9.2 等差数列(3)学案
图片预览
文档简介
9.2 等差数列(三)
[学习目标] 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.了解公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
[知识链接]
1．设梯形的上底、下底、高分别为a，b，h，把两个相同的梯形拼成平行四边形，则梯形的面积为________．
答案
2．二次函数y＝2x2－4x－3，当x＝________时，有最________值为________．
答案 1 小 －5
解析 函数y＝2x2－4x－3，∵a＝2>0,
∴x＝－＝－＝1时，
ymin＝＝＝－5.
3．把二次函数y＝－2x2＋4x＋3化成y＝a(x＋h)2＋k的形式是____________，当x＝________时，y有最大值________．
答案 y＝－2(x－1)2＋5 1 5
解析 y＝－2x2＋4x＋3＝－2(x2－2x)＋3
＝－2(x－1)2＋5.
∴x＝1时，y有最大值5.
[预习导引]
1．数列前n项和的概念
把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记作Sn.
a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1(n≥2)．
2．等差数列前n项和公式
(1)若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝；
(2)若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝na1＋n(n－1)d.
3．等差数列前n项和的性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.
(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.
要点一 与等差数列Sn有关的基本量的计算
例1 在等差数列{an}中．
(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d.
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
解 (1)由题意，得Sn＝＝＝－5＝172，
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.
(2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
(3)由得
解方程组得或
规律方法 a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．
跟踪演练1 等差数列{an}中，前m项的和为77(m为奇数)，其中偶数项的和为33，且a1－am＝18，求这个数列的通项公式．
解 设公差等于d，由题意可得偶数项共有项．
则ma1＋d＝77，
·(a1＋d)＋×2d＝33，
a1－am＝－(m－1)d＝18，
解得m＝7，d＝－3，a1＝20，所以an＝a1＋(n－1)d＝20－3n＋3＝－3n＋23.
要点二 等差数列前n项和公式在实际中的应用
例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元的后一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
解 设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则
a1＝50＋1000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)，
…
a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)，
即第10个月应付款55.5元．
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
所以有S20＝×20＝1105(元)，
即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)．
规律方法 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．
跟踪演练2 甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
解 (1)设n分钟后第1次相遇，依题意，
有2n＋＋5n＝70，
整理得n2＋13n－140＝0.解之得n＝7，n＝－20(舍去)．
第1次相遇是在开始运动后7分钟．
(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，
有2n＋＋5n＝3×70，
整理得n2＋13n－420＝0.解之得n＝15，n＝－28(舍去)．
第2次相遇是在开始运动后15分钟．
要点三 等差数列前n项和性质的应用
例3 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项和S3m.
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．
解 (1)方法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
方法二 在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
(2)＝＝＝.
规律方法 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
跟踪演练3 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
解 设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n(n－1)d，
∵S7＝7，S15＝75，∴
即解得
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，
∵－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.
1．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是( )
A．12B．24C．36D．48
答案 B
解析 由S10＝，
得a1＋a10＝＝＝24.
2．记等差数列前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( )
A．2B．3C．6D．7
答案 B
解析 方法一 由解得d＝3.
方法二 由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.
3．等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于( )
A．1B.C.D.
答案 C
解析 由题意，得＝＝＝＝＝.故选C.
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________.
答案
解析 由等差数列的求和公式可得＝＝，可得a1＝2d且d≠0，所以＝＝＝.
5．已知等差数列{an}中，
(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d.
解 (1)∵Sn＝n·＋·＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，解之得n＝12或n＝－5(舍去)，
a12＝＋(12－1)×＝－4.
(2)由Sn＝＝＝－1022，解之得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，
解之得d＝－171.
1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．
2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap的应用．
一、基础达标
1．已知等差数列{an}中，a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于( )
A．18B．27C．36D．45
答案 C
解析 S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36.
2．等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于( )
A.B．2C.D．4
答案 A
解析 由题意得：10a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)，∴10a1＋45d＝20a1＋40d，
∴10a1＝5d，∴＝.
3．已知等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为( )
A．－9B．－11C．－13D．－15
答案 D
解析 由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，∵an<0，
∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝＝＝＝－15.
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于( )
A．63B．45C．36D．27
答案 B
解析 数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.
∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.
5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765B．665C．763D．663
答案 B
解析 ∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，
∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
6．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为________．
答案
解析 S奇＝，S偶＝，
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.
7．已知等差数列{an}的前3项依次为a,4,3a，前k项和Sk＝2550，求a及k.
解 设等差数列{an}的公差为d，则由题意得
∴(注：k＝－51舍)
∴a＝2，k＝50.
二、能力提升
8．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m等于( )
A．38B．20C．10D．9
答案 C
解析 因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－a＝0，得：2am－a＝0，由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，又S2m－1＝38，即＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故选C.
9．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9B．10C．19D．29
答案 B
解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.
∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
10．设f(x)＝.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．
答案 3
解析 ∵f(x)＝，∴f(1－x)＝＝＝.∴f(x)＋f(1－x)＝，
∴f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝6×＝3.
11．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，求a9.
解 设等差数列的公差为d，则
S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，
S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.
由解得
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
12．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．
解 方法一 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋d.
由已知得
①×10－②，整理得d＝－，
代入①，得a1＝.
∴S110＝110a1＋d
＝110×＋×
＝110＝－110.
故此数列的前110项之和为－110.
方法二 数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100为等差数列，设公差为d′，则
10S10＋×d′＝S100＝10，
又∵S10＝100，代入上式得d′＝－22，
∴S110－S100＝S10＋(11－1)×d′＝100＋10×(－22)＝－120，
∴S110＝－120＋S100＝－110.
方法三 设等差数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn.
∵S10＝100，S100＝10，
∴∴
∴Sn＝－n2＋n，
∴S110＝－×1102＋×110＝－110.
三、探究与创新
13．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
解 (1){an}为等差数列，∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，
又a3·a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根，
又公差d>0，∴a3∴∴∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n，
∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝，
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，∴2c2＋c＝0，
∴c＝－(c＝0舍去)．
[学习目标] 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.了解公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
[知识链接]
1．设梯形的上底、下底、高分别为a，b，h，把两个相同的梯形拼成平行四边形，则梯形的面积为________．
答案
2．二次函数y＝2x2－4x－3，当x＝________时，有最________值为________．
答案 1 小 －5
解析 函数y＝2x2－4x－3，∵a＝2>0,
∴x＝－＝－＝1时，
ymin＝＝＝－5.
3．把二次函数y＝－2x2＋4x＋3化成y＝a(x＋h)2＋k的形式是____________，当x＝________时，y有最大值________．
答案 y＝－2(x－1)2＋5 1 5
解析 y＝－2x2＋4x＋3＝－2(x2－2x)＋3
＝－2(x－1)2＋5.
∴x＝1时，y有最大值5.
[预习导引]
1．数列前n项和的概念
把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记作Sn.
a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1(n≥2)．
2．等差数列前n项和公式
(1)若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝；
(2)若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝na1＋n(n－1)d.
3．等差数列前n项和的性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.
(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.
要点一 与等差数列Sn有关的基本量的计算
例1 在等差数列{an}中．
(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d.
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
解 (1)由题意，得Sn＝＝＝－5＝172，
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.
(2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
(3)由得
解方程组得或
规律方法 a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．
跟踪演练1 等差数列{an}中，前m项的和为77(m为奇数)，其中偶数项的和为33，且a1－am＝18，求这个数列的通项公式．
解 设公差等于d，由题意可得偶数项共有项．
则ma1＋d＝77，
·(a1＋d)＋×2d＝33，
a1－am＝－(m－1)d＝18，
解得m＝7，d＝－3，a1＝20，所以an＝a1＋(n－1)d＝20－3n＋3＝－3n＋23.
要点二 等差数列前n项和公式在实际中的应用
例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元的后一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
解 设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则
a1＝50＋1000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)，
…
a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)，
即第10个月应付款55.5元．
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
所以有S20＝×20＝1105(元)，
即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)．
规律方法 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．
跟踪演练2 甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
解 (1)设n分钟后第1次相遇，依题意，
有2n＋＋5n＝70，
整理得n2＋13n－140＝0.解之得n＝7，n＝－20(舍去)．
第1次相遇是在开始运动后7分钟．
(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，
有2n＋＋5n＝3×70，
整理得n2＋13n－420＝0.解之得n＝15，n＝－28(舍去)．
第2次相遇是在开始运动后15分钟．
要点三 等差数列前n项和性质的应用
例3 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项和S3m.
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．
解 (1)方法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
方法二 在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
(2)＝＝＝.
规律方法 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
跟踪演练3 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
解 设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n(n－1)d，
∵S7＝7，S15＝75，∴
即解得
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，
∵－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.
1．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是( )
A．12B．24C．36D．48
答案 B
解析 由S10＝，
得a1＋a10＝＝＝24.
2．记等差数列前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( )
A．2B．3C．6D．7
答案 B
解析 方法一 由解得d＝3.
方法二 由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.
3．等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于( )
A．1B.C.D.
答案 C
解析 由题意，得＝＝＝＝＝.故选C.
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________.
答案
解析 由等差数列的求和公式可得＝＝，可得a1＝2d且d≠0，所以＝＝＝.
5．已知等差数列{an}中，
(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d.
解 (1)∵Sn＝n·＋·＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，解之得n＝12或n＝－5(舍去)，
a12＝＋(12－1)×＝－4.
(2)由Sn＝＝＝－1022，解之得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，
解之得d＝－171.
1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．
2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap的应用．
一、基础达标
1．已知等差数列{an}中，a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于( )
A．18B．27C．36D．45
答案 C
解析 S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36.
2．等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于( )
A.B．2C.D．4
答案 A
解析 由题意得：10a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)，∴10a1＋45d＝20a1＋40d，
∴10a1＝5d，∴＝.
3．已知等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为( )
A．－9B．－11C．－13D．－15
答案 D
解析 由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，∵an<0，
∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝＝＝＝－15.
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于( )
A．63B．45C．36D．27
答案 B
解析 数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.
∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.
5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765B．665C．763D．663
答案 B
解析 ∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，
∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
6．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为________．
答案
解析 S奇＝，S偶＝，
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.
7．已知等差数列{an}的前3项依次为a,4,3a，前k项和Sk＝2550，求a及k.
解 设等差数列{an}的公差为d，则由题意得
∴(注：k＝－51舍)
∴a＝2，k＝50.
二、能力提升
8．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m等于( )
A．38B．20C．10D．9
答案 C
解析 因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－a＝0，得：2am－a＝0，由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，又S2m－1＝38，即＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故选C.
9．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9B．10C．19D．29
答案 B
解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.
∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
10．设f(x)＝.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．
答案 3
解析 ∵f(x)＝，∴f(1－x)＝＝＝.∴f(x)＋f(1－x)＝，
∴f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝6×＝3.
11．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，求a9.
解 设等差数列的公差为d，则
S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，
S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.
由解得
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
12．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．
解 方法一 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋d.
由已知得
①×10－②，整理得d＝－，
代入①，得a1＝.
∴S110＝110a1＋d
＝110×＋×
＝110＝－110.
故此数列的前110项之和为－110.
方法二 数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100为等差数列，设公差为d′，则
10S10＋×d′＝S100＝10，
又∵S10＝100，代入上式得d′＝－22，
∴S110－S100＝S10＋(11－1)×d′＝100＋10×(－22)＝－120，
∴S110＝－120＋S100＝－110.
方法三 设等差数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn.
∵S10＝100，S100＝10，
∴∴
∴Sn＝－n2＋n，
∴S110＝－×1102＋×110＝－110.
三、探究与创新
13．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
解 (1){an}为等差数列，∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，
又a3·a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根，
又公差d>0，∴a3
(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n，
∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝，
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，∴2c2＋c＝0，
∴c＝－(c＝0舍去)．