8.1 正弦定理(2)学案

8.1　正弦定理(二)
[学习目标]　1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.
[知识链接]
以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是.
(1)在△ABC中，若＝＝，则A＝90°
(2)在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则a＝b
(3)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B；反之，若A>B，则sinA>sinB
(4)在△ABC中，＝
答案　(2)
解析　对于(1)，由正弦定理可知，sinB＝cosB，sinC＝cosC，∴B＝C＝45°，故A＝90°，故(1)正确.
对于(2)，由sin2A＝sin2B可得A＝B或2A＋2B＝π，
∴a＝b或a2＋b2＝c2，故(2)错误.
对于(3)，在△ABC中，sinA>sinB?a>b?A>B，故(3)正确.
对于(4)，因为＝＝，
所以＝，故(4)正确.
[预习导引]
1.正弦定理的常见变形
(1)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；
(2)＝＝＝＝2R；
(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
(4)sinA＝，sinB＝，sinC＝.
2.三角变换公式
(1)sin (α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
(2)sin (α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；
(3)sin2α＝2sinαcosα.
要点一　利用正弦定理判断三角形的形状
例1　在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
解　方法一　在△ABC中，根据正弦定理：＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径).
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴2＝2＋2，即a2＝b2＋c2.
∴A＝90°，∴B＋C＝90°.
由sinA＝2sinBcosC，得sin90°＝2sinBcos(90°－B)，
∴sin2B＝.
∵B是锐角，∴sinB＝，∴B＝45°，C＝45°.
∴△ABC是等腰直角三角形.
方法二　在△ABC中，根据正弦定理：
sinA＝，sinB＝，sinC＝.
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形且A＝90°.
∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，
∴sin(B＋C)＝2sinBcosC.
∴sinBcosC－cosBsinC＝0，
即sin(B－C)＝0.∴B－C＝0，即B＝C.
∴△ABC是等腰直角三角形.
规律方法　依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：
(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.
跟踪演练1　在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状.
解　在△ABC中，由正弦定理＝
∴＝，∴＝.
又∵a2tanB＝b2tanA，∴＝，
∴＝，
∴sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
要点二　利用正弦定理求最值或范围
例2　在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，且a＝2bsinA，求cosA＋sinC的取值范围.
解　设R为△ABC外接圆的半径.
∵a＝2bsinA，∴2RsinA＝4RsinBsinA，∴sinB＝.
∵B为锐角，∴B＝.
令y＝cosA＋sinC＝cosA＋sin[π－(B＋A)]
＝cosA＋sin
＝cosA＋sincosA＋cossinA
＝cosA＋sinA＝sin.
由锐角△ABC知，－B∴∵∴∴cosA＋sinC的取值范围是.
规律方法　在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法：
(1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量.
(2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值的问题.
跟踪演练2　在△ABC中，若C＝2B，求的取值范围.
解　因为A＋B＋C＝π，C＝2B，
所以A＝π－3B>0，所以0因为＝＝＝2cosB，
所以1<2cosB<2，故1<<2.
要点三　正弦定理与三角变换的综合
例3　已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋c＝2b，且2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状.
解　∵2cos2B－8cosB＋5＝0，
∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.
∴4cos2B－8cosB＋3＝0，
即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.
解得cosB＝或cosB＝(舍去).
∵0由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB＝2sin＝.
∴sinA＋sin(－A)＝，
∴sinA＋sincosA－cossinA＝.
化简得sinA＋cosA＝，∴sin(A＋)＝1.
∵0∴A＝，C＝.
∴△ABC是等边三角形.
规律方法　借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.
跟踪演练3　已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状.
解　设方程的两根为x1、x2，
由根与系数的关系得
∴bcosA＝acosB.
由正弦定理得2RsinBcosA＝2RsinAcosB，
∴sinAcosB－cosAsinB＝0，sin(A－B)＝0.
∵A、B为△ABC的内角，
∴0∴A－B＝0，即A＝B.
故△ABC为等腰三角形.
1.在△ABC中，若sinA>sinB，则角A与角B的大小关系为(　　)
A.A>B B.AC.A≥B D.A，B的大小关系不能确定
答案　A
解析　由sinA>sinB?2RsinA>2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)?a>b?A>B.
2.在△ABC中，已知A＝150°，a＝3，则其外接圆的半径R的值为(　　)
A.3 B.
C.2 D.不确定
答案　A
解析　在△ABC中，由正弦定理得＝＝6＝2R，∴R＝3.
3.在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则角C的值为(　　)
A.45° B.30°
C.75° D.90°
答案　C
解析　由正弦定理得＝，∴sinA＝.
∵BC＝2∴A＝45°.∴C＝75°.
4.在△ABC中，若＝＝，则△ABC是(　　)
A.直角三角形 B.等边三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
答案　B
解析　由正弦定理可得
＝＝，
∴tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.
5.已知一三角形中a＝2，b＝6，A＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形.
解　a＝2，b＝6，a又因为bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，
所以本题有两解，由正弦定理得：
sinB＝＝＝，
故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.
所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.
1.已知a，b和A，用正弦定理解三角形的各种情况：
(1)列表如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsinA
bsinAa≥b
a>b
解的
个数
一解
两解
一解
一解
(2)也可利用正弦定理sinB＝进行讨论：
如果sinB>1，则问题无解；
如果sinB＝1，则问题有一解；
如果求出sinB<1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断.
2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是否是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.
一、基础达标
1.在△ABC中，已知(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于(　　)
A.4∶5∶6 B.6∶5∶4
C.7∶5∶3 D.7∶5∶6
答案　C
解析　设b＋c＝4k，a＋c＝5k，a＋b＝6k(k>0)，三式联立可求得a＝k，b＝k，c＝k，∴a∶b∶c＝7∶5∶3，即sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3.
2.在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形一定是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
答案　A
解析　由正弦定理得sinA＝2sinBcosC，∴sin (B＋C)＝2sinBcosC，
∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin (B－C)＝0，∴B＝C，故选A.
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为(　　)
A.B.C.1D.
答案　D
解析　∵＝，∴＝.
∵3a＝2b，∴＝.∴＝.
∴＝2()2－1＝2×()2－1
＝－1＝.
4.在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a的值为(　　)
A.1B.2C.D.
答案　A
解析　由正弦定理，有＝，∴sinB＝.
∵C为钝角，∴B必为锐角，∴B＝，
∴A＝.∴a＝b＝1.
5.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝.
答案　7
解析　∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，
∴＝＝＝2R＝2，
∴＋＋＝2＋1＋4＝7.
6.在△ABC中，A＝60°，b＝4，a＝4，则B＝.
答案　45°
解析　由正弦定理＝，得sinB＝，
∵a>b，∴A>B.∴B只有一解.∴B＝45°.
7.不解三角形，判断下列三角形解的个数.
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
(3)c＝50，b＝72，C＝135°.
解　(1)sinB＝sin120°＝×，∵a>b，∴B为锐角，所以三角形有一解.
(2)sinB＝sin60°＝×＝，而<<1，所以当B为锐角时，满足sinB＝的角有60°也满足A＋B<180°，故三角形有两解.
(3)∵c180°，故三角形无解.
二、能力提升
8.在△ABC中，＝，则△ABC一定是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
答案　D
解析　在△ABC中，∵＝，∴acosA＝bcosB，由正弦定理，得2RsinAcosA＝2RsinBcosB，∴sin2A＝sin2B.
∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°.
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A，B的大小为(　　)
A.，B.，C.，D.，
答案　C
解析　∵m⊥n，∴cosA－sinA＝0，
∴tanA＝，∴A＝，
由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C，
∴sin(A＋B)＝sin2C，即sinC＝1，∴C＝，B＝.
10.△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为(用B表示).
答案　6sin＋3
解析　在△ABC中，由正弦定理得＝，
化简得AC＝2sinB，＝，
化简得AB＝2·sin，所以三角形的周长为：
3＋AC＋AB＝3＋2sinB＋2sin
＝3＋3sinB＋3cosB＝6sin＋3.
11.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2B＝A＋C，a＋b＝2c，求sinC的值.
解　∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°，A＋C＝120°，
∴0°∵a＋b＝2c，
由正弦定理得sinA＋sinB＝2sinC，
∴sin (120°－C)＋＝2sinC，
即cosC＋sinC＋＝2sinC，
∴sinC－cosC＝.∴sin (C－30°)＝.
∵－30°sinC＝sin (45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝.
12.在△ABC中，已知＝，且cos (A－B)＋cosC＝1－cos2C.
(1)试确定△ABC的形状；
(2)求的取值范围.
解　(1)在△ABC中，设其外接圆半径为R，根据正弦定理得
sinA＝，sinB＝，代入＝，得：＝，
∴b2－a2＝ab.①∵cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C，
∴cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C，∴sinAsinB＝sin2C.
由正弦定理，得·＝2，∴ab＝c2.②
把②代入①得，b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2.
∴△ABC是直角三角形.
(2)由(1)知B＝，∴A＋C＝，∴C＝－A.
∴sinC＝sin＝cosA.
根据正弦定理，＝＝sinA＋cosA
＝sin.
∵0∴即的取值范围是(1，].
三、探究与创新
13.如图所示，在Rt△ABC中，斜边c为Rt△ABC外接圆的直径，故有＝＝＝2R，这一关系对任意三角形也成立吗？
证明　在锐角△ABC中，如下图，连接BO交圆O于D，连接CD.
因为∠A＝∠D，则在△BCD中，＝＝2R.
同理，＝＝2R，
所以＝＝＝2R成立.
在钝角△ABC中，如下图，连接BO交圆O于D，连接CD，
∠A＝180°－∠D，
所以＝＝＝2R.
所以＝＝＝2R仍成立.