8.1 正弦定理(1) 学案

8.1　正弦定理(一)
[学习目标]　1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.
[知识链接]
下列说法中，正确的有________.
(1)在直角三角形中，若C为直角，则sinA＝；
(2)在△ABC中，若a>b，则A>B；
(3)在△ABC中，C＝π－A－B；
(4)利用AAS、SSA都可以证明三角形全等；
(5)在△ABC中，若sinB＝，则B＝.
答案　(1)(2)(3)
解析　根据三角函数的定义，(1)正确；在三角形中，大边对大角，大角对大边，(2)正确；三角形的内角和为π，(3)正确；AAS可以证明三角形全等，SSA不能证明，(4)不正确；若sinB＝，则B＝或，(5)不正确，故(1)(2)(3)正确.
[预习导引]
1.在Rt△ABC中的有关定理
在Rt△ABC中，C＝90°，则有：
(1)A＋B＝90°，0°(2)a2＋b2＝c2(勾股定理)；
(3)＝c；＝c；＝c.
2.解三角形
三条边和三个内角是三角形最基本的六个元素，由这六个元素中的三个元素(其中至少要有一条边)去定量地求出三角形的其余的边和角的过程叫作解三角形.
3.三角形常用面积公式
(1)三角形面积公式S＝ah.
(2)S＝absin C＝bcsin A＝casin B.
4.正弦定理
在三角形中，各边与它所对角的正弦的比值相等，这个结论就叫作三角形的正弦定理，即
＝＝.
要点一　已知两角及一边解三角形
例1　(1)已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，求B，b，c.
(2)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.
解　(1)∵A＝30°，C＝45°；∴B＝180°－(A＋C)＝105°，由正弦定理得b＝＝＝40sin(45°＋60°)
＝10(＋)；c＝＝＝20，
∴B＝105°，b＝10(＋)，c＝20.
(2)A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°，
由正弦定理＝，
得b＝＝＝4，
由＝，得c＝＝＝
＝4(＋1).
规律方法　已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边.
跟踪演练1　在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.
解　由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
由正弦定理＝，
得c＝a·＝5·＝5·
＝5·＝(＋).
要点二　已知两边及一边的对角解三角形
例2　在△ABC中，分别根据下列条件解三角形：
(1)a＝1，b＝，A＝30°；(2)a＝，b＝1，B＝120°.
解　(1)根据正弦定理，sinB＝＝＝.
∵b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴c＝＝＝2；
当B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°，
c＝＝＝1.
(2)根据正弦定理，sinA＝＝＝>1.
因为sinA≤1.所以A不存在，即无解.
规律方法　已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.
跟踪演练2　(1)在△ABC中，已知a＝2，c＝，C＝，求A，B，b.
(2)在△ABC中，已知a＝2，c＝，A＝，求C，B，b.
解　(1)∵＝，∴sinA＝＝.
∵c>a，∴C>A.∴A＝.
∴B＝，b＝＝＝＋1.
(2)∵＝，∴sinC＝＝.
又∵a当C＝时，B＝，b＝＝＋1.
当C＝时，B＝，b＝＝－1.
要点三　正弦定理与三角形面积公式的综合应用
例3　在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC的面积.
解　如图，由正弦定理，
得＝，
∴sinC＝，且C为锐角(A＝120°).
∴cosC＝.
∴sinB＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)
＝cosC－sinC＝×－×＝.
∴S△ABC＝AB·BC·sinB＝×5×7×＝.
规律方法　在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.
跟踪演练3　△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，求△ABC的面积.
解　由正弦定理得＝，∴sinC＝.
∵0°(1)当C＝60°时，A＝90°，∴BC＝2，此时，S△ABC＝；
(2)当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝××1×sin30°＝.
1.已知△ABC的面积为且b＝2，c＝2，则角A等于(　　)
A.30° B.30°或150°　
C.60° D.60°或120°
答案　D
解析　S＝bcsinA＝×2×2×sinA＝，∴sinA＝，∴A＝60°或120°.
2.在△ABC中，一定成立的等式是(　　)
A.asinA＝bsinB B.acosA＝bcosB
C.asinB＝bsinA D.acosB＝bcosA
答案　C
解析　由正弦定理＝，
得asinB＝bsinA，故选C.
3.在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
答案　B
解析　由sinA＝sinC知a＝c，
∴△ABC为等腰三角形.
4.已知锐角三角形ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　)
A.75°B.60°C.45°D.30°
答案　B
解析　由三角形面积公式，得S△ABC＝×BC×CA×sinC＝×4×3×sinC＝3.所以sinC＝，则C＝60°.
5.在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.
答案　1∶1∶
解析　根据三角形内角和定理，A＝180°－30°－120°＝30°，
由正弦定理得：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶.
1.正弦定理的表示形式：＝＝＝2R，或a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为三角形外接圆半径).
2.正弦定理的应用范围：
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角.
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角.
3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.
一、基础达标
1.在△ABC中，下列关系中一定成立的是(　　)
A.aC.a>bsinA D.a≥bsinA
答案　D
解析　由正弦定理得，＝，
∴sinB＝sinA.
又∵在△ABC中，0∴0<sinA≤1.
∴a≥bsinA.
2.在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案　B
解析　由题意有＝b＝，则sinB＝1，
即角B为直角，故△ABC是直角三角形.
3.在△ABC中，若＝，则C的值为(　　)
A.30°B.45°C.60°D.90°
答案　B
解析　∵＝，
又由正弦定理得＝.
∴cosC＝sinC，即C＝45°，故选B.
4.在△ABC中，若∠A＝105°，∠B＝45°，b＝2，则c等于(　　)
A.1B.2C.D.
答案　B
解析　∵∠A＝105°，∠B＝45°，∴∠C＝30°.
由正弦定理得c＝＝＝2.
5.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB等于(　　)
A.－B.C.－D.
答案　D
解析　由正弦定理得＝，
∴sinB＝＝＝.
∵a>b，A＝60°，∴B为锐角.
∴cosB＝＝＝.
6.在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.
答案　2
解析　∵cosC＝，∴sinC＝，∴absinC＝4，
∴b＝2.
7.已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.
解　根据正弦定理＝，
得a＝＝10.
由三角形内角和定理，B＝180°－(45°＋30°)＝105°.
又∵＝，
∴b＝＝＝20sin75°
＝20×＝5(＋).
二、能力提升
8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝(　　)
A. B.－
C.± D.
答案　A
解析　由正弦定理及8b＝5c，得8sinB＝5sinC，又C＝2B，
所以8sinB＝5sin2B＝10sinBcosB，∴cosB＝，
∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×()2－1＝.
9.在△ABC中，已知A＝，a＝，b＝1，则c的值为(　　)
A.1B.2C.－1D.
答案　B
解析　由正弦定理＝，可得＝，
∴sinB＝，由a>b，得A>B，∴B＝30°.故C＝90°，由勾股定理得c＝2.
10.锐角三角形的内角分别是A、B、C，并且A>B.下面三个不等式成立的是________.
①sinA>sinB；②cosA③sinA＋sinB>cosA＋cosB.
答案　①②③
解析　A>B?a>b?sinA>sinB，故①成立.
函数y＝cosx在区间[0，π]上是减函数，
∵A>B，∴cosA在锐角三角形中，∵A＋B>，
∴A>－B，则有sinA>sin(－B)，
即sinA>cosB，同理sinB>cosA，故③成立.
11.已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.(保留两位有效数字)
解　∵A＝45°，C＝30°，
∴B＝180°－(A＋C)＝105°.
由正弦定理得a＝＝＝10≈14.
∴b＝＝＝20sin75°＝20×＝5＋5≈19.
12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cosA＝，b＝.
(1)求sinC的值；
(2)求△ABC的面积.
解　(1)因为角A，B，C为△ABC的内角，且B＝，cosA＝，所以C＝－A，sinA＝.
于是sinC＝sin(－A)＝cosA＋sinA＝.
(2)由(1)知sinA＝，sinC＝.又因为B＝，
b＝，
所以在△ABC中，由正弦定理得a＝＝.
于是△ABC的面积S＝absinC＝×××＝.
三、探究与创新
13.在△ABC中，已知c＝10，又知＝＝，求a、b及△ABC的内切圆半径.
解　由正弦定理知＝，∴＝.
即sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.
又∵a≠b，∴2A＝π－2B，即A＋B＝.
∴△ABC是直角三角形，且C＝90°，
由得a＝6，b＝8.
故内切圆的半径为r＝＝＝2.