9.3 等比数列(2)学案
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9.3 等比数列(二)
[学习目标] 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断是否成等比数列的方法．
[知识链接]
在等差数列{an}中，通项公式可推广为am＝an＋(m－n)d，并且若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.那么，在等比数列中又有哪些类似的性质？
[预习导引]
1．等比数列的第二通项公式
等比数列的通项公式为：an＝a1qn－1，
推广形式为：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
2．等比数列的性质
(1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al，
(2)如果m＋n＝2k时，am·an＝a.
(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列．
(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．
(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….
要点一 等比数列性质的应用
例1 已知数列{an}为等比数列．
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；
(2)若前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
解 (1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，∴a＋2a3a5＋a＝36，
∴(a3＋a5)2＝36，又an>0，∴a3＋a5＝6.
(2)设该等比数列的公比为q，首项为a1，
∵a2－a5＝42，∴q≠1.
由已知，得
∴
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)．
由②除以①，得q(1－q)＝，
∴q＝.∴a1＝＝96.
若G是a5，a7的等比中项，
则应有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×()10＝9.
∴a5，a7的等比中项是±3.
规律方法 在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．
跟踪演练1 在等比数列{an}中，a6·a15＋a9·a12＝30，则前20项的积等于________．
答案 1510
解析 ∵数列{an}成等比数列，∴a6·a15＝a9·a12＝15，
∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10＝1510.
要点二 灵活设项求解等比数列
例2 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
解 方法一 设四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得
解得或
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
方法二 设四个数依次为－a，，a，aq(a≠0，q≠0)，
由条件得解得或
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝3，q＝时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
规律方法 合理地设出所求数中的三个，根据题意得出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.
跟踪演练2 三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则新的三个数成等差数列，求这三个数．
解 设三个数依次为，a，aq，
∵·a·aq＝512，∴a＝8.
∵＋(aq－2)＝2a，
∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，
∴这三个数为4,8,16或16,8,4.
要点三 等比数列的实际应用
例3 某市2010年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
解 (1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知，{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，
则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n；
令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，
解得n≤－19或n≥10，而n是正整数．
∴n≥10.
故到2019年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．
(2)设新建住房面积构成数列{bn}，
由题意可知，{bn}是等比数列，
其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1，
由题意可知an>0.85bn，
即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85满足上述不等式的最小正整数n＝6.
故到2015年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
规律方法 本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列．在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算．不要在运算中出现问题．
跟踪演练3 始于2007年初的美国金融危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此拖累，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出7月到9月平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?
解 设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了等比数列{an}，记：a1＝147(7月份价格)，
则8月份价格：a2＝a1(1－x)＝147(1－x)；
9月份价格：a3＝a2(1－x)＝147(1－x)2.
∴147(1－x)2＝97，解得x≈18.8%.
∴an＝147·(1－18.8%)n－1，
又∵a7>34，a8<34，
所以从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶．
要点四 等差数列与等比数列的综合应用
例4 设数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{bn}满足bn＝(m∈N*)．
(1)若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；
(2)是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4，bt(t∈N*，t≥5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由．
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝1；符合上式．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(1)由bn＝(m∈N*)知
b1＝，b2＝，b8＝，
∴b1，b2，b8成等比数列，
∴2＝×，
解之得：m＝9或m＝0(舍去)．
故m＝9.
(2)若存在m，使b1，b4，bt成等差数列，
则2b4＝b1＋bt，
∴×2＝＋，
∴t＝＝＝7＋，
由于m、t∈N*且t≥5.
令m－5＝36,18,12,9,6,4,3,2,1，
即m＝41,23,17,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数．
∴存在符合题意的m值，且共有9个数．
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．(2)方程思想的应用往往是解题的关键．
跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．
(1)求通项an及Sn；
(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式．
解 (1)因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
即an＝－2n＋21；
Sn＝19n＋×(－2)＝－n2＋20n，
即Sn＝－n2＋20n.
(2)因为{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以bn－an＝3n－1，
即bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21.
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为( )
A．2 B．3 C．4 D. 8
答案 A
解析 由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.
2．在等比数列{an }中，an>0，且a1·a10＝27，log3a2＋log3a9等于( )
A．9 B．6 C．3 D．2
答案 C
解析 因为a2a9＝a1a10＝27，log3a2＋log3a9＝log327＝3.
3．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
答案 8
解析 设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.
4．已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是否是等比数列？
解 不是等比数列．
∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，
∴a1a3≠a，
∴数列{an}不是等比数列．
1．判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：
(1)定义法；(2)等比中项法； (3)通项公式法．
2．等比数列的单调性
(1)当q>1，a1>0或0(2)当q>1，a1<0或00时，等比数列{an}是递减数列．
(3)当q＝1时，等比数列{an}是常数列．
(4)当q<0时，等比数列{an}是摆动数列．
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．
一、基础达标
1．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( )
A．4 B. 8
C. 16 D. 32
答案 C
解析 由于a＝a2·a6，所以a2·a6＝16.
2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为( )
A．100 B．－100
C．10 000 D．－10 000
答案 C
解析 ∵lg(a3a8a13)＝lg a＝6，
∴a＝106?a8＝102＝100.
又a1a15＝a＝10 000.
3．在正项等比数列{an}中，an＋1A. B. C. D.
答案 D
解析 设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1由a2·a8＝6，得a＝6.
∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.
解得q＝，∴＝＝2＝.
4．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为( )
A. B．3 C．± D．±3
答案 B
解析 设等差数列为{an}，公差为d，d≠0.
则a＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
化简得d2＝－2a1d，∵d≠0，∴d＝－2a1，
∴a2＝－a1，a3＝－3a1，∴q＝＝3.
5．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
答案 18
解析 由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.
6．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
答案 －6
解析 由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.
∵a1，a3，a4成等比数列，
∴a＝a1a4，∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，
解得a1＝－8，∴a2＝－6.
7．已知数列{an}成等比数列．
(1)若a2＝4，a5＝－，求数列{an}的通项公式；
(2)若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
解 (1)由a5＝a2q3，得－＝4·q3，
所以q＝－.an＝a2qn－2＝4n－2.
(2)由a3a5＝a，得a3a4a5＝a＝8.解得a4＝2.
又因为a2a6＝a3a5＝a，所以a2a3a4a5a6＝a＝25＝32.
二、能力提升
8．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )
A．5 B．7
C．6 D．4
答案 A
解析 ∵a1a2a3＝a＝5，∴a2＝，
又∵a7a8a9＝a＝10，∴a8＝，
∴a＝a2a8＝，
∵数列{an}各项均为正数，
∴a5＝50，
∴a4a5a6＝a＝(50)3＝5.
9．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于( )
A．1＋ B．1－ C．3＋2 D．3－2
答案 C
解析 设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3,2a2成等差数列，
∴a3＝a1＋2a2，
∴a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2－2q－1＝0，
∴q＝1±.
∵an>0，∴q>0，q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
10．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.
答案 8
解析 由等比数列的性质得a3a11＝a，
∴a＝4a7.∵a7≠0，∴a7＝4.
∴b7＝a7＝4.
再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8.
11．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．
解 设{an}的公差为d.由S3＝a，得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.
由S1，S2，S4成等比数列，得S＝S1S4.又S1＝a2－d，
S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，
故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．
若a2＝0，则d2＝－2d2，
所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；
若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，
解得d＝0或d＝2.
因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.
12．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
解 ∵a1a5＝a，a3a7＝a，
∴由条件，得a－2a3a5＋a＝36，
同理得a＋2a3a5＋a＝100，
∴即
解得或
分别解得或
∴an＝×2n－1＝2n－2或an＝32×()n－1＝26－n.
三、探究与创新
13．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．
解 设这3个数分别为，a，aq，则a3＝－8，即a＝－2.
(1)若－2为－和－2q的等差中项，则＋2q＝4，
∴q2－2q＋1＝0，解得q＝1，与已知矛盾，舍去；
(2)若－2q为－和－2的等差中项，则＋1＝2q，
∴2q2－q－1＝0，解得q＝－或q＝1(与已知矛盾，舍去)，
∴此时这3个数为4，－2,1；
(3)若－为－2q与－2的等差中项，则q＋1＝，
∴q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(与已知矛盾，舍去)，
∴此时这3个数为1，－2,4.
综上，这3个数为－2,1,4，
故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.
[学习目标] 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断是否成等比数列的方法．
[知识链接]
在等差数列{an}中，通项公式可推广为am＝an＋(m－n)d，并且若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.那么，在等比数列中又有哪些类似的性质？
[预习导引]
1．等比数列的第二通项公式
等比数列的通项公式为：an＝a1qn－1，
推广形式为：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
2．等比数列的性质
(1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al，
(2)如果m＋n＝2k时，am·an＝a.
(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列．
(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．
(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….
要点一 等比数列性质的应用
例1 已知数列{an}为等比数列．
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；
(2)若前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
解 (1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，∴a＋2a3a5＋a＝36，
∴(a3＋a5)2＝36，又an>0，∴a3＋a5＝6.
(2)设该等比数列的公比为q，首项为a1，
∵a2－a5＝42，∴q≠1.
由已知，得
∴
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)．
由②除以①，得q(1－q)＝，
∴q＝.∴a1＝＝96.
若G是a5，a7的等比中项，
则应有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×()10＝9.
∴a5，a7的等比中项是±3.
规律方法 在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．
跟踪演练1 在等比数列{an}中，a6·a15＋a9·a12＝30，则前20项的积等于________．
答案 1510
解析 ∵数列{an}成等比数列，∴a6·a15＝a9·a12＝15，
∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10＝1510.
要点二 灵活设项求解等比数列
例2 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
解 方法一 设四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得
解得或
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
方法二 设四个数依次为－a，，a，aq(a≠0，q≠0)，
由条件得解得或
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝3，q＝时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
规律方法 合理地设出所求数中的三个，根据题意得出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.
跟踪演练2 三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则新的三个数成等差数列，求这三个数．
解 设三个数依次为，a，aq，
∵·a·aq＝512，∴a＝8.
∵＋(aq－2)＝2a，
∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，
∴这三个数为4,8,16或16,8,4.
要点三 等比数列的实际应用
例3 某市2010年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
解 (1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知，{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，
则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n；
令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，
解得n≤－19或n≥10，而n是正整数．
∴n≥10.
故到2019年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．
(2)设新建住房面积构成数列{bn}，
由题意可知，{bn}是等比数列，
其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1，
由题意可知an>0.85bn，
即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85满足上述不等式的最小正整数n＝6.
故到2015年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
规律方法 本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列．在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算．不要在运算中出现问题．
跟踪演练3 始于2007年初的美国金融危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此拖累，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出7月到9月平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?
解 设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了等比数列{an}，记：a1＝147(7月份价格)，
则8月份价格：a2＝a1(1－x)＝147(1－x)；
9月份价格：a3＝a2(1－x)＝147(1－x)2.
∴147(1－x)2＝97，解得x≈18.8%.
∴an＝147·(1－18.8%)n－1，
又∵a7>34，a8<34，
所以从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶．
要点四 等差数列与等比数列的综合应用
例4 设数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{bn}满足bn＝(m∈N*)．
(1)若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；
(2)是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4，bt(t∈N*，t≥5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由．
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝1；符合上式．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(1)由bn＝(m∈N*)知
b1＝，b2＝，b8＝，
∴b1，b2，b8成等比数列，
∴2＝×，
解之得：m＝9或m＝0(舍去)．
故m＝9.
(2)若存在m，使b1，b4，bt成等差数列，
则2b4＝b1＋bt，
∴×2＝＋，
∴t＝＝＝7＋，
由于m、t∈N*且t≥5.
令m－5＝36,18,12,9,6,4,3,2,1，
即m＝41,23,17,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数．
∴存在符合题意的m值，且共有9个数．
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．(2)方程思想的应用往往是解题的关键．
跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．
(1)求通项an及Sn；
(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式．
解 (1)因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
即an＝－2n＋21；
Sn＝19n＋×(－2)＝－n2＋20n，
即Sn＝－n2＋20n.
(2)因为{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以bn－an＝3n－1，
即bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21.
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为( )
A．2 B．3 C．4 D. 8
答案 A
解析 由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.
2．在等比数列{an }中，an>0，且a1·a10＝27，log3a2＋log3a9等于( )
A．9 B．6 C．3 D．2
答案 C
解析 因为a2a9＝a1a10＝27，log3a2＋log3a9＝log327＝3.
3．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
答案 8
解析 设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.
4．已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是否是等比数列？
解 不是等比数列．
∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，
∴a1a3≠a，
∴数列{an}不是等比数列．
1．判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：
(1)定义法；(2)等比中项法； (3)通项公式法．
2．等比数列的单调性
(1)当q>1，a1>0或0
(3)当q＝1时，等比数列{an}是常数列．
(4)当q<0时，等比数列{an}是摆动数列．
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．
一、基础达标
1．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( )
A．4 B. 8
C. 16 D. 32
答案 C
解析 由于a＝a2·a6，所以a2·a6＝16.
2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为( )
A．100 B．－100
C．10 000 D．－10 000
答案 C
解析 ∵lg(a3a8a13)＝lg a＝6，
∴a＝106?a8＝102＝100.
又a1a15＝a＝10 000.
3．在正项等比数列{an}中，an＋1
答案 D
解析 设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1
∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.
解得q＝，∴＝＝2＝.
4．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为( )
A. B．3 C．± D．±3
答案 B
解析 设等差数列为{an}，公差为d，d≠0.
则a＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
化简得d2＝－2a1d，∵d≠0，∴d＝－2a1，
∴a2＝－a1，a3＝－3a1，∴q＝＝3.
5．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
答案 18
解析 由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.
6．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
答案 －6
解析 由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.
∵a1，a3，a4成等比数列，
∴a＝a1a4，∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，
解得a1＝－8，∴a2＝－6.
7．已知数列{an}成等比数列．
(1)若a2＝4，a5＝－，求数列{an}的通项公式；
(2)若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
解 (1)由a5＝a2q3，得－＝4·q3，
所以q＝－.an＝a2qn－2＝4n－2.
(2)由a3a5＝a，得a3a4a5＝a＝8.解得a4＝2.
又因为a2a6＝a3a5＝a，所以a2a3a4a5a6＝a＝25＝32.
二、能力提升
8．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )
A．5 B．7
C．6 D．4
答案 A
解析 ∵a1a2a3＝a＝5，∴a2＝，
又∵a7a8a9＝a＝10，∴a8＝，
∴a＝a2a8＝，
∵数列{an}各项均为正数，
∴a5＝50，
∴a4a5a6＝a＝(50)3＝5.
9．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于( )
A．1＋ B．1－ C．3＋2 D．3－2
答案 C
解析 设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3,2a2成等差数列，
∴a3＝a1＋2a2，
∴a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2－2q－1＝0，
∴q＝1±.
∵an>0，∴q>0，q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
10．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.
答案 8
解析 由等比数列的性质得a3a11＝a，
∴a＝4a7.∵a7≠0，∴a7＝4.
∴b7＝a7＝4.
再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8.
11．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．
解 设{an}的公差为d.由S3＝a，得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.
由S1，S2，S4成等比数列，得S＝S1S4.又S1＝a2－d，
S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，
故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．
若a2＝0，则d2＝－2d2，
所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；
若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，
解得d＝0或d＝2.
因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.
12．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
解 ∵a1a5＝a，a3a7＝a，
∴由条件，得a－2a3a5＋a＝36，
同理得a＋2a3a5＋a＝100，
∴即
解得或
分别解得或
∴an＝×2n－1＝2n－2或an＝32×()n－1＝26－n.
三、探究与创新
13．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．
解 设这3个数分别为，a，aq，则a3＝－8，即a＝－2.
(1)若－2为－和－2q的等差中项，则＋2q＝4，
∴q2－2q＋1＝0，解得q＝1，与已知矛盾，舍去；
(2)若－2q为－和－2的等差中项，则＋1＝2q，
∴2q2－q－1＝0，解得q＝－或q＝1(与已知矛盾，舍去)，
∴此时这3个数为4，－2,1；
(3)若－为－2q与－2的等差中项，则q＋1＝，
∴q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(与已知矛盾，舍去)，
∴此时这3个数为1，－2,4.
综上，这3个数为－2,1,4，
故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.