 D．5米
答案：B
★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )
A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm
答案：D
★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( )
A．2 B．8 C．2或8 D．3
答案：C
二.填空题
★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm
答案：5 cm
★2．在直径为10cm的圆中，弦的长为8cm，则它的弦心距为 cm
答案：3 cm
★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于
答案：6
★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm
答案：5 cm
★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝ 厘米
答案： cm
★★6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为 cm.
答案： cm
★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为，最短的弦长为，则OM的长等于 cm
答案：
★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________
答案：
★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C， 且CD＝l，则弦AB的长是
答案：6
★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m
答案：4
★★11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)
和A(2，0)，则点B的坐标是
答案：(6，0)
★★12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm
答案：3
★★13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=
答案：3
★★14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30?,则AB= cm
答案：6
★★★15．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是
Cm
答案：7cm 或17cm
★★★16．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为
答案：5
★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米
答案：
★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是
厘米
答案：7或1
★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面宽为8米，净高为8米，那么这个
隧道所在圆的半径是___________米
答案：5
★★★20．如图，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为 cm
答案：3
★★★21．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为
答案：8或2
★★★22．如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为
答案：
★★★23．如图，⊙O的的半径为5，直径AB⊥弦CD，垂足为E，CD=6，那么 ∠B的余切值
为_________
答案：3
三.解答题
★★1．已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长
答案：
★★2．已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm.
求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小
答案：（1） （2）
★★3．如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB
答案：40
★★4．如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，他们之间距离为7，AB=6求：弦CD的长．
答案：8
★★5．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=12m，求△ACD的周长
答案：
★★6．如图，已知C是弧AB的中点，OC交弦AB于点D．∠AOB=120°，AD=8．求OA的长
答案：
★★7．已知：如图，AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，BC=8，AD=10．
求：（1）OE的长；（2）∠B的正弦值
答案：（1）3 （2）
★★★8．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D。已知：AB=24cm，CD=8cm
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径.
答案：（1）略 （2）13
★★★9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12．
求⊙O的半径
答案：
★★★10．如图，已知⊙O的半径长为25，弦AB长为48，C是弧AB的中点．求AC的长．
答案：30
★★★11．1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）
答案：27.9
★★★12．已知：在△ABC中，AB=AC=10, BC=16.求△ABC的外接圆的半径.
答案：
★★★13．本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。
答案：1442.5
★★★14．如图是地下排水管的截面图（圆形），小敏为了计算地下排水管的直径，在圆形
弧上取了,两点并连接，在劣弧上取中点连接，经测量米，
°，根据这些数据请你计算出地下排水管的直径。
（°，°，°）
答案：
★★★15．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
答案：（1）0.1 （2）0.1或0.7
★★★16．已知：如图，是的直径，是上一点，CD⊥AB，垂足为点，是 的中点，与相交于点，8 cm，cm.
（1）求的长；
（2）求的值.
答案：（1）5 （2）
★★★★17．如图，在半径为1米，圆心角为60°的扇形中有一内接正方形CDEF，求正方形CDEF面积。
答案：
四.证明题
★★1．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD。求证：OC=OD
答案：略
★★2．如图，是⊙的弦，点D是弧AB中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C．
求证：AD＝DC
答案：略
★★3．已知：如图所示：是两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于CD，求证：AC=BD
答案：略
★★★4．如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别是点M、N， BA、DC的延长线交于点P ．
求证：PA=PC
答案：略
★★★5．已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．
求证：（1）PO平分∠BPD；（2）PA=PC
答案：略
★★★6． 已知：如图所示，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD.求证：（1）PA=PC；（2）
答案：略
五.作图题
★★1．已知弧AB,用直尺和圆规平分这条弧．
O
D
A
B
C
Ｏ
Ａ
Ｂ
O
C
A
D
B
O
C
D
A
B
E
O
D
A
C
B
A
B
C
D
E
O
．
C
A
B
O
C
A
B
A
B
O
·
O
P
B
A
C
D
O
D
C
P
A
B
A
B
(共21张PPT)
授课人：李少权
24.1.2垂直于弦的直径
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共21张
1.理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
2.感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理的过程中发展逻辑思维能力和识图能力．
学习目标
教学重点： 垂径定理及其推论。
教学难点：垂径定理的应用．
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共21张
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）
X
任何一条直径所在的直线都是对称轴。
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·
O
A
B
C
D
E
线段: AE=BE
你能证明吗？
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叠 合 法
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴。
所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，
AE和BE重合，AC、AD分别和BC、
BD重合。
因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
⌒
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垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
几何语言：
归纳
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共21张
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为5cm,
OE=3cm,则 AB= 8 cm.
一
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共21张
例2 如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
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共21张
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
E
⌒
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
⌒
（1）连接AO,BO,则AO=BO
又AE=BE，OE=OE
∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
⌒
⌒
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平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论
特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
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共21张
共21张
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试一试
判断：
⑴垂直于弦的直径平分这条弦．（ ）
⑵平分弦的直径垂直于这条弦. （ )
√
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你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造白石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
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六、课堂小结
今天有你哪些收获？还有哪些疑惑？
1.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
2.垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对弧。
3.只二推三
4.构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
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1.如图， 的直径AB垂直弦于CD，且P是半径OB的中点，
则直径AB的长是（ ）
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
巩固练习
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3.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m
4.如图， ⊙O的半径为 5，弦AB=8，M 是弦 AB 上的动点，
则 OM 的最小值是________.
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5.如图，在⊙O中，AB,AC为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥ AB,OE⊥AC垂足分别为D,E.
求证：四边形ADOE是正方形
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七、作业布置数学书本P89 8题10题
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