9.1 数列的概念 (1)学案

9.1　数列的概念 (一)
[学习目标]　1.理解数列及其有关概念；2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．
[知识链接]
下列4个结论正确的有________．
(1)任何一个函数都对应着一个映射，任何一个映射也对应着一个函数；
(2)任何一个函数都有一个确定的函数表达式；
(3)函数的表示方法有：列表法、解析法、图象法；
(4) 对于函数f(x)，x1，x2为函数f(x)定义域内任意两个值，当x1>x2时，f(x1)答案　(3)
解析　函数是非空数集A到非空数集B的一个映射，而映射中的A、B并不一定是数集，故(1)错；某地区的某天的温度y是时间t的函数，这个函数只能用列表法表示，不能用表达式表示，故(2)错；(3)显然正确；(4)中的函数为减函数，故不正确．
[预习导引]
1．数列及其相关的概念
按某种规则依次排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第1位的数称为这个数列的首项或叫做第1项，排在第2位的数称为这个数列的第2项，依次类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项．
2．数列的表示方法
一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为{an}．
3．数列的分类
项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
4．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列{an}的通项公式．
要点一　数列的有关概念
例1　下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由．
(1){0,1,2,3,4}是有穷数列；
(2)所有自然数能构成数列；
(3)－3，－1,1，x,5,7，y,11是一个项数为8的数列；
(4)数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1.
解　(1)错误．{0,1,2,3,4}是集合，不是数列．
(2)正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列．
(3)错误．当x，y代表数时为项数为8的数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成．
(4)错误．数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的第n项为2n－1，故通项公式为an＝2n－1.
规律方法　(1)数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f(n)对应的自变量的值，即n.
(2)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，只是借用了集合的表示形式，与集合表示有本质的区别．
跟踪演练1　已知下列数列：
(1)2000,2004,2008,2012；
(2)0，，，…，，…；
(3)1，，，…，，…；
(4)1，－，，…，，…；
(5)1,0，－1，…，sin，….
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，周期数列是________(将合理的序号填在横线上)．
答案　(1)　(2)(3)(4)(5)　(1)(2)　(3)　(4)(5)　(5)
解析　(1)是有穷递增数列；
(2)是无穷递增数列(因为＝1－)；
(3)是无穷递减数列；
(4)是摆动数列，也是无穷数列；
(5)是摆动数列，是无穷数列，也是周期数列，最小正周期为4.
要点二　根据数列的前几项写出通项公式
例2　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)，2，，8，，…；
(3)0.8,0.88,0.888，…；
(4)，，－，，－，，…；
(5)，1，，，….
解　(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
(2)类似(1)统一分母为2，则有，，，，，…，因而有an＝.
(3)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝.
(4)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，至此原数列已化为－，，－，，…，
∴an＝(－1)n·.
(5)将数列统一为，，，，…，对于分子3,5,7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，
∴可得原数列的一个通项公式为an＝.
规律方法　此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体思考方向为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．
跟踪演练2　写出下列数列的一个通项公式：
(1)3,5,9,17,33，…；
(2)，，，，，…；
(3)，－1，，－，，－，….
解　(1)中3可看作21＋1,5可看作22＋1,9可看作23＋1,17可看作24＋1,33可看作25＋1，….所以an＝2n＋1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以an＝.
(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为，－，所以an＝(－1)n＋1.
要点三　数列通项公式的应用
例3　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
解　(1)根据an＝3n2－28n，a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，
∴n＝7或n＝(舍)．
∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49.
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
∴n＝－2或n＝.∵－2?N*，?N*，
∴68不是该数列的项．
规律方法　(1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项．
跟踪演练3　已知数列{an}的通项公式为an＝log2，那么log23是这个数列的(　　)
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
答案　A
解析　由＝3，得n2＝12－3，所以n＝3.故答案为
A.
1．下列说法中，正确的是(　　)
A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
C．数列的第k项是1＋
D．数列0,2,4,6,8，…，可表示为an＝2n(n∈N*)
答案　C
解析　A错，{1,3,5,7}是集合．B错，是两个不同的数列，顺序不同．C正确，ak＝＝1＋.D错，an＝2(n－1)(n∈N*)．
2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝n＋2 D．an＝2n
答案　B
解析　这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为an＝n＋1.
3．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)1，－3,5，－7,9，…；
(2)9,99,999,9999，…；
(3)0,1,0,1，….
解　(1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)，n∈N*.
(2)各项加1后，变为10,100,1000,10000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.
(3)an＝或an＝(n∈N*)或an＝(n∈N*)．
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
一、基础达标
1．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为(　　)
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.，0，，0 D．2,0,2,0
答案　A
解析　当n分别等于1,2,3,4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，
a4＝0.
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的(　　)
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．非任何一项
答案　C
解析　n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．
3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝n2＋1
答案　C
解析　令n＝1,2,3,4，代入A、B、C、D检验即可．排除A、B、D，从而选C.
4．数列，，，，…的第10项是(　　)
A.B.C.D.
答案　C
解析　由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为an＝，当n＝10时，a10＝＝.
5．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，，，，________，，….
答案　3
解析　由于数列的前几项的根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为＝3.
6．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第______项．
答案　10
解析　令＝，
即n(n＋2)＝10×12，得n＝10.
7．写出下列数列的一个通项公式(可以不写过程)．
(1)，，，，…；
(2)1,0，－，0，，0，－，0，….
解　(1)an＝.
(2)把数列改写成，，－，，，，－，，…，分母依次为1,2,3，…，而分子为1,0，－1,0，…周期性出现，因此，我们可以用sin表示，故an＝.
8．已知数列{n(n＋2)}．
(1)写出这个数列的第8项和第20项；
(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
解　(1)an＝n(n＋2)＝n2＋2n，∴a8＝80，a20＝440.
(2)由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17.
∴323是数列{n(n＋2)}中的项，是第17项．
二、能力提升
9．数列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的一个通项公式an等于(　　)
A.(10n－1) B.(10n－1)
C.(1－) D.(10n－1)
答案　C
解析　代入n＝1检验，排除A、B、D，故选C.
10．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.
答案　
解析　∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，
∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.
11．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)(n＋2)．
(1)若an＝9900，问an是第几项？
(2)56和28是否是这个数列中的项？
解　(1)令(n＋1)(n＋2)＝9900
解得n＝98或n＝－101(舍去)，∴an是第98项．
(2)56是第6项，28不是这个数列中的项．
12．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n一次的函数．
(1)求{an}的通项公式；
(2)88是否是数列{an}中的项？
(1)解　设an＝kn＋b，则
解得
∴an＝4n－2.
(2)解　令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5?N*.
∴88不是数列{an}中的项．
三、探究与创新
13．已知数列.
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间内有没有数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
(1)解　设f(n)＝＝＝.令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)解　令＝，得9n＝300.此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明　∵an＝＝＝1－，
又n∈N*，∴0<<1，∴0∴数列中的各项都在区间(0,1)内．
(4)解　令∴∴∴当且仅当n＝2时，上式成立，故区间上有数列中的项，且只有一项为a2＝.