8.3 解三角形的应用举例(1)学案
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8.3 解三角形的应用举例(一)
[学习目标] 1.能够运用正弦、余弦定理解决与方位角有关的航海问题.2.会利用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决与方位角有关的距离问题.
[知识链接]
在下列各小题的空白处填上正确答案：
(1)如图所示，坡角是指坡面与水平面的夹角.(如图所示)
(2)如上图，坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝tan α＝(i为坡比，α为坡角).
(3)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线.
[预习导引]
1.方位角
从指正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角，叫做方位角.
2.方向角
指北或指南的方向线与目标线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，它是方位角的另一种表示形式.
要点一 正弦、余弦定理在航海中的应用
例1 如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.
解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，
则CD＝10t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，
由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA
＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos120°＝6.
∴BC＝海里.又∵＝，
∴sin∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得＝，
∴sin∠BCD＝＝＝.
∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.
∴t＝小时≈15分钟.
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.
规律方法 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题.
跟踪演练1 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解 如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，则
在△ABC中，BC＝at海里，AC＝at海里，
B＝90°＋30°＝120°，由＝得：
sin∠CAB＝＝＝＝.
∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°.
∴∠DAC＝60°－30°＝30°.
所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.
要点二 正弦、余弦定理在测量距离中的应用
例2 某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上的B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？
解 如图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，
cosB＝＝，所以sinB＝.
在△ABC中，AC＝＝＝24(千米).
由BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠CAB
得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35或AB＝－11(舍去).
∴AD＝AB－BD＝15(千米).
∴故此人在D处距A还有15千米.
规律方法 由问题中的有关量提炼出三角形中的元素，用正弦、余弦定理解三角形.
跟踪演练2 已知A船在灯塔C北偏东80°方向，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°方向，A、B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为______km.
答案 －1
解析 如图，由题意可得∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，
则由余弦定理可得：
AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，
即32＝22＋x2－2×2xcos120°，整理得x2＋2x＝5，
解得x＝－1.
1.已知两座灯塔A，B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观测站C的北偏东40°，灯塔B在观测站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
答案 B
解析 如下图，因△ABC为等腰三角形，所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.
2.一艘海轮从A处出发，以40nmile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观测灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观测灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A.10nmile B.10nmile
C.20nmile D.20nmile
答案 A
解析 如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，
AB＝40×＝20(nmile).
∴∠BCA＝45°.
∴由正弦定理可得＝.
∴BC＝＝10(nmile).
3.某人向正东方向行走了xkm后，向右转150°，然后再走3km，此时与出发点恰好相距km，则x＝________.
答案 或2
解析 如图，由题意知，AB＝xkm，BC＝3km，AC＝km，∠ABC＝30°，
由余弦定理得：()2＝x2＋32－2×3xcos30°，
即x2－3x＋6＝0，解得x＝或x＝2.
4.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值.
解 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，∴BC＝20
由正弦定理＝，
sin∠ACB＝sin∠BAC＝.
∵∠BAC＝120°，则∠ACB为锐角，cos∠ACB＝.
∴cosθ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°
＝×－×＝.
1.在解三角形时，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
2.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.
(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
一、基础达标
1.海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( )
A.10nmile B.nmile
C.5nmile D.5nmile
答案 D
解析 由题意知，在△ABC中AB＝10，A＝60°，B＝75°，则C＝180°－A－B＝45°.
由正弦定理，得BC＝＝＝5(nmile).
2.如图，一客轮以速率2v由A至B再到C匀速航行，一货船从AC的中点D出发，以速率v沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知AB⊥BC，AB＝BC＝50海里，若两船同时出发，则两船相遇之处M距C点的距离为( )
A.海里 B.海里
C.25海里 D.10海里
答案 A
解析 由题意知，M在BC上，设DM＝x，则CM＝100－2x，
在△CDM中，由余弦定理得：
x2＝(25)2＋(100－2x)2－2×25(100－2x)·cos45°，
解得x＝50－，∴CM＝.
3.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )
A.2h米B.h米C.h米D.2h米
答案 A
解析 如图所示，BC＝h，AC＝h，
∴AB＝＝2h (米).
4.甲骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )
A.6kmB.3kmC.3kmD.3km
答案 C
解析 由题意知，AB＝24×＝6(km)，∠BAS＝30°，
∠ASB＝75°－30°＝45°.
由正弦定理，得
BS＝＝＝3(km).
5.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12nmile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8nmile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则A处与D处之间的距离为________nmile；灯塔C与D处之间的距离为________nmile.
答案 24 8
解析 (1)在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°，
∠B＝45°；
由正弦定理得AD＝＝＝24；
(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°，解得CD＝8.
所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为8nmile.
6.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距anmile，乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶多少nmile?
解 如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，
乙船行驶距离BC为xnmile，
则AC＝xnmile，
由正弦定理得sinθ＝＝，而θ<60°，
∴θ＝30°，即∠ACB＝θ＝30°，AB＝BC＝a，
从而BC＝＝a (nmile).
答 甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了anmile.
7.某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度行驶，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.
解 如图所示，设舰艇与渔船在B处相遇时所用时间为t小时，
则AB＝10t，CB＝10t，
在△ABC中，根据余弦定理，则有
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，
可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，
整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去).
即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝10，BC＝10，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以sin∠CAB＝＝＝，
所以∠CAB＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°.
二、能力提升
8.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，B城市处于危险区内的时间为( )
A.0.5hB.1hC.1.5hD.2h
答案 B
解析 设A地东北方向上点P到B的距离为30km，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcosA，
即302＝x2＋402－2x·40cos45°，
化简得x2－40x＋700＝0.
设该方程的两根为x1，x2，
则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，
|x1－x2|＝20，故t＝＝＝1.故选B.
9.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.
答案 150
解析 根据图示，AC＝100m.
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理得＝?AM＝100m.
在△AMN中，＝sin60°，
∴MN＝100×＝150(m).
10.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为______km.
答案 30
解析 如图，由已知条件，
得AC＝60km，∠BAC＝30°，
∠ACB＝105°，∠ABC＝45°.
由正弦定理
BC＝
＝30(km).
11.某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(＋1)小时后开始影响基地持续2小时.求台风移动的方向.
解 如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.
由题意AB＝20(＋1)，DC＝20，
BC＝(＋1)·10.
在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，
∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，
由余弦定理得cos∠BAC＝＝.
∴∠BAC＝30°，又∵B位于A南偏东60°，
60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向，
又∵∠ADC＝45°，
∴台风移动的方向为向量的方向.即北偏西45°方向.
所以台风向北偏西45°方向移动.
12.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(＋1)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
解 由题意知∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得＝，
∴DB＝＝＝10(海里)，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC＝300＋1200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时).
答 救援船到达D点需要1小时.
三、探究与创新
13.如图所示，A，B两个小岛相距21海里，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9海里的速度向B岛行驶，而乙船同时以6海里的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离.
解 如图，行驶th后，甲船行驶了9t海里到达C处，乙船行驶了6t海里到达D处.
当9t<21，即t<时，C在线段AB上，此时BC＝(21－9t)海里，
在△BCD中，BC＝(21－9t)海里，BD＝6t海里，
∠CBD＝180°－60°＝120°，
由余弦定理知CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos120°＝(21－9t)2＋(6t)2－2(21－9t)·6t·(－)
＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189.
当t＝2时，CD取得最小值＝3.
当t＝时，C与B重合，
此时CD＝6×＝14(海里)>3(海里).
当t>时，BC＝(9t－21)(海里)，
则CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2×(9t－21)×6t·cos60°
＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189>189.
综上可知t＝2时，CD取得最小值3.
答 行驶2h后，甲、乙两船相距最近为3海里.
[学习目标] 1.能够运用正弦、余弦定理解决与方位角有关的航海问题.2.会利用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决与方位角有关的距离问题.
[知识链接]
在下列各小题的空白处填上正确答案：
(1)如图所示，坡角是指坡面与水平面的夹角.(如图所示)
(2)如上图，坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝tan α＝(i为坡比，α为坡角).
(3)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线.
[预习导引]
1.方位角
从指正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角，叫做方位角.
2.方向角
指北或指南的方向线与目标线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，它是方位角的另一种表示形式.
要点一 正弦、余弦定理在航海中的应用
例1 如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.
解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，
则CD＝10t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，
由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA
＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos120°＝6.
∴BC＝海里.又∵＝，
∴sin∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得＝，
∴sin∠BCD＝＝＝.
∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.
∴t＝小时≈15分钟.
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.
规律方法 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题.
跟踪演练1 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解 如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，则
在△ABC中，BC＝at海里，AC＝at海里，
B＝90°＋30°＝120°，由＝得：
sin∠CAB＝＝＝＝.
∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°.
∴∠DAC＝60°－30°＝30°.
所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.
要点二 正弦、余弦定理在测量距离中的应用
例2 某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上的B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？
解 如图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，
cosB＝＝，所以sinB＝.
在△ABC中，AC＝＝＝24(千米).
由BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠CAB
得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35或AB＝－11(舍去).
∴AD＝AB－BD＝15(千米).
∴故此人在D处距A还有15千米.
规律方法 由问题中的有关量提炼出三角形中的元素，用正弦、余弦定理解三角形.
跟踪演练2 已知A船在灯塔C北偏东80°方向，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°方向，A、B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为______km.
答案 －1
解析 如图，由题意可得∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，
则由余弦定理可得：
AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，
即32＝22＋x2－2×2xcos120°，整理得x2＋2x＝5，
解得x＝－1.
1.已知两座灯塔A，B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观测站C的北偏东40°，灯塔B在观测站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
答案 B
解析 如下图，因△ABC为等腰三角形，所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.
2.一艘海轮从A处出发，以40nmile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观测灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观测灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A.10nmile B.10nmile
C.20nmile D.20nmile
答案 A
解析 如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，
AB＝40×＝20(nmile).
∴∠BCA＝45°.
∴由正弦定理可得＝.
∴BC＝＝10(nmile).
3.某人向正东方向行走了xkm后，向右转150°，然后再走3km，此时与出发点恰好相距km，则x＝________.
答案 或2
解析 如图，由题意知，AB＝xkm，BC＝3km，AC＝km，∠ABC＝30°，
由余弦定理得：()2＝x2＋32－2×3xcos30°，
即x2－3x＋6＝0，解得x＝或x＝2.
4.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值.
解 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，∴BC＝20
由正弦定理＝，
sin∠ACB＝sin∠BAC＝.
∵∠BAC＝120°，则∠ACB为锐角，cos∠ACB＝.
∴cosθ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°
＝×－×＝.
1.在解三角形时，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
2.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.
(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
一、基础达标
1.海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( )
A.10nmile B.nmile
C.5nmile D.5nmile
答案 D
解析 由题意知，在△ABC中AB＝10，A＝60°，B＝75°，则C＝180°－A－B＝45°.
由正弦定理，得BC＝＝＝5(nmile).
2.如图，一客轮以速率2v由A至B再到C匀速航行，一货船从AC的中点D出发，以速率v沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知AB⊥BC，AB＝BC＝50海里，若两船同时出发，则两船相遇之处M距C点的距离为( )
A.海里 B.海里
C.25海里 D.10海里
答案 A
解析 由题意知，M在BC上，设DM＝x，则CM＝100－2x，
在△CDM中，由余弦定理得：
x2＝(25)2＋(100－2x)2－2×25(100－2x)·cos45°，
解得x＝50－，∴CM＝.
3.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )
A.2h米B.h米C.h米D.2h米
答案 A
解析 如图所示，BC＝h，AC＝h，
∴AB＝＝2h (米).
4.甲骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )
A.6kmB.3kmC.3kmD.3km
答案 C
解析 由题意知，AB＝24×＝6(km)，∠BAS＝30°，
∠ASB＝75°－30°＝45°.
由正弦定理，得
BS＝＝＝3(km).
5.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12nmile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8nmile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则A处与D处之间的距离为________nmile；灯塔C与D处之间的距离为________nmile.
答案 24 8
解析 (1)在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°，
∠B＝45°；
由正弦定理得AD＝＝＝24；
(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°，解得CD＝8.
所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为8nmile.
6.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距anmile，乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶多少nmile?
解 如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，
乙船行驶距离BC为xnmile，
则AC＝xnmile，
由正弦定理得sinθ＝＝，而θ<60°，
∴θ＝30°，即∠ACB＝θ＝30°，AB＝BC＝a，
从而BC＝＝a (nmile).
答 甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了anmile.
7.某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度行驶，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.
解 如图所示，设舰艇与渔船在B处相遇时所用时间为t小时，
则AB＝10t，CB＝10t，
在△ABC中，根据余弦定理，则有
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，
可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，
整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去).
即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝10，BC＝10，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以sin∠CAB＝＝＝，
所以∠CAB＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°.
二、能力提升
8.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，B城市处于危险区内的时间为( )
A.0.5hB.1hC.1.5hD.2h
答案 B
解析 设A地东北方向上点P到B的距离为30km，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcosA，
即302＝x2＋402－2x·40cos45°，
化简得x2－40x＋700＝0.
设该方程的两根为x1，x2，
则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，
|x1－x2|＝20，故t＝＝＝1.故选B.
9.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.
答案 150
解析 根据图示，AC＝100m.
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理得＝?AM＝100m.
在△AMN中，＝sin60°，
∴MN＝100×＝150(m).
10.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为______km.
答案 30
解析 如图，由已知条件，
得AC＝60km，∠BAC＝30°，
∠ACB＝105°，∠ABC＝45°.
由正弦定理
BC＝
＝30(km).
11.某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(＋1)小时后开始影响基地持续2小时.求台风移动的方向.
解 如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.
由题意AB＝20(＋1)，DC＝20，
BC＝(＋1)·10.
在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，
∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，
由余弦定理得cos∠BAC＝＝.
∴∠BAC＝30°，又∵B位于A南偏东60°，
60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向，
又∵∠ADC＝45°，
∴台风移动的方向为向量的方向.即北偏西45°方向.
所以台风向北偏西45°方向移动.
12.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(＋1)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
解 由题意知∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得＝，
∴DB＝＝＝10(海里)，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC＝300＋1200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时).
答 救援船到达D点需要1小时.
三、探究与创新
13.如图所示，A，B两个小岛相距21海里，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9海里的速度向B岛行驶，而乙船同时以6海里的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离.
解 如图，行驶th后，甲船行驶了9t海里到达C处，乙船行驶了6t海里到达D处.
当9t<21，即t<时，C在线段AB上，此时BC＝(21－9t)海里，
在△BCD中，BC＝(21－9t)海里，BD＝6t海里，
∠CBD＝180°－60°＝120°，
由余弦定理知CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos120°＝(21－9t)2＋(6t)2－2(21－9t)·6t·(－)
＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189.
当t＝2时，CD取得最小值＝3.
当t＝时，C与B重合，
此时CD＝6×＝14(海里)>3(海里).
当t>时，BC＝(9t－21)(海里)，
则CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2×(9t－21)×6t·cos60°
＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189>189.
综上可知t＝2时，CD取得最小值3.
答 行驶2h后，甲、乙两船相距最近为3海里.