9.1 数列的概念 (2)学案
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9.1 数列的概念 (二)
[学习目标] 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．
[知识链接]
1．数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有的性质有________．
答案 (1)确定性，(2)可重复性，(3)有序性， (4)数列中的每一项都是数
2．数列的项与对应的序号能构成函数关系，类比函数的表示方法，想一想数列有哪些表示方法？
答案 数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，….除了列举法外，数列还可以用公式法、列表法、图象法来表示．
[预习导引]
1．数列的函数性质
(1)数列是一种特殊的函数，只不过是定义在正整数集N*(或其有限子集)上的函数，如果已知定义在正整数集上的函数f(n)，那么{f(n)}就是一个数列．另一方面，如果已知数列{an}，那么，我们把表示位置的量看作自变量，数列的项就可看作“位置”的函数值，an＝f(n)就是一个定义在正整数集(或其有限子集)上的函数．
(2)在数列{an}中，若an＋1>an，n∈N*，则{an}是递增数列；若an＋12．数列的递推公式
如果数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an(或前几项)之间的关系可用一个公式来表示，即an＋1＝f(an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件．
3．数列的表示方法
数列的表示方法有列举法、通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.
要点一 判断数列的单调性
例1 已知数列{an}的通项公式为an＝，试判断该数列的单调性．
解 an＋1－an＝－
＝
＝，
由n∈N*，得an＋1－an>0，即an＋1>an.
∴数列{an}是递增数列．
规律方法 单调性是数列的一个重要性质．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N*)的大小，若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1跟踪演练1 已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{an}是递减数列．
(1)解 ∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
∴2－2－＝－2n，
即an－＝－2n(看成关于an的方程)．
∴a＋2nan－1＝0，
解得an＝－n±.
∵an>0，∴an＝－n.
(2)证明 作商比较，∵n∈N*
∴＝
＝<1.
又an>0，∴an＋1故数列{an}是递减数列．
要点二 求数列的最大(小)项
例2 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
解 (1)由n2－5n＋4<0，解得1∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．
(2)方法一 ∵an＝n2－5n＋4＝(n－)2－，可知对称轴方程为n＝＝2.5.
又∵n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
方法二 设第n项最小，由
得
解这个不等式组，得2≤n≤3，
∴n＝2,3.∴a2＝a3且最小．
∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
规律方法 求数列{an}的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由来确定n，求最大项可由来确定n.若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项．
跟踪演练2 已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)·n(n∈N*)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．
解 假设数列{an}中存在最大项．
∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n·，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1故a1a11>a12>…，
所以数列中有最大项，最大项为第9,10项，
且a9＝a10＝.
要点三 由递推关系式求数列的通项公式
例3 已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)；
(2)a1＝1，an＋1＝.
解 (1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，
∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；
a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；
a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；
a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.
故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.
(2)∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，a5＝＝，
∴它的前5项依次是1，，，，.
它的前5项又可写成，，，，，
故它的一个通项公式为an＝.
规律方法 已知数列递推公式求数列某一项时，依次将项数n的值代入即可．
跟踪演练3 已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝，则a4＝________.
答案
解析 a2＝＝＝，a3＝＝＝，
a4＝＝＝.
1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
答案 A
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
答案 B
3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．
答案 an＝2n＋1
解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.
4．已知：数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an，
(1)写出数列的前5项；
(2)猜想数列的通项公式．
解 (1)a1＝1，a2＝×1＝，a3＝×＝，
a4＝×＝，a5＝×＝.
(2)猜想：an＝.
1．{an}与an是两种不同含义的表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．
2．数列的表示方法：①列举法；②图象法；③列表法；④通项公式法；⑤递推公式法．
3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
一、基础达标
1．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
答案 C
解析 ∵{an}是递减数列，
∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.
2．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是( )
A．1 B.
C. D.
答案 B
3．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 a1a2a3＝32，a1a2＝22，
a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，
则a3＝＝，a5＝＝.
故a3＋a5＝.
4．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则b6的值是( )
A．9B．17C．33D．65
答案 C
解析 ∵bn＝abn－1，∴b2＝ab1＝a2＝3，
b3＝ab2＝a3＝5，b4＝ab3＝a5＝9，
b5＝ab4＝a9＝17，b6＝ab5＝a17＝2×17－1＝33.
5．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是________．
答案 －9
解析 an＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴当n＝3时，an取得最小值－9.
6．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
答案 2
解析 ∵∴
∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.
7．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．
解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.
二、能力提升
8．若a1＝1，an＋1＝，则给出的数列{an}的第4项是( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 a2＝＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝.
9．已知数列{an}中，a1＝1,2nan＋1＝(n＋1)an，则数列{an}的通项公式为( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 由2nan＋1＝(n＋1)an，得＝，＝＝(n>1)．
所以当n>1时，an＝a1···…·＝1××××…×＝××××…×＝.
又当n＝1时上式也成立，故选B.
10．一个数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项为( )
A．6B．－3C．－12D．－6
答案 D
解析 由递推关系式可求得a3＝a2－a1＝6－3＝3，a4＝a3－a2＝3－6＝－3，∴a5＝a4－a3＝－3－3＝－6.
11．根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式．
(1)a1＝1，an＋1＝an＋；
(2)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．
解 (1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.猜想an＝.
(2)a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝9.猜想an＝2n－1＋1.
12．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋29n＋3，求数列{an}的最大项．
解 由已知，得an＝－2n2＋29n＋3＝－22＋108，
由于n∈N*，故当n取距离最近的正整数7时，an取得最大值108.
∴数列{an}中的最大项为a7＝108.
三、探究与创新
13．数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，求{an}的通项公式．
解 ∵an＋1＝an，∴＝.
∴当n>1时，＝2，＝，＝，…，＝.
把上述等式相乘，得×××…×＝2×××…×，
即＝n，而a1＝2，∴an＝2n.
又∵n＝1时a1＝2＝2×1，满足上式，
∴{an}的通项公式为an＝2n.
[学习目标] 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．
[知识链接]
1．数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有的性质有________．
答案 (1)确定性，(2)可重复性，(3)有序性， (4)数列中的每一项都是数
2．数列的项与对应的序号能构成函数关系，类比函数的表示方法，想一想数列有哪些表示方法？
答案 数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，….除了列举法外，数列还可以用公式法、列表法、图象法来表示．
[预习导引]
1．数列的函数性质
(1)数列是一种特殊的函数，只不过是定义在正整数集N*(或其有限子集)上的函数，如果已知定义在正整数集上的函数f(n)，那么{f(n)}就是一个数列．另一方面，如果已知数列{an}，那么，我们把表示位置的量看作自变量，数列的项就可看作“位置”的函数值，an＝f(n)就是一个定义在正整数集(或其有限子集)上的函数．
(2)在数列{an}中，若an＋1>an，n∈N*，则{an}是递增数列；若an＋1
如果数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an(或前几项)之间的关系可用一个公式来表示，即an＋1＝f(an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件．
3．数列的表示方法
数列的表示方法有列举法、通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.
要点一 判断数列的单调性
例1 已知数列{an}的通项公式为an＝，试判断该数列的单调性．
解 an＋1－an＝－
＝
＝，
由n∈N*，得an＋1－an>0，即an＋1>an.
∴数列{an}是递增数列．
规律方法 单调性是数列的一个重要性质．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N*)的大小，若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{an}是递减数列．
(1)解 ∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
∴2－2－＝－2n，
即an－＝－2n(看成关于an的方程)．
∴a＋2nan－1＝0，
解得an＝－n±.
∵an>0，∴an＝－n.
(2)证明 作商比较，∵n∈N*
∴＝
＝<1.
又an>0，∴an＋1
要点二 求数列的最大(小)项
例2 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
解 (1)由n2－5n＋4<0，解得1
(2)方法一 ∵an＝n2－5n＋4＝(n－)2－，可知对称轴方程为n＝＝2.5.
又∵n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
方法二 设第n项最小，由
得
解这个不等式组，得2≤n≤3，
∴n＝2,3.∴a2＝a3且最小．
∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
规律方法 求数列{an}的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由来确定n，求最大项可由来确定n.若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项．
跟踪演练2 已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)·n(n∈N*)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．
解 假设数列{an}中存在最大项．
∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n·，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1
所以数列中有最大项，最大项为第9,10项，
且a9＝a10＝.
要点三 由递推关系式求数列的通项公式
例3 已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)；
(2)a1＝1，an＋1＝.
解 (1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，
∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；
a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；
a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；
a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.
故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.
(2)∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，a5＝＝，
∴它的前5项依次是1，，，，.
它的前5项又可写成，，，，，
故它的一个通项公式为an＝.
规律方法 已知数列递推公式求数列某一项时，依次将项数n的值代入即可．
跟踪演练3 已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝，则a4＝________.
答案
解析 a2＝＝＝，a3＝＝＝，
a4＝＝＝.
1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
答案 A
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
答案 B
3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．
答案 an＝2n＋1
解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.
4．已知：数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an，
(1)写出数列的前5项；
(2)猜想数列的通项公式．
解 (1)a1＝1，a2＝×1＝，a3＝×＝，
a4＝×＝，a5＝×＝.
(2)猜想：an＝.
1．{an}与an是两种不同含义的表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．
2．数列的表示方法：①列举法；②图象法；③列表法；④通项公式法；⑤递推公式法．
3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
一、基础达标
1．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
答案 C
解析 ∵{an}是递减数列，
∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.
2．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是( )
A．1 B.
C. D.
答案 B
3．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 a1a2a3＝32，a1a2＝22，
a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，
则a3＝＝，a5＝＝.
故a3＋a5＝.
4．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则b6的值是( )
A．9B．17C．33D．65
答案 C
解析 ∵bn＝abn－1，∴b2＝ab1＝a2＝3，
b3＝ab2＝a3＝5，b4＝ab3＝a5＝9，
b5＝ab4＝a9＝17，b6＝ab5＝a17＝2×17－1＝33.
5．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是________．
答案 －9
解析 an＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴当n＝3时，an取得最小值－9.
6．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
答案 2
解析 ∵∴
∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.
7．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．
解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.
二、能力提升
8．若a1＝1，an＋1＝，则给出的数列{an}的第4项是( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 a2＝＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝.
9．已知数列{an}中，a1＝1,2nan＋1＝(n＋1)an，则数列{an}的通项公式为( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 由2nan＋1＝(n＋1)an，得＝，＝＝(n>1)．
所以当n>1时，an＝a1···…·＝1××××…×＝××××…×＝.
又当n＝1时上式也成立，故选B.
10．一个数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项为( )
A．6B．－3C．－12D．－6
答案 D
解析 由递推关系式可求得a3＝a2－a1＝6－3＝3，a4＝a3－a2＝3－6＝－3，∴a5＝a4－a3＝－3－3＝－6.
11．根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式．
(1)a1＝1，an＋1＝an＋；
(2)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．
解 (1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.猜想an＝.
(2)a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝9.猜想an＝2n－1＋1.
12．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋29n＋3，求数列{an}的最大项．
解 由已知，得an＝－2n2＋29n＋3＝－22＋108，
由于n∈N*，故当n取距离最近的正整数7时，an取得最大值108.
∴数列{an}中的最大项为a7＝108.
三、探究与创新
13．数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，求{an}的通项公式．
解 ∵an＋1＝an，∴＝.
∴当n>1时，＝2，＝，＝，…，＝.
把上述等式相乘，得×××…×＝2×××…×，
即＝n，而a1＝2，∴an＝2n.
又∵n＝1时a1＝2＝2×1，满足上式，
∴{an}的通项公式为an＝2n.