8.2 余弦定理(1)学案
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8.2 余弦定理(一)
[学习目标] 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
[知识链接]
1.以下问题可以使用正弦定理求解的是.
(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.
(2)已知两角和一边，求其他角和边.
(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角.
(4) 已知一个三角形的三条边，解三角形.
答案 (1)(2)
2.如图所示，在直角坐标系中，若A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA).利用两点间距离公式表示出|BC|，化简后会得出怎样的结论？
解 a2＝|BC|2＝(bcosA－c)2＋(bsinA－0)2
＝b2(sin2A＋cos2A)－2bccosA＋c2
＝b2＋c2－2bccosA.
得出a2＝b2＋c2－2bccosA.
[预习导引]
1.余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
2.余弦定理的推论
cosA＝；cosB＝；
cosC＝.
要点一 已知两边及一角解三角形
例1 (1)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和边a.
(2)在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形.
解 (1)方法一 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos30°，
∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，由于b＝3，所以A＝B＝30°，∴C＝120°.
当a＝6时，由正弦定理得sinA＝＝＝1.
∴A＝90°，∴C＝60°.
方法二 由正弦定理得sinC＝＝＝，
由b∴C＝60°或120°，
当C＝60°时，A＝90°，
由勾股定理a＝＝＝6，
当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形.
∴a＝3.
(2)由余弦定理知
b2＝a2＋c2－2accosB.
∴2＝3＋c2－2·c.
即c2－c＋1＝0，
解得c＝或c＝，
当c＝时，由余弦定理，得
cosA＝＝＝.
∵0°当c＝时，由余弦定理，得
cosA＝＝＝－.
∵0°故c＝，A＝60°，C＝75°或c＝，A＝120°，C＝15°.
规律方法 已知两边及一角解三角形有以下两种情况：
(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解.
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角.
跟踪演练1 在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c.
解 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.
∴x1＝，x2＝－2(舍去).∴cosC＝.
根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×＝16.
∴c＝4，即第三边长为4.
要点二 已知三边或三边关系解三角形
例2 (1)已知△ABC的三边长为a＝2，b＝2，c＝＋，求△ABC的各角度数.
(2)已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝，求△ABC的最大内角.
解 (1)由余弦定理得
cosA＝
＝＝，
∴A＝60°.
cosB＝
＝＝，
∴B＝45°，∴C＝180°－A－B＝75°.
(2)∵c>a，c>b，∴角C最大.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，
即37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－，
∵0°∴△ABC的最大内角为120°.
规律方法 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解.
(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形.
跟踪演练2 在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长.
解 由余弦定理和条件，得cosA＝＝＝，
设中线长为x，由余弦定理，得x2＝2＋AB2－2··ABcosA＝42＋92－2×4×9×＝49，∴x＝7.
即所求AC边上的中线长为7.
要点三 三角形形状的判定
例3 在△ABC中，已知cos2＝，判断△ABC的形状.
解 方法一 在△ABC中，由已知cos2＝，得＝，∴cosA＝.
根据余弦定理，得＝.∴b2＋c2－a2＝2b2，
即a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形.
方法二 在△ABC中，设其外接圆半径为R，由正弦定理，
b＝2RsinB，c＝2RsinC，
由cos2＝知，cosA＝.
∴cosA＝，即sinB＝sinCcosA.
∵B＝π－(A＋C)，∴sin (A＋C)＝sinCcosA，
∴sinAcosC＝0.∵A，C都是△ABC的内角，∴A≠0，A≠π.∴cosC＝0，∴C＝.
∴△ABC是直角三角形.
规律方法 (1)判断三角形形状的常用手段有两种：一是用余弦定理将已知条件转化为边之间的关系式，二是借助于正弦定理，将已知条件转化为角的三角函数关系式.
(2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.
跟踪演练3 在△ABC中，若(a－ccosB)sinB＝(b－ccosA)sinA，判断△ABC的形状.
解 方法一 由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为b＝a，
整理得(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，
故三角形为等腰三角形或直角三角形.
方法二 由正弦定理，原等式可化为
(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA，
∴sinBcosB＝sinAcosA，∴sin2B＝sin2A，
∴2B＝2A或2B＋2A＝π，∴A＝B或A＋B＝，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
1.在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝60°，则c等于( )
A. B.7 C. D.19
答案 A
解析 由余弦定理，得c2＝4＋9－2×2×3×cos60°＝13－6＝7，所以c＝.
2.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的另一边长为( )
A.52B.2C.16D.4
答案 B
解析 设另一边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×(－)＝52，∴x＝2.
3.在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 ∵a>b>c，∴C为最小角，
由余弦定理cosC＝＝＝.
∴C＝.
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为.
答案
解析 因为a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝＝.则B＝.
1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形.
(2) 若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形.
2.当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系.若统一为角之间的关系，则利用三角恒等变形化简；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简.
3.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.
(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.
(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角.
(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.
一、基础达标
1.在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于( )
A.1B.C.2D.4
答案 C
解析 bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝a＝2.
2.在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 ∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，
∴cosB＝＝＝.
3.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A.90°B.120°C.135°D.150°
答案 B
解析 设中间角为θ，则cosθ＝＝，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求.
4.在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为( )
A.B.C.或D.或
答案 D
解析 由(a2＋c2－b2)tanB＝ac得＝·即cosB＝·，∴sinB＝或cosB＝0(舍去)，
又B为△ABC的内角，所以B为或.
5.在△ABC中，已知A＝60°，最大边长和最小边长恰好是方程x2－7x＋11＝0的两根，则第三边的长.
答案 4
解析 设最大边长为x1，最小边长为x2，
则x1＋x2＝7，x1x2＝11，
又A＝60°，故第三边为角A的对边，
∴第三边长＝
＝＝4.
6.三角形三边长分别为a，b，(a>0，b>0)，则最大角为.
答案 120°
解析 易知：>a，>b，设最大角为θ，
则cosθ＝＝－，
又0°<θ<180°，∴θ＝120°.
7.已知a，b，c是△ABC的三内角A，B，C的对边，且b＝6，c＝4，A＝.
(1)求a的值；
(2)求sinC的值.
解 (1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝36＋16－2×6×4×cos＝28，
所以a＝2.
(2)cosC＝＝＝.sinC＝＝.
二、能力提升
8.在△ABC中，sin2＝，则△ABC的形状为( )
A.正三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
答案 B
解析 ∵sin2＝＝，
∴cosA＝＝，∴a2＋b2＝c2，符合勾股定理.
9.如下图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为50m/min，则该扇形的半径为( )
A.50m B.45m
C.50m D.47m
答案 C
解析 依题意得OD＝100m，CD＝150m，连接OC，易知∠ODC＝180°－∠AOB＝60°，
因此由余弦定理有
OC2＝OD2＋CD2－2OD·CDcos∠ODC，
即OC2＝1002＋1502－2×100×150×，
解得OC＝50(m).
10.在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是.
答案
解析 ∵cosC＝＝，∴sinC＝.
∴AD＝AC·sinC＝.
11.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长.
解 (1)∵cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，且C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴
∴AB2＝b2＋a2－2abcosπ＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝.
12.在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边的长.
解 由得
∴a>b>c，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bccos120°，
即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×(－)，
即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10.因此a＝14，
c＝6.
三、探究与创新
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinA＝acosC.
(1)求C；
(2)若c＝，且sinC＋sin(B－A)＝3sin2A，求△ABC的面积.
解 (1)由正弦定理，得sinCsinA＝sinAcosC，
因为sinA≠0，解得tanC＝，C＝.
(2)由sinC＋sin(B－A)＝3sin2A，
得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，
整理，得sinBcosA＝3sinAcosA.
若cosA＝0，则A＝，∵C＝，＝tan，b＝，
△ABC的面积S＝bc＝.
若cosA≠0，则sinB＝3sinA，b＝3a.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，
即()2＝a2＋(3a)2－2a·(3a)·cosC，
解得a＝1，b＝3.
△ABC的面积S＝absinC＝.
综上，△ABC的面积为或.
[学习目标] 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
[知识链接]
1.以下问题可以使用正弦定理求解的是.
(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.
(2)已知两角和一边，求其他角和边.
(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角.
(4) 已知一个三角形的三条边，解三角形.
答案 (1)(2)
2.如图所示，在直角坐标系中，若A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA).利用两点间距离公式表示出|BC|，化简后会得出怎样的结论？
解 a2＝|BC|2＝(bcosA－c)2＋(bsinA－0)2
＝b2(sin2A＋cos2A)－2bccosA＋c2
＝b2＋c2－2bccosA.
得出a2＝b2＋c2－2bccosA.
[预习导引]
1.余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
2.余弦定理的推论
cosA＝；cosB＝；
cosC＝.
要点一 已知两边及一角解三角形
例1 (1)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和边a.
(2)在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形.
解 (1)方法一 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos30°，
∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，由于b＝3，所以A＝B＝30°，∴C＝120°.
当a＝6时，由正弦定理得sinA＝＝＝1.
∴A＝90°，∴C＝60°.
方法二 由正弦定理得sinC＝＝＝，
由b
当C＝60°时，A＝90°，
由勾股定理a＝＝＝6，
当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形.
∴a＝3.
(2)由余弦定理知
b2＝a2＋c2－2accosB.
∴2＝3＋c2－2·c.
即c2－c＋1＝0，
解得c＝或c＝，
当c＝时，由余弦定理，得
cosA＝＝＝.
∵0°
cosA＝＝＝－.
∵0°
规律方法 已知两边及一角解三角形有以下两种情况：
(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解.
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角.
跟踪演练1 在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c.
解 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.
∴x1＝，x2＝－2(舍去).∴cosC＝.
根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×＝16.
∴c＝4，即第三边长为4.
要点二 已知三边或三边关系解三角形
例2 (1)已知△ABC的三边长为a＝2，b＝2，c＝＋，求△ABC的各角度数.
(2)已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝，求△ABC的最大内角.
解 (1)由余弦定理得
cosA＝
＝＝，
∴A＝60°.
cosB＝
＝＝，
∴B＝45°，∴C＝180°－A－B＝75°.
(2)∵c>a，c>b，∴角C最大.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，
即37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－，
∵0°
规律方法 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解.
(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形.
跟踪演练2 在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长.
解 由余弦定理和条件，得cosA＝＝＝，
设中线长为x，由余弦定理，得x2＝2＋AB2－2··ABcosA＝42＋92－2×4×9×＝49，∴x＝7.
即所求AC边上的中线长为7.
要点三 三角形形状的判定
例3 在△ABC中，已知cos2＝，判断△ABC的形状.
解 方法一 在△ABC中，由已知cos2＝，得＝，∴cosA＝.
根据余弦定理，得＝.∴b2＋c2－a2＝2b2，
即a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形.
方法二 在△ABC中，设其外接圆半径为R，由正弦定理，
b＝2RsinB，c＝2RsinC，
由cos2＝知，cosA＝.
∴cosA＝，即sinB＝sinCcosA.
∵B＝π－(A＋C)，∴sin (A＋C)＝sinCcosA，
∴sinAcosC＝0.∵A，C都是△ABC的内角，∴A≠0，A≠π.∴cosC＝0，∴C＝.
∴△ABC是直角三角形.
规律方法 (1)判断三角形形状的常用手段有两种：一是用余弦定理将已知条件转化为边之间的关系式，二是借助于正弦定理，将已知条件转化为角的三角函数关系式.
(2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.
跟踪演练3 在△ABC中，若(a－ccosB)sinB＝(b－ccosA)sinA，判断△ABC的形状.
解 方法一 由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为b＝a，
整理得(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，
故三角形为等腰三角形或直角三角形.
方法二 由正弦定理，原等式可化为
(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA，
∴sinBcosB＝sinAcosA，∴sin2B＝sin2A，
∴2B＝2A或2B＋2A＝π，∴A＝B或A＋B＝，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
1.在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝60°，则c等于( )
A. B.7 C. D.19
答案 A
解析 由余弦定理，得c2＝4＋9－2×2×3×cos60°＝13－6＝7，所以c＝.
2.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的另一边长为( )
A.52B.2C.16D.4
答案 B
解析 设另一边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×(－)＝52，∴x＝2.
3.在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 ∵a>b>c，∴C为最小角，
由余弦定理cosC＝＝＝.
∴C＝.
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为.
答案
解析 因为a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝＝.则B＝.
1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形.
(2) 若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形.
2.当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系.若统一为角之间的关系，则利用三角恒等变形化简；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简.
3.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.
(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.
(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角.
(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.
一、基础达标
1.在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于( )
A.1B.C.2D.4
答案 C
解析 bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝a＝2.
2.在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 ∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，
∴cosB＝＝＝.
3.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A.90°B.120°C.135°D.150°
答案 B
解析 设中间角为θ，则cosθ＝＝，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求.
4.在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为( )
A.B.C.或D.或
答案 D
解析 由(a2＋c2－b2)tanB＝ac得＝·即cosB＝·，∴sinB＝或cosB＝0(舍去)，
又B为△ABC的内角，所以B为或.
5.在△ABC中，已知A＝60°，最大边长和最小边长恰好是方程x2－7x＋11＝0的两根，则第三边的长.
答案 4
解析 设最大边长为x1，最小边长为x2，
则x1＋x2＝7，x1x2＝11，
又A＝60°，故第三边为角A的对边，
∴第三边长＝
＝＝4.
6.三角形三边长分别为a，b，(a>0，b>0)，则最大角为.
答案 120°
解析 易知：>a，>b，设最大角为θ，
则cosθ＝＝－，
又0°<θ<180°，∴θ＝120°.
7.已知a，b，c是△ABC的三内角A，B，C的对边，且b＝6，c＝4，A＝.
(1)求a的值；
(2)求sinC的值.
解 (1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝36＋16－2×6×4×cos＝28，
所以a＝2.
(2)cosC＝＝＝.sinC＝＝.
二、能力提升
8.在△ABC中，sin2＝，则△ABC的形状为( )
A.正三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
答案 B
解析 ∵sin2＝＝，
∴cosA＝＝，∴a2＋b2＝c2，符合勾股定理.
9.如下图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为50m/min，则该扇形的半径为( )
A.50m B.45m
C.50m D.47m
答案 C
解析 依题意得OD＝100m，CD＝150m，连接OC，易知∠ODC＝180°－∠AOB＝60°，
因此由余弦定理有
OC2＝OD2＋CD2－2OD·CDcos∠ODC，
即OC2＝1002＋1502－2×100×150×，
解得OC＝50(m).
10.在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是.
答案
解析 ∵cosC＝＝，∴sinC＝.
∴AD＝AC·sinC＝.
11.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长.
解 (1)∵cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，且C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴
∴AB2＝b2＋a2－2abcosπ＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝.
12.在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边的长.
解 由得
∴a>b>c，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bccos120°，
即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×(－)，
即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10.因此a＝14，
c＝6.
三、探究与创新
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinA＝acosC.
(1)求C；
(2)若c＝，且sinC＋sin(B－A)＝3sin2A，求△ABC的面积.
解 (1)由正弦定理，得sinCsinA＝sinAcosC，
因为sinA≠0，解得tanC＝，C＝.
(2)由sinC＋sin(B－A)＝3sin2A，
得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，
整理，得sinBcosA＝3sinAcosA.
若cosA＝0，则A＝，∵C＝，＝tan，b＝，
△ABC的面积S＝bc＝.
若cosA≠0，则sinB＝3sinA，b＝3a.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，
即()2＝a2＋(3a)2－2a·(3a)·cosC，
解得a＝1，b＝3.
△ABC的面积S＝absinC＝.
综上，△ABC的面积为或.