9.2 等差数列(1)学案
图片预览
文档简介
9.2 等差数列(一)
[学习目标] 1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．
[知识链接]
第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？
答 从第二届起，每一届的年份与它前一届年份的差等于同一个常数4.这个数列叫等差数列．
[预习导引]
1．等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这样的数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
2．等差中项的概念
若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A＝.
3．等差数列的通项公式
若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋(n－1)d.
4．等差数列的单调性
等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列．
5．等差数列与一次函数的关系
已知数列{an}中，an＝pn＋q，其中p，q是常数，且p不为0，那么数列{an}是首项a1＝p＋q，公差d＝p的等差数列．
要点一 等差数列的概念
例1 若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg2n，试说明数列{an}为等差数列．
解 因为an＝10＋lg2n＝10＋nlg2，
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg2)＝lg2(n∈N*)．
所以数列{an}为等差数列．
规律方法 判断一个数列是不是等差数列，就是判断an＋1－an(n≥1)是不是一个与n无关的常数．
跟踪演练1 数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列
答案 A
解析 ∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{an}是公差为2的等差数列．
要点二 等差中项及其应用
例2 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
(2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．
解 (1)∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项．∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1,1,3,5,7.
(2)由x1＝3，得2p＋q＝3，①
又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，
得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1，②
将②代入①，得p＝1.故p＝1，q＝1.
规律方法 在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．
跟踪演练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
解 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.∴m和n的等差中项为＝3.
要点三 等差数列的通项公式及应用
例3 (1)若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
解 (1)设{an}的公差为d.
由题意知解得
所以a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
(2)依题意得
∴
解得或∵数列{an}是递减等差数列，
∴d<0.故取a1＝11，d＝－5.∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.
令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.
∴－34是数列{an}的第10项．
规律方法 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体代换，以减少计算量．
跟踪演练3 已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式：
(1)a3＝5，a7＝13；
(2)前三项为a,2a－1,3－a.
解 (1) 设首项为a1，公差为d，则
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)由等差中项公式得2×(2a－1)＝a＋(3－a)，a＝，
∴首项为a＝，公差为2a－1－a＝a－1＝－1＝，
∴an＝＋(n－1)×＝＋1.
1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( )
A．2B．3C．－2D．－3
答案 C
解析 由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于( )
A．30°B．60°C．90°D．120°
答案 B
解析 因为A、B、C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，又因A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，从而B＝60°.
3．在等差数列{an}中，a1＝0，a3＝4，则a10等于( )
A．12B．14C．16D．18
答案 D
解析 因a3－a1＝2d＝4，所以d＝2，则有a10＝a1＋(10－1)d＝18.
4．下列数列是等差数列的有________．
(1)9, 7, 5, 3, …，－2n＋11, …；
(2)－1, 11, 23, 35, …，12n－13, …；
(3)1, 2, 1, 2, …；
(4)1, 2, 4, 6, 8, 10, …；
(5)a，a，a，a，…，a….
答案 (1)(2)(5)
解析 由等差数列的定义，得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．
5．等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，求n的值．
解 ∵a2＋a5＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＝2a1＋5d＝4，
∴d＝.∴an＝＋(n－1)×＝n－.
由an＝n－＝33，解得n＝50.
1．判断一个数列是否是等差数列的常用方法有：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)?{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)?{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
一、基础达标
1．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是( )
A．b－aB.C.D.
答案 C
解析 由等差数列的通项公式，得b＝a＋(4－1)d，所以d＝.
2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0，则数列的通项an等于( )
A．n2＋1 B．n＋1
C．1－n D．3－n
答案 D
解析 ∵an＋1－an＝－1，∴数列{an}是等差数列，公差为－1，∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n.
3．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )
A．第7项 B．第8项
C．第9项 D．第10项
答案 B
解析 a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2>0，a8＝－1<0.
4．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A．26B．29C．39D．52
答案 C
解析 ∵5，x，y，z,21成等差数列，
∴y是5和21的等差中项也是x和z的等差中项．
∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26.
∴x＋y＋z＝39.
5．等差数列的前三项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为________．
答案 an＝2n－3
解析 ∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前三项，
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.
∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，
∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.
6．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.
答案
解析 由已知a－a＝4，
∴{a}是等差数列，且首项a＝1，公差d＝4，
∴a＝1＋(n－1)·4＝4n－3.
又an>0，∴an＝.
7．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求a10.
解 设数列{an}的公差为d，由题意知：
解得
故an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
∴a10＝－2×10＋21＝1.
二、能力提升
8．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于( )
A．5B．8C．10D．14
答案 B
解析 方法一 设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.
方法二 由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.
9．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列是( )
A．公差为1的等差数列 B．公差为的等差数列
C．公差为－的等差数列 D．不是等差数列
答案 B
解析 由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝.所以数列{an}为公差为的等差数列．
10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是________．
答案解析 设an＝－24＋(n－1)d，则
解不等式得11．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：
时间t(s)
1
2
3
…
？
…
60
距离s(cm)
9.8
19.6
29.4
…
49
…
？
(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？
(2)利用建立的模型计算，甲虫1min能爬多远？它爬行49cm需要多长时间？
解 (1)由题中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9.8t.
(2)当t＝1min＝60s时，
s＝9.8t＝9.8×60＝588cm.
当s＝49cm时，t＝＝＝5s.
12．梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．
解 用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知，得a1＝33，a12＝110.
由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即110＝33＋11d，解得d＝7.因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm，89cm，96cm，103cm.
三、探究与创新
13．已知等差数列{an}：3,7,11,15，….
(1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？试说明理由．
(2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由．
解 a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.
(1)令an＝4n－1＝135，∴n＝34，
∴135是数列{an}中的第34项．
令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N*.
∴4m＋19是{an}中的第m＋5项．
(2)∵ap，aq是{an}中的项，
∴ap＝4p－1，aq＝4q－1.
∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5
＝4(2p＋3q－1)－1∈N*，∴2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项.
[学习目标] 1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．
[知识链接]
第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？
答 从第二届起，每一届的年份与它前一届年份的差等于同一个常数4.这个数列叫等差数列．
[预习导引]
1．等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这样的数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
2．等差中项的概念
若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A＝.
3．等差数列的通项公式
若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋(n－1)d.
4．等差数列的单调性
等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列．
5．等差数列与一次函数的关系
已知数列{an}中，an＝pn＋q，其中p，q是常数，且p不为0，那么数列{an}是首项a1＝p＋q，公差d＝p的等差数列．
要点一 等差数列的概念
例1 若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg2n，试说明数列{an}为等差数列．
解 因为an＝10＋lg2n＝10＋nlg2，
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg2)＝lg2(n∈N*)．
所以数列{an}为等差数列．
规律方法 判断一个数列是不是等差数列，就是判断an＋1－an(n≥1)是不是一个与n无关的常数．
跟踪演练1 数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列
答案 A
解析 ∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{an}是公差为2的等差数列．
要点二 等差中项及其应用
例2 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
(2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．
解 (1)∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项．∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1,1,3,5,7.
(2)由x1＝3，得2p＋q＝3，①
又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，
得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1，②
将②代入①，得p＝1.故p＝1，q＝1.
规律方法 在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．
跟踪演练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
解 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.∴m和n的等差中项为＝3.
要点三 等差数列的通项公式及应用
例3 (1)若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
解 (1)设{an}的公差为d.
由题意知解得
所以a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
(2)依题意得
∴
解得或∵数列{an}是递减等差数列，
∴d<0.故取a1＝11，d＝－5.∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.
令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.
∴－34是数列{an}的第10项．
规律方法 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体代换，以减少计算量．
跟踪演练3 已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式：
(1)a3＝5，a7＝13；
(2)前三项为a,2a－1,3－a.
解 (1) 设首项为a1，公差为d，则
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)由等差中项公式得2×(2a－1)＝a＋(3－a)，a＝，
∴首项为a＝，公差为2a－1－a＝a－1＝－1＝，
∴an＝＋(n－1)×＝＋1.
1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( )
A．2B．3C．－2D．－3
答案 C
解析 由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于( )
A．30°B．60°C．90°D．120°
答案 B
解析 因为A、B、C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，又因A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，从而B＝60°.
3．在等差数列{an}中，a1＝0，a3＝4，则a10等于( )
A．12B．14C．16D．18
答案 D
解析 因a3－a1＝2d＝4，所以d＝2，则有a10＝a1＋(10－1)d＝18.
4．下列数列是等差数列的有________．
(1)9, 7, 5, 3, …，－2n＋11, …；
(2)－1, 11, 23, 35, …，12n－13, …；
(3)1, 2, 1, 2, …；
(4)1, 2, 4, 6, 8, 10, …；
(5)a，a，a，a，…，a….
答案 (1)(2)(5)
解析 由等差数列的定义，得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．
5．等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，求n的值．
解 ∵a2＋a5＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＝2a1＋5d＝4，
∴d＝.∴an＝＋(n－1)×＝n－.
由an＝n－＝33，解得n＝50.
1．判断一个数列是否是等差数列的常用方法有：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)?{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)?{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
一、基础达标
1．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是( )
A．b－aB.C.D.
答案 C
解析 由等差数列的通项公式，得b＝a＋(4－1)d，所以d＝.
2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0，则数列的通项an等于( )
A．n2＋1 B．n＋1
C．1－n D．3－n
答案 D
解析 ∵an＋1－an＝－1，∴数列{an}是等差数列，公差为－1，∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n.
3．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )
A．第7项 B．第8项
C．第9项 D．第10项
答案 B
解析 a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2>0，a8＝－1<0.
4．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A．26B．29C．39D．52
答案 C
解析 ∵5，x，y，z,21成等差数列，
∴y是5和21的等差中项也是x和z的等差中项．
∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26.
∴x＋y＋z＝39.
5．等差数列的前三项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为________．
答案 an＝2n－3
解析 ∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前三项，
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.
∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，
∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.
6．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.
答案
解析 由已知a－a＝4，
∴{a}是等差数列，且首项a＝1，公差d＝4，
∴a＝1＋(n－1)·4＝4n－3.
又an>0，∴an＝.
7．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求a10.
解 设数列{an}的公差为d，由题意知：
解得
故an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
∴a10＝－2×10＋21＝1.
二、能力提升
8．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于( )
A．5B．8C．10D．14
答案 B
解析 方法一 设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.
方法二 由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.
9．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列是( )
A．公差为1的等差数列 B．公差为的等差数列
C．公差为－的等差数列 D．不是等差数列
答案 B
解析 由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝.所以数列{an}为公差为的等差数列．
10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是________．
答案
解不等式得
时间t(s)
1
2
3
…
？
…
60
距离s(cm)
9.8
19.6
29.4
…
49
…
？
(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？
(2)利用建立的模型计算，甲虫1min能爬多远？它爬行49cm需要多长时间？
解 (1)由题中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9.8t.
(2)当t＝1min＝60s时，
s＝9.8t＝9.8×60＝588cm.
当s＝49cm时，t＝＝＝5s.
12．梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．
解 用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知，得a1＝33，a12＝110.
由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即110＝33＋11d，解得d＝7.因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm，89cm，96cm，103cm.
三、探究与创新
13．已知等差数列{an}：3,7,11,15，….
(1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？试说明理由．
(2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由．
解 a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.
(1)令an＝4n－1＝135，∴n＝34，
∴135是数列{an}中的第34项．
令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N*.
∴4m＋19是{an}中的第m＋5项．
(2)∵ap，aq是{an}中的项，
∴ap＝4p－1，aq＝4q－1.
∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5
＝4(2p＋3q－1)－1∈N*，∴2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项.