8.2 余弦定理(2)学案

8.2　余弦定理(二)
[学习目标]　1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题.
[知识链接]
1.以下问题不能用余弦定理求解的是.
(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.
(2)已知两角和一边，求其他角和边.
(3)已知一个三角形的二条边及其夹角，求其他的边和角.
(4)已知一个三角形的三条边，解三角形.
答案　(2)
2.利用余弦定理判断三角形的形状正确的是.
(1)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则△ABC为直角三角形.
(2)在△ABC中，若a2(3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形.
答案　(1)(3)
[预习导引]
1.正弦定理及其变形
(1)＝＝＝2R.
(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
2.余弦定理及其推论
(1)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
(2)cosA＝；cosB＝；
cosC＝.
(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为直角；
c2>a2＋b2?C为钝角；
c23.三角变换公式
(1)cos (α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；
(2)cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
(3)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
要点一　正弦、余弦定理的综合应用
例1　如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长.
解　在△ABD中，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，设BD＝x，
由余弦定理，得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠BDA，
∴142＝102＋x2－2×10xcos60°，
即x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，
∴BD＝16.
∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠CDB＝30°.
在△BCD中，由正弦定理得＝，
∴BC＝＝8.
规律方法　余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.
跟踪演练1　在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.
解　方法一　在△ABC中，∵sinAcosC＝3cosAsinC，
则由正弦定理及余弦定理有
a·＝3·c，
化简并整理得2(a2－c2)＝b2.
又由已知a2－c2＝2b，∴4b＝b2.解得b＝4或b＝0(舍).
方法二　由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bccosA.
又a2－c2＝2b，b≠0.所以b＝2ccosA＋2.①
又sinAcosC＝3cosAsinC，
∴sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，
sin (A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC，
由正弦定理得sinB＝sinC，故b＝4ccosA.②
由①②解得b＝4.
要点二　利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式
例2　在△ABC中，有(1)a＝bcosC＋ccosB；
(2)b＝ccosA＋acosC；
(3)c＝acosB＋bcosA；
这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.
证明　方法一　(1)由正弦定理得b＝2RsinB，c＝2RsinC，
∴bcosC＋ccosB＝2RsinBcosC＋2RsinCcosB
＝2R(sinBcosC＋cosBsinC)＝2Rsin(B＋C)
＝2RsinA＝a.
即a＝bcosC＋ccosB.同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；
(3)c＝acosB＋bcosA.
方法二　(1)由余弦定理得
cosB＝，cosC＝，
∴bcosC＋ccosB＝b·＋c·
＝＋＝＝a.
∴a＝bcosC＋ccosB.同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；
(3)c＝acosB＋bcosA.
规律方法　(1)证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左?右；右?左；左?中?右三种.
(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.
跟踪演练2　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，
求证：＝.
证明　方法一　∵左边＝＝，
右边＝＝，
∴等式成立.
方法二　因为右边＝
＝＝＝左边.
∴等式成立.
要点三　利用正弦、余弦定理判断三角形形状
例3　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状.
解　由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得
b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，
即b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝＝，
∴A＝，又sinA＝2sinBcosC，
由正弦、余弦定理，得a＝2b·＝，
∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形.
规律方法　题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断.
跟踪演练3　在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状.
解　方法一　根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.
∵B＝60°，2b＝a＋c，∴2＝a2＋c2－2accos60°，
整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.
又∵2b＝a＋c，∴2b＝2a，即b＝a.∴△ABC是正三角形.
方法二　根据正弦定理，2b＝a＋c可转化为
2sinB＝sinA＋sinC.
又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴C＝120°－A，
∴2sin60°＝sinA＋sin (120°－A)，
整理得sin (A＋30°)＝1，∵0°1.在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，则cosC的值为 (　　)
A. B.－
C. D.－
答案　A
解析　根据正弦定理，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k.(k>0)
则有cosC＝＝.
2.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是 (　　)
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
答案　C
解析　∵2cosBsinA＝sinC，
∴2××a＝c，
∴a＝b.故△ABC为等腰三角形.
3.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程x2－2x＋2＝0的两根且2cos(A＋B)＝1，则AB＝.
答案　
解析　设AB＝c，∵
∴cosC＝－.
又∵cosC＝＝
＝＝－，
∴c2＝10，∴c＝，即AB＝.
4.在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则满足条件的三角形有几个？
解　设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，
∴22＝a2＋(2)2－2a×2cos30°，
即a2－6a＋8＝0，解得a＝2或a＝4.
当a＝2时，三边为2,2,2可组成三角形；
当a＝4时，三边为4,2,2也可组成三角形.
∴满足条件的三角形有两个.
1.已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论.如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单.
2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
3.在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.
4.利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.
一、基础达标
1.若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段(　　)
A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形
C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形
答案　B
解析　因三角形最大边对应的角的余弦值cosθ＝＝>0，所以能组成锐角三角形.
2.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则·等于(　　)
A.B.－C.D.15
答案　B
解析　∵cosA＝＝＝－，
∴·＝||·||·cosA＝5×3×＝－，故选B.
3.如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.由增加的长度确定
答案　A
解析　设直角三角形三边为a，b，c，且a2＋b2＝c2，
则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，
∴最大边c＋x所对的最大角为锐角.
4.已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2等于(　　)
A.0B.－1C.1D.2
答案　A
解析　∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos120°＝
a2＋c2＋ac.
∴a2＋c2＋ac－b2＝0.
5.在△ABC中，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝.
答案　30°
解析　由sinC＝2sinB，根据正弦定理，得c＝2b，
代入a2－b2＝bc，得a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.
由余弦定理得cosA＝＝＝＝，又∵0°6.在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝.
答案　4
解析　在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝＝
－，即＝＝－
∴8c－7b＋4＝0，
由得
∴b＝4.
7.在△ABC中，求证：＝.
证明　因为右边＝＝·cosB－·cosA＝·－·＝－＝＝左边.
所以＝.
二、能力提升
8.在△ABC中，若a2＝bc，则角A是 (　　)
A.锐角B.钝角C.直角D.不确定
答案　A
解析　cosA＝＝
＝>0，∵0°9.已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝，求△ABC的最大内角为(　　)
A.120°B.90°C.150°D.60°
答案　A
解析　∵c>a，c>b，∴角C最大.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，
即37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－，
∵0°∴△ABC的最大内角为120°.故选A.
10.设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是.
答案　(2,8)
解析　∵2a－1>0，∴a>，最大边为2a＋1.
∵三角形为钝角三角形，
∴a2＋(2a－1)2<(2a＋1)2
化简得0又∵a＋2a－1>2a＋1，∴a>2，
∴211.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－asinC＝bsinB.
(1)求B；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
解　(1)由正弦定理，题中等式等价于为
a2＋c2－ac＝b2，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，故cosB＝.
由于0°因此B＝45°.
(2)sinA＝sin (30°＋45°)＝.故a＝＝＝1＋，c＝＝2×＝.
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－.
(1)求sinC的值；
(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长.
解　(1)∵cos2C＝1－2sin2C＝－，0∴sinC＝.
(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，
由正弦定理＝，得c＝4.
由cos2C＝2cos2C－1＝－及0得cosC＝±.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，
得b2±b－12＝0(b>0)，
解得b＝或2，∴或
三、探究与创新
13.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知＝.
(1)求角B的大小；
(2)设T＝sin2A＋sin2B＋sin2C，求T的取值范围.
解　(1)在△ABC中，＝＝＝＝，
因为sinC≠0，所以sinBcosC＝2sinAcosB－sinCcosB，
所以2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA，
因为sinA≠0，所以cosB＝，
又因为0(2)T＝sin2A＋sin2B＋sin2C
＝(1－cos2A)＋＋(1－cos2C)
＝－(cos2A＋cos2C)
＝－[cos2A＋cos(－2A)]
＝－(cos2A－sin2A)
＝－cos(2A＋).
因为0故<2A＋<，因此－1≤cos(2A＋)<，
所以所以T的取值范围是(，]