9.3 等比数列(3)学案
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9.3 等比数列(三)
[学习目标] 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
[知识链接]
1．求等差数列前n项和用的是倒序相加法，对于等比数列{an}，当q≠1，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1)＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，至此，你能用a1和q表示出Sn吗？
答 由Sn＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，得(1－q)Sn＝a1－a1qn.所以Sn＝.
2．在等比数列{an}中，若q≠1，则有＝＝＝…＝＝q.由等比性质，得＝q，
至此你能用a1和q表示出Sn吗？
答 由＝q，得＝q，于是Sn＝＝.
[预习导引]
1．等比数列前n项和公式
(1)在等比数列{an}中，若公比q＝1，则其前n项和Sn＝na1.
(2)在等比数列{an}中，若公比q≠1，则其前n项和Sn＝＝.
2．等比数列前n项和公式的变式
若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A－Aqn.其中A＝.
3．错位相减法
推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和.
要点一 等比数列前n项和公式的基本运算
例1 在等比数列{an}中，
(1)若q＝2，S4＝1，求S8；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5.
解 (1)方法一 设首项为a1，∵q＝2，S4＝1，
∴＝1，即a1＝，
∴S8＝＝＝17.
方法二 ∵S4＝＝1，且q＝2，
∴S8＝＝(1＋q4)＝S4·(1＋q4)
＝1×(1＋24)＝17.
(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得
即
∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝，即q＝，
∴a1＝8.
∴a4＝a1q3＝8×3＝1，
S5＝＝＝.
规律方法 (1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另两个量；这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
(2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
跟踪演练1 已知等比数列{an}中，a3＝4，a7＝64.
(1)求数列{an}的通项an；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
∵a3＝4，a7＝64，∴解得a1＝1，q＝±2.
当q＝2时，an＝1×2n－1＝2n－1，
当q＝－2时，an＝1×(－2)n－1＝(－2)n－1.
(2)当q＝2时，Sn＝＝2n－1；当q＝－2时，
Sn＝＝.
要点二 错位相减法求和
例2 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)．
解 分x＝1和x≠1两种情况．
当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
＝－nxn＋1.
∴Sn＝－.
综上可得Sn＝
规律方法 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．
跟踪演练2 求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和．
解 (1)当a＝0时，Sn＝1.
(2)当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，
则Sn＝＝n2.
(3)当a≠1且a≠0时，
有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1①
aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an②
①－②得Sn－aSn
＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，
(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)
＝1－(2n－1)an＋2·
＝1－(2n－1)an＋，
又1－a≠0，∴Sn＝＋.
综上，
Sn＝
要点三 等比数列前n项和公式的应用
例3 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)由已知得解得a2＝2.
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，
又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.
解得q1＝2，q2＝.由题意得q>1，∴q＝2，∴a1＝1.
故数列{an}的通项为an＝2n－1.
(2)由于bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，
由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln 23n＝3nln 2.
又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝·ln 2.
故Tn＝ln 2.
规律方法 (1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．
(2)利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解．
跟踪演练3 已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，已知1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项．
(1)求S2和S3；
(2)求此数列{an}的前n项和Sn；
(3)求数列{Sn}的前n项和．
解 (1)根据已知条件
整理得
解得3S2＝2S3＝6，即
(2)∵q≠1，则
可解得q＝－，a1＝4.
∴Sn＝＝－(－)n.
(3)由(2)得S1＋S2＋…＋Sn
＝n－×
＝n＋[1－(－)n].
1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 当x＝1时，Sn＝n；x≠1时，Sn＝.
2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于 ( )
A．2 B．4 C. D.
答案 C
解析 S4＝，a2＝a1q，
∴＝＝.
3．若一个等比数列的前4项的和为，公比为，则其首项为________．
答案 1
解析 由题知＝，
所以a1＝1.
4．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝________.
答案 31
解析 由a2·a3＝2a1，得aq3＝2a1，所以a4＝2.又因a4与2a7的等差中项为，
所以a4＋2a7＝，则有a7＝，所以q3＝＝，q＝，a1＝＝16，S5＝＝31.
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．
一、基础达标
1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 Sn＝＝.
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )
A．31 B．32 C．63 D．64
答案 C
解析 在等比数列{an}中，S2，S4－S2，S6－S4也成等比数列，
故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，
则(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63.
3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于( )
A．11 B．5 C．－8 D．－11
答案 D
解析 由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，
又a1≠0，q≠0，
∴q＝－2，则＝＝－11.
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 C
解析 设等比数列{an}的公比为q，因为S3＝a2＋10a1，a5＝9，
所以
解得所以a1＝.故选C.
5．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.
答案 2 2n＋1－2
解析 设等比数列{an}的公比为q，
因为a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，所以
解得
所以Sn＝＝＝2n＋1－2.
6．如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.
答案 2n－1
解析 由于an－an－1＝1×2n－1＝2n－1，
那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1.
7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.
解 当q＝1时，Sn＝na1，∴S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1＝S9≠2S9；
当q≠1时，＋＝2×，
得2－q3－q6＝2－2q9，∴2q9－q6－q3＝0，
解得q3＝－，或q3＝1(舍去)，∴q＝－.
二、能力提升
8．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )
A．300米 B．299米 C．199米 D．166米
答案 A
解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300(米)．
9．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于( )
A．－6(1－3－10) B.(1－3－10)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
答案 C
解析 因3an＋1＋an＝0，所以＝－，所以数列{an}是以－为公比的等比数列．
因为a2＝－，所以a1＝4，所以S10＝＝3(1－3－10)．故选C.
10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
答案
解析 由已知4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)．∴a2＝3a3，
∴{an}的公比q＝＝.
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
(1)解 由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，
∴a1＝－.又S2＝(a2－1)．即
a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－，所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
12．设数列{an}的前n项和为Sn＝2an－2n.
(1)求a1，a2；
(2)设cn＝an＋1－2an，证明数列{cn}是等比数列；
(3)求数列{}的前n项和为Tn.
解 (1)由S1＝2a1－2＝a1，得a1＝2，
又S2＝2a2－22＝a1＋a2，得a2＝6，
(2)Sn＋1＝2an＋1－2n＋1，
Sn＝2an－2n，
两式相减得an＋1－2an＝2n，即cn＝2n
＝＝2(常数)，c1＝2
所以{cn}是首项为2，公比为2的等比数列．
(3)Tn＝＋＋＋…＋
Tn＝＋＋＋…＋＋
两式相减得Tn＝＋＋＋＋…＋－
＝＋－＝－－
所以Tn＝－－＝－.
三、探究与创新
13．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
解 (1)设{an}的公差为d.由题意，a＝a1a13，
即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0.
又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.
故an＝－2n＋27.
(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．
从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.
[学习目标] 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
[知识链接]
1．求等差数列前n项和用的是倒序相加法，对于等比数列{an}，当q≠1，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1)＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，至此，你能用a1和q表示出Sn吗？
答 由Sn＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，得(1－q)Sn＝a1－a1qn.所以Sn＝.
2．在等比数列{an}中，若q≠1，则有＝＝＝…＝＝q.由等比性质，得＝q，
至此你能用a1和q表示出Sn吗？
答 由＝q，得＝q，于是Sn＝＝.
[预习导引]
1．等比数列前n项和公式
(1)在等比数列{an}中，若公比q＝1，则其前n项和Sn＝na1.
(2)在等比数列{an}中，若公比q≠1，则其前n项和Sn＝＝.
2．等比数列前n项和公式的变式
若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A－Aqn.其中A＝.
3．错位相减法
推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和.
要点一 等比数列前n项和公式的基本运算
例1 在等比数列{an}中，
(1)若q＝2，S4＝1，求S8；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5.
解 (1)方法一 设首项为a1，∵q＝2，S4＝1，
∴＝1，即a1＝，
∴S8＝＝＝17.
方法二 ∵S4＝＝1，且q＝2，
∴S8＝＝(1＋q4)＝S4·(1＋q4)
＝1×(1＋24)＝17.
(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得
即
∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝，即q＝，
∴a1＝8.
∴a4＝a1q3＝8×3＝1，
S5＝＝＝.
规律方法 (1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另两个量；这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
(2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
跟踪演练1 已知等比数列{an}中，a3＝4，a7＝64.
(1)求数列{an}的通项an；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
∵a3＝4，a7＝64，∴解得a1＝1，q＝±2.
当q＝2时，an＝1×2n－1＝2n－1，
当q＝－2时，an＝1×(－2)n－1＝(－2)n－1.
(2)当q＝2时，Sn＝＝2n－1；当q＝－2时，
Sn＝＝.
要点二 错位相减法求和
例2 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)．
解 分x＝1和x≠1两种情况．
当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
＝－nxn＋1.
∴Sn＝－.
综上可得Sn＝
规律方法 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．
跟踪演练2 求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和．
解 (1)当a＝0时，Sn＝1.
(2)当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，
则Sn＝＝n2.
(3)当a≠1且a≠0时，
有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1①
aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an②
①－②得Sn－aSn
＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，
(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)
＝1－(2n－1)an＋2·
＝1－(2n－1)an＋，
又1－a≠0，∴Sn＝＋.
综上，
Sn＝
要点三 等比数列前n项和公式的应用
例3 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)由已知得解得a2＝2.
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，
又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.
解得q1＝2，q2＝.由题意得q>1，∴q＝2，∴a1＝1.
故数列{an}的通项为an＝2n－1.
(2)由于bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，
由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln 23n＝3nln 2.
又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝·ln 2.
故Tn＝ln 2.
规律方法 (1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．
(2)利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解．
跟踪演练3 已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，已知1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项．
(1)求S2和S3；
(2)求此数列{an}的前n项和Sn；
(3)求数列{Sn}的前n项和．
解 (1)根据已知条件
整理得
解得3S2＝2S3＝6，即
(2)∵q≠1，则
可解得q＝－，a1＝4.
∴Sn＝＝－(－)n.
(3)由(2)得S1＋S2＋…＋Sn
＝n－×
＝n＋[1－(－)n].
1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 当x＝1时，Sn＝n；x≠1时，Sn＝.
2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于 ( )
A．2 B．4 C. D.
答案 C
解析 S4＝，a2＝a1q，
∴＝＝.
3．若一个等比数列的前4项的和为，公比为，则其首项为________．
答案 1
解析 由题知＝，
所以a1＝1.
4．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝________.
答案 31
解析 由a2·a3＝2a1，得aq3＝2a1，所以a4＝2.又因a4与2a7的等差中项为，
所以a4＋2a7＝，则有a7＝，所以q3＝＝，q＝，a1＝＝16，S5＝＝31.
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．
一、基础达标
1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 Sn＝＝.
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )
A．31 B．32 C．63 D．64
答案 C
解析 在等比数列{an}中，S2，S4－S2，S6－S4也成等比数列，
故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，
则(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63.
3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于( )
A．11 B．5 C．－8 D．－11
答案 D
解析 由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，
又a1≠0，q≠0，
∴q＝－2，则＝＝－11.
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 C
解析 设等比数列{an}的公比为q，因为S3＝a2＋10a1，a5＝9，
所以
解得所以a1＝.故选C.
5．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.
答案 2 2n＋1－2
解析 设等比数列{an}的公比为q，
因为a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，所以
解得
所以Sn＝＝＝2n＋1－2.
6．如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.
答案 2n－1
解析 由于an－an－1＝1×2n－1＝2n－1，
那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1.
7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.
解 当q＝1时，Sn＝na1，∴S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1＝S9≠2S9；
当q≠1时，＋＝2×，
得2－q3－q6＝2－2q9，∴2q9－q6－q3＝0，
解得q3＝－，或q3＝1(舍去)，∴q＝－.
二、能力提升
8．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )
A．300米 B．299米 C．199米 D．166米
答案 A
解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300(米)．
9．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于( )
A．－6(1－3－10) B.(1－3－10)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
答案 C
解析 因3an＋1＋an＝0，所以＝－，所以数列{an}是以－为公比的等比数列．
因为a2＝－，所以a1＝4，所以S10＝＝3(1－3－10)．故选C.
10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
答案
解析 由已知4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)．∴a2＝3a3，
∴{an}的公比q＝＝.
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
(1)解 由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，
∴a1＝－.又S2＝(a2－1)．即
a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－，所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
12．设数列{an}的前n项和为Sn＝2an－2n.
(1)求a1，a2；
(2)设cn＝an＋1－2an，证明数列{cn}是等比数列；
(3)求数列{}的前n项和为Tn.
解 (1)由S1＝2a1－2＝a1，得a1＝2，
又S2＝2a2－22＝a1＋a2，得a2＝6，
(2)Sn＋1＝2an＋1－2n＋1，
Sn＝2an－2n，
两式相减得an＋1－2an＝2n，即cn＝2n
＝＝2(常数)，c1＝2
所以{cn}是首项为2，公比为2的等比数列．
(3)Tn＝＋＋＋…＋
Tn＝＋＋＋…＋＋
两式相减得Tn＝＋＋＋＋…＋－
＝＋－＝－－
所以Tn＝－－＝－.
三、探究与创新
13．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
解 (1)设{an}的公差为d.由题意，a＝a1a13，
即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0.
又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.
故an＝－2n＋27.
(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．
从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.