9.3 等比数列(1)学案
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9.3 等比数列(一)
[学习目标] 1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．
[知识链接]
下列判断正确的是________．
(1)从第2项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列
(2)从第2项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列
(3)等差数列的公差d可正可负，且可以为零
(4)在等差数列中，an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)
答案 (1)(3)(4)
[预习导引]
1．等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．等比中项的概念
如果a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
3．等比数列的通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，该等比数列的通项公式为an＝a1qn－1.
要点一 等比数列通项公式的基本量的求解
例1 在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n；
解 (1)因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.
(2)方法一 因为
由得q＝，从而a1＝32，又an＝1
所以32×n－1＝1，
即26－n＝20，所以n＝6.
方法二 因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.
规律方法 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.
跟踪演练1 (1)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n.
(2)在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an.
解 (1)由an＝a1·qn－1，得＝n－1，
即n－1＝3，得n＝4.
(2)因为
由得q＝或q＝2.
当q＝时，a1＝－16；
当q＝2时，a1＝1.
∴an＝－16·n－1或an＝2n－1.
要点二 等比中项的应用
例2 等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于多少？
解 由题意知a3是a1和a9的等比中项，
∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，
∴＝＝.
规律方法 由等比中项的定义可知：＝?G2＝ab?G＝±.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G2＝ab，则＝，即a，G，b成等比数列．所以a，G，b成等比数列?G2＝ab(ab≠0)．
跟踪演练2 已知a，－，b，－，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值．
解 由题意知b2＝×＝6，
∴b＝±.
当b＝时，ab＝2，解得a＝；
bc＝2＝10，解得c＝7.
同理，当b＝－时，a＝－，c＝－7.
综上所述，a，b，c的值分别为，，7或－，－，－7.
要点三 等比数列的判定
例3 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求an.
解 (1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，
a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
下面证明{an－n}是等比数列：
证明由a2＝－4，a3＝－15，可知an≠n.
＝
＝＝3(n＝1,2,3，…)．
又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，
∴an＝n－2·3n－1.
规律方法 判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：
(1)定义法：＝q(q为常数且不为零)?{an}为等比数列．
(2)等比中项法：a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)?{an}为等比数列．
(3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)?{an}为等比数列．
跟踪演练3 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式．
证明 ∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.
∴an≠1，an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.
∴an＋1＝2an，
又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.
又由an＋1＝2an知an≠0，
∴＝2，∴{an}是等比数列．
∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
要点四 由递推公式构造等比数列求通项
例4 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
(1)证明 ∵an＋Sn＝n，①
∴an≠1，且an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝，∴{an－1}是等比数列．
∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.
∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.
∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．
(2)解 由(1)可知cn＝·n－1＝－n，
∴an＝cn＋1＝1－n.
∴当n≥2时，bn＝an－an－1
＝1－n－
＝n－1－n＝n.
又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.
规律方法 (1)已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解．
(2)由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}．
跟踪演练4 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式．
解 an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝4.又a1＝1，故b1＝＝－1，
所以是首项为－，公比为4的等比数列，
所以bn＋＝－×4n－1，bn＝－－.
1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a2等于( )
A．16 B．16或－16
C．32 D．32或－32
答案 A
解析 由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，所以a2＝a1q＝16.
2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 ( )
A．4 B．8
C．6 D．32
答案 C
解析 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.
3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64 B．81 C．128 D．243
答案 A
解析 ∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.又a1＋a2＝3，∴a1＝1.故a7＝1·26＝64.
4．45和80的等比中项为________．
答案 －60或60
解析 设45和80的等比中项为G，则G2＝45×80，
∴G＝±60.
5．在等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则公比q＝________.
答案 2
解析 a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2.
1．等比数列定义的理解
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．
(2)均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒．
(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列．
2．等比中项的理解
(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列．
3．等比数列的通项公式
(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．
(2)在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．
一、基础达标
1．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 由题意，得an＝(n＋8)d，a＝a1a2k，
∴(k＋8)2d2＝9d(2k＋8)d，
∴k＝4.
2．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )
A．16 B．27 C．36 D．81
答案 B
解析 由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
3．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0 C．12 D．24
答案 A
解析 由(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－1或x＝－3.
当x＝－1时，前三项为－1,0,0不成立，舍掉．当x＝－3时，前三项为－3，－6，－12，公比为2，所以第四项为－24，选A.
4．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
答案 B
解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号．
∴ac＝b2＝9.
5．各项均为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5＝________.
答案 84
解析 由a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，得1＋q＋q2＝7，即q2＋q－6＝0，所以q＝2或q＝－3(舍去)．a3＋a4＋a5＝(a1＋a2＋a3)q2＝21×4＝84.
6．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．
答案 80,40,20,10
解析 设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.∴这4个数依次为80,40,20,10.
7．a，b，c成等比数列，试证：a2＋b2，ab＋bc，b2＋c2也成等比数列．
证明 ∵a，b，c成等比数列，
故abc≠0，且b2＝ac.
于是，a2＋b2＝a2＋ac＝a(a＋c)，
b2＋c2＝ac＋c2＝c(a＋c)，
∴(a2＋b2)(b2＋c2)＝ac(a＋c)2
＝b2(a＋c)2＝(ab＋bc)2.
故a2＋b2，ab＋bc，b2＋c2成等比数列．
二、能力提升
8．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( )
A．9 B．10 C．11 D．12
答案 C
解析 在等比数列{an}中，∵a1＝1，
∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.
∵am＝a1qm－1＝qm－1，
∴m－1＝10，∴m＝11.
9．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )
A．3 B．2 C．1 D．－2
答案 B
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.
10．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是________．
答案
解析 ∵－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，
则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1，
∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，
∴b＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2.
若设公比为q，则b2＝(－1)q2，∴b2<0.
∴b2＝－2，∴＝＝.
11．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．
解 设前三个数分别为a－d，a，a＋d，则有
(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16.
设后三个数分别为，b，bq，则有
·b·bq＝b3＝8 000，即b＝20，
∴这四个数分别为m,16,20，n，
∴m＝2×16－20＝12，n＝＝25.
即所求的四个数分别为12,16,20,25.
12．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．
解 设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝.解得q1＝，q2＝3.
当q＝时，a1＝18，∴an＝18×()n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
综上，当q＝时，an＝2×33－n；当q＝3时，an＝2×3n－3.
三、探究与创新
13．已知{an}为等比数列，且a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.
解 方法一
∵
∴q＝，又∵a3＋a6＝a3(1＋q3)＝36，
∴a3＝32.
∵an＝a3·qn－3＝32·()n－3＝28－n＝＝2－1，
∴8－n＝－1，即n＝9.
方法二 ∵a4＋a7＝a1·q3(1＋q3)＝18，
且a3＋a6＝a1·q2·(1＋q3)＝36，
∴q＝，a1＝128.
又∵an＝a1·qn－1＝27·()n－1＝28－n＝＝2－1
∴8－n＝－1，即n＝9.
[学习目标] 1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．
[知识链接]
下列判断正确的是________．
(1)从第2项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列
(2)从第2项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列
(3)等差数列的公差d可正可负，且可以为零
(4)在等差数列中，an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)
答案 (1)(3)(4)
[预习导引]
1．等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．等比中项的概念
如果a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
3．等比数列的通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，该等比数列的通项公式为an＝a1qn－1.
要点一 等比数列通项公式的基本量的求解
例1 在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n；
解 (1)因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.
(2)方法一 因为
由得q＝，从而a1＝32，又an＝1
所以32×n－1＝1，
即26－n＝20，所以n＝6.
方法二 因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.
规律方法 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.
跟踪演练1 (1)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n.
(2)在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an.
解 (1)由an＝a1·qn－1，得＝n－1，
即n－1＝3，得n＝4.
(2)因为
由得q＝或q＝2.
当q＝时，a1＝－16；
当q＝2时，a1＝1.
∴an＝－16·n－1或an＝2n－1.
要点二 等比中项的应用
例2 等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于多少？
解 由题意知a3是a1和a9的等比中项，
∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，
∴＝＝.
规律方法 由等比中项的定义可知：＝?G2＝ab?G＝±.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G2＝ab，则＝，即a，G，b成等比数列．所以a，G，b成等比数列?G2＝ab(ab≠0)．
跟踪演练2 已知a，－，b，－，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值．
解 由题意知b2＝×＝6，
∴b＝±.
当b＝时，ab＝2，解得a＝；
bc＝2＝10，解得c＝7.
同理，当b＝－时，a＝－，c＝－7.
综上所述，a，b，c的值分别为，，7或－，－，－7.
要点三 等比数列的判定
例3 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求an.
解 (1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，
a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
下面证明{an－n}是等比数列：
证明由a2＝－4，a3＝－15，可知an≠n.
＝
＝＝3(n＝1,2,3，…)．
又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，
∴an＝n－2·3n－1.
规律方法 判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：
(1)定义法：＝q(q为常数且不为零)?{an}为等比数列．
(2)等比中项法：a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)?{an}为等比数列．
(3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)?{an}为等比数列．
跟踪演练3 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式．
证明 ∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.
∴an≠1，an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.
∴an＋1＝2an，
又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.
又由an＋1＝2an知an≠0，
∴＝2，∴{an}是等比数列．
∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
要点四 由递推公式构造等比数列求通项
例4 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
(1)证明 ∵an＋Sn＝n，①
∴an≠1，且an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝，∴{an－1}是等比数列．
∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.
∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.
∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．
(2)解 由(1)可知cn＝·n－1＝－n，
∴an＝cn＋1＝1－n.
∴当n≥2时，bn＝an－an－1
＝1－n－
＝n－1－n＝n.
又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.
规律方法 (1)已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解．
(2)由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}．
跟踪演练4 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式．
解 an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝4.又a1＝1，故b1＝＝－1，
所以是首项为－，公比为4的等比数列，
所以bn＋＝－×4n－1，bn＝－－.
1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a2等于( )
A．16 B．16或－16
C．32 D．32或－32
答案 A
解析 由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，所以a2＝a1q＝16.
2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 ( )
A．4 B．8
C．6 D．32
答案 C
解析 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.
3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64 B．81 C．128 D．243
答案 A
解析 ∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.又a1＋a2＝3，∴a1＝1.故a7＝1·26＝64.
4．45和80的等比中项为________．
答案 －60或60
解析 设45和80的等比中项为G，则G2＝45×80，
∴G＝±60.
5．在等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则公比q＝________.
答案 2
解析 a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2.
1．等比数列定义的理解
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．
(2)均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒．
(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列．
2．等比中项的理解
(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列．
3．等比数列的通项公式
(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．
(2)在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．
一、基础达标
1．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 由题意，得an＝(n＋8)d，a＝a1a2k，
∴(k＋8)2d2＝9d(2k＋8)d，
∴k＝4.
2．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )
A．16 B．27 C．36 D．81
答案 B
解析 由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
3．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0 C．12 D．24
答案 A
解析 由(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－1或x＝－3.
当x＝－1时，前三项为－1,0,0不成立，舍掉．当x＝－3时，前三项为－3，－6，－12，公比为2，所以第四项为－24，选A.
4．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
答案 B
解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号．
∴ac＝b2＝9.
5．各项均为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5＝________.
答案 84
解析 由a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，得1＋q＋q2＝7，即q2＋q－6＝0，所以q＝2或q＝－3(舍去)．a3＋a4＋a5＝(a1＋a2＋a3)q2＝21×4＝84.
6．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．
答案 80,40,20,10
解析 设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.∴这4个数依次为80,40,20,10.
7．a，b，c成等比数列，试证：a2＋b2，ab＋bc，b2＋c2也成等比数列．
证明 ∵a，b，c成等比数列，
故abc≠0，且b2＝ac.
于是，a2＋b2＝a2＋ac＝a(a＋c)，
b2＋c2＝ac＋c2＝c(a＋c)，
∴(a2＋b2)(b2＋c2)＝ac(a＋c)2
＝b2(a＋c)2＝(ab＋bc)2.
故a2＋b2，ab＋bc，b2＋c2成等比数列．
二、能力提升
8．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( )
A．9 B．10 C．11 D．12
答案 C
解析 在等比数列{an}中，∵a1＝1，
∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.
∵am＝a1qm－1＝qm－1，
∴m－1＝10，∴m＝11.
9．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )
A．3 B．2 C．1 D．－2
答案 B
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.
10．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是________．
答案
解析 ∵－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，
则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1，
∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，
∴b＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2.
若设公比为q，则b2＝(－1)q2，∴b2<0.
∴b2＝－2，∴＝＝.
11．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．
解 设前三个数分别为a－d，a，a＋d，则有
(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16.
设后三个数分别为，b，bq，则有
·b·bq＝b3＝8 000，即b＝20，
∴这四个数分别为m,16,20，n，
∴m＝2×16－20＝12，n＝＝25.
即所求的四个数分别为12,16,20,25.
12．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．
解 设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝.解得q1＝，q2＝3.
当q＝时，a1＝18，∴an＝18×()n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
综上，当q＝时，an＝2×33－n；当q＝3时，an＝2×3n－3.
三、探究与创新
13．已知{an}为等比数列，且a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.
解 方法一
∵
∴q＝，又∵a3＋a6＝a3(1＋q3)＝36，
∴a3＝32.
∵an＝a3·qn－3＝32·()n－3＝28－n＝＝2－1，
∴8－n＝－1，即n＝9.
方法二 ∵a4＋a7＝a1·q3(1＋q3)＝18，
且a3＋a6＝a1·q2·(1＋q3)＝36，
∴q＝，a1＝128.
又∵an＝a1·qn－1＝27·()n－1＝28－n＝＝2－1
∴8－n＝－1，即n＝9.