9.2 等差数列(2)学案
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9.2 等差数列(二)
[学习目标] 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．
[知识链接]
在等差数列{an}中，若已知首项a1和公差d的值，由通项公式an＝a1＋(n－1)d可求出任意一项的值，如果已知am和公差d的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？
[预习导引]
1．等差数列的图象
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常数函数；当d≠0时，an是关于n一次的函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
2．等差数列的项与序号的关系
(1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知a1，d, am, an(m≠n)，则d＝＝从而有an＝am＋(n－m)d.
(2)项的运算性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
3．等差数列的性质
(1)等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
(2)若{an}、{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
(3){an}的公差为d，则d>0?{an}为递增数列；
d<0?{an}为递减数列；d＝0?{an}为常数列.
要点一 等差数列性质的应用
例1 (1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.
(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．
解 (1)方法一 根据等差数列的通项公式，得
a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.
由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝.
∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝.
方法二 根据等差数列性质
a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.
由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝，
∴a4＋a8＝2a6＝.
(2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为d，
∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，
∴a2＝5，
又a1a2a3＝80，
∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16?d＝3或d＝－3(舍去)，
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.
规律方法 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．
跟踪演练1 在等差数列{an}中：
(1)若a3＝5，则a1＋2a4＝________；
(2)a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列a1＋a20等于________．
答案 (1)15 (2)18
解析 (1)a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝15.
(2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78?(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54?a1＋a20＝18.
要点二 等差数列的设法与求解
例2 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．
解 方法一 设等差数列的等差中项为a，公差为d，
则这三个数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，
所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
化简得d2＝16，于是d＝±4，
故三个数为－2,2,6或6,2，－2.
方法二 设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，
依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，
即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.
规律方法 利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
跟踪演练2 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
解 方法一 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
方法二 若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，
把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8，
得＝－8，即1－d2＝－8，
化简得d2＝4，所以d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d＝2，
故所求的四个数为－2,0,2,4.
要点三 由递推关系式构造等差数列求通项
例3 已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N*时，有＝，设bn＝，n∈N*.
(1)求证：数列{bn}为等差数列；
(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．
(1)证明 当n>1，n∈N*时，＝?＝?－2＝2＋?－＝4?bn－bn－1＝4，且b1＝＝5.
∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.
(2)解 由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.
∴an＝＝，n∈N*.
∴a1＝，a2＝，∴a1a2＝.
令an＝＝，得n＝11.
即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项．
规律方法 已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列求通项，需掌握常见的几种变形形式，考查学生推理能力与分析问题的能力．
跟踪演练3 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n＋1.
(1)求证：数列{an－2n}为等差数列；
(2)设数列{bn}满足bn＝2log2(an＋1－n)，求{bn}的通项公式．
(1)证明 (an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝an＋1－an－2n＝1(与n无关)，
故数列{an－2n}为等差数列，且公差d＝1.
(2)解 由(1)可知，an－2n＝(a1－2)＋(n－1)d＝n－1，
故an＝2n＋n－1，所以bn＝2log2(an＋1－n)＝2n.
要点四 等差数列的实际应用
例4 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明，求：
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；
(3)哪一年的规模最大？请说明理由．
解 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；
从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，
则cn＝anbn.
(1)由a1＝1，a6＝2，得
∴?a2＝1.2；
由b1＝30，b6＝10，得
∴?b2＝26.
所以c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2.
所以第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；
(2)c6＝a6b6＝2×10＝20所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了．
(3)∵an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8，bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6)，
∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)
＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1≤n≤6)．
∵对称轴为n＝，所以当n＝2时，cn最大．
所以第2年的规模最大．
规律方法 本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征．这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华．
跟踪演练4 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解 由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20，(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝－20n＋220<0，解得n>11，
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．
1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
答案 A
解析 ∵a1＋a9＝2a5＝10，∴a5＝5.
2．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于( )
A．35B．－35C．23D．－23
答案 A
解析 由a8－a4＝4d＝12，得d＝3，所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.
3．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是( )
A．新数列不是等差数列
B．新数列是公差为d的等差数列
C．新数列是公差为2d的等差数列
D．新数列是公差为3d的等差数列
答案 C
解析 ∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，
∴数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．
4．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，则这三个数依次为______．
答案 4,6,8
解析 设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知得
由①得a＝6，代入②得d＝±2.
∵该数列是递增数列，
∴d>0，即d＝2.
∴这三个数依次为4,6,8.
1．在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2．等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3．等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
4．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体代换，以减少计算量．
一、基础达标
1．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为( )
A．12B．8C．6D．4
答案 B
解析 由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
2．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( )
A．－182 B．－78
C．－148 D．－82
答案 D
解析 a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33＝50＋2×(－2)×33＝－82.
3．下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{an＋3nd}是递增数列；
其中的真命题为( )
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
答案 D
解析 an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，因d>0，所以p1正确；an＋3nd＝4dn＋a1－d，因4d>0，所以是递增数列，p4正确，故选D.
4．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为( )
A．4B．6C．8D．10
答案 C
解析 由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，
∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
5．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
答案 20
解析 方法一 依题意2a1＋9d＝10，
所以3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝4a1＋18d＝20.
方法二 3a5＋a7＝a5＋a6＋a4＋a7＝a3＋a8＋a3＋a8＝20.
6．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
答案 1或2
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac
＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
7．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值．
解 方法一 设公差为d，
则d＝＝＝－1，
从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.
方法二 设等差数列的通项公式为an＝kn＋b(k，b为常数)，
则
得k＝－1，b＝m＋n.所以am＋n＝k(m＋n)＋b＝0.
二、能力提升
8．等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于( )
A．45 B．75
C．180 D．300
答案 C
解析 ∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5
＝5a5＝450，∴a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.
9．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为( )
A. B．±
C．－ D．－
答案 D
解析 由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan＝tan＝－.
10．已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.
答案 15
解析 a5＋a6＝a3＋a8＝22，
∴a5＝22－a6＝22－7＝15.
11．正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－＝an＋.
(1)数列{}是否为等差数列？说明理由．(2)求an.
解 (1)∵an＋1－＝an＋，
∴an＋1－an＝＋，
∴(＋)·(－)＝＋，
∴－＝1，
∴{}是等差数列，公差为1.
(2)由(1)知{}是等差数列，且d＝1，∴＝＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝n2.
12．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
解 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得
∴ 解得或
所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
三、探究与创新
13．已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由．
(2)求an.
解 (1)数列是等差数列，理由如下；
∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋，
∴－＝，即{}是首项为＝，
公差为d＝的等差数列．
(2)由上述可知＝＋(n－1)d＝，
∴an＝.
[学习目标] 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．
[知识链接]
在等差数列{an}中，若已知首项a1和公差d的值，由通项公式an＝a1＋(n－1)d可求出任意一项的值，如果已知am和公差d的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？
[预习导引]
1．等差数列的图象
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常数函数；当d≠0时，an是关于n一次的函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
2．等差数列的项与序号的关系
(1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知a1，d, am, an(m≠n)，则d＝＝从而有an＝am＋(n－m)d.
(2)项的运算性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
3．等差数列的性质
(1)等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
(2)若{an}、{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
(3){an}的公差为d，则d>0?{an}为递增数列；
d<0?{an}为递减数列；d＝0?{an}为常数列.
要点一 等差数列性质的应用
例1 (1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.
(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．
解 (1)方法一 根据等差数列的通项公式，得
a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.
由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝.
∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝.
方法二 根据等差数列性质
a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.
由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝，
∴a4＋a8＝2a6＝.
(2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为d，
∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，
∴a2＝5，
又a1a2a3＝80，
∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16?d＝3或d＝－3(舍去)，
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.
规律方法 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．
跟踪演练1 在等差数列{an}中：
(1)若a3＝5，则a1＋2a4＝________；
(2)a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列a1＋a20等于________．
答案 (1)15 (2)18
解析 (1)a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝15.
(2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78?(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54?a1＋a20＝18.
要点二 等差数列的设法与求解
例2 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．
解 方法一 设等差数列的等差中项为a，公差为d，
则这三个数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，
所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
化简得d2＝16，于是d＝±4，
故三个数为－2,2,6或6,2，－2.
方法二 设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，
依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，
即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.
规律方法 利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
跟踪演练2 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
解 方法一 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
方法二 若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，
把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8，
得＝－8，即1－d2＝－8，
化简得d2＝4，所以d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d＝2，
故所求的四个数为－2,0,2,4.
要点三 由递推关系式构造等差数列求通项
例3 已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N*时，有＝，设bn＝，n∈N*.
(1)求证：数列{bn}为等差数列；
(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．
(1)证明 当n>1，n∈N*时，＝?＝?－2＝2＋?－＝4?bn－bn－1＝4，且b1＝＝5.
∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.
(2)解 由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.
∴an＝＝，n∈N*.
∴a1＝，a2＝，∴a1a2＝.
令an＝＝，得n＝11.
即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项．
规律方法 已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列求通项，需掌握常见的几种变形形式，考查学生推理能力与分析问题的能力．
跟踪演练3 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n＋1.
(1)求证：数列{an－2n}为等差数列；
(2)设数列{bn}满足bn＝2log2(an＋1－n)，求{bn}的通项公式．
(1)证明 (an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝an＋1－an－2n＝1(与n无关)，
故数列{an－2n}为等差数列，且公差d＝1.
(2)解 由(1)可知，an－2n＝(a1－2)＋(n－1)d＝n－1，
故an＝2n＋n－1，所以bn＝2log2(an＋1－n)＝2n.
要点四 等差数列的实际应用
例4 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明，求：
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；
(3)哪一年的规模最大？请说明理由．
解 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；
从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，
则cn＝anbn.
(1)由a1＝1，a6＝2，得
∴?a2＝1.2；
由b1＝30，b6＝10，得
∴?b2＝26.
所以c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2.
所以第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；
(2)c6＝a6b6＝2×10＝20
(3)∵an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8，bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6)，
∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)
＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1≤n≤6)．
∵对称轴为n＝，所以当n＝2时，cn最大．
所以第2年的规模最大．
规律方法 本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征．这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华．
跟踪演练4 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解 由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20，(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝－20n＋220<0，解得n>11，
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．
1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
答案 A
解析 ∵a1＋a9＝2a5＝10，∴a5＝5.
2．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于( )
A．35B．－35C．23D．－23
答案 A
解析 由a8－a4＝4d＝12，得d＝3，所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.
3．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是( )
A．新数列不是等差数列
B．新数列是公差为d的等差数列
C．新数列是公差为2d的等差数列
D．新数列是公差为3d的等差数列
答案 C
解析 ∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，
∴数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．
4．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，则这三个数依次为______．
答案 4,6,8
解析 设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知得
由①得a＝6，代入②得d＝±2.
∵该数列是递增数列，
∴d>0，即d＝2.
∴这三个数依次为4,6,8.
1．在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2．等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3．等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
4．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体代换，以减少计算量．
一、基础达标
1．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为( )
A．12B．8C．6D．4
答案 B
解析 由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
2．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( )
A．－182 B．－78
C．－148 D．－82
答案 D
解析 a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33＝50＋2×(－2)×33＝－82.
3．下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{an＋3nd}是递增数列；
其中的真命题为( )
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
答案 D
解析 an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，因d>0，所以p1正确；an＋3nd＝4dn＋a1－d，因4d>0，所以是递增数列，p4正确，故选D.
4．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为( )
A．4B．6C．8D．10
答案 C
解析 由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，
∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
5．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
答案 20
解析 方法一 依题意2a1＋9d＝10，
所以3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝4a1＋18d＝20.
方法二 3a5＋a7＝a5＋a6＋a4＋a7＝a3＋a8＋a3＋a8＝20.
6．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
答案 1或2
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac
＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
7．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值．
解 方法一 设公差为d，
则d＝＝＝－1，
从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.
方法二 设等差数列的通项公式为an＝kn＋b(k，b为常数)，
则
得k＝－1，b＝m＋n.所以am＋n＝k(m＋n)＋b＝0.
二、能力提升
8．等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于( )
A．45 B．75
C．180 D．300
答案 C
解析 ∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5
＝5a5＝450，∴a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.
9．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为( )
A. B．±
C．－ D．－
答案 D
解析 由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan＝tan＝－.
10．已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.
答案 15
解析 a5＋a6＝a3＋a8＝22，
∴a5＝22－a6＝22－7＝15.
11．正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－＝an＋.
(1)数列{}是否为等差数列？说明理由．(2)求an.
解 (1)∵an＋1－＝an＋，
∴an＋1－an＝＋，
∴(＋)·(－)＝＋，
∴－＝1，
∴{}是等差数列，公差为1.
(2)由(1)知{}是等差数列，且d＝1，∴＝＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝n2.
12．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
解 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得
∴ 解得或
所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
三、探究与创新
13．已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由．
(2)求an.
解 (1)数列是等差数列，理由如下；
∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋，
∴－＝，即{}是首项为＝，
公差为d＝的等差数列．
(2)由上述可知＝＋(n－1)d＝，
∴an＝.