9.4 分期付款问题中的有关计算学案
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9.4 分期付款问题中的有关计算
[学习目标] 1.能够建立等差数列模型解决生活中有关零存整取的问题.2.在了解储蓄及利息的计算方法的基础上能够建立等比数列模型解决储蓄中的自动转存、复利及分期付款问题．
[知识链接]
1．与日常经济生活有关的基本概念
(1)增长率＝.
(2)优惠率＝.
(3)存款利率＝.
(4)利息＝本金×存期×利率．
2．什么情况下需要建立数列模型？
答 当应用问题中的变量的取值范围是正整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来解决．例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都属于数列问题模型．
[预习导引]
1．单利和复利
用符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息的和(简称本利和)．若按单利计算，到期的本利和S＝P(1＋nr)；若按复利计算，到期的本利和S＝P(1＋r)n.
2．零存整取模型
若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，规定每次存入的钱不计复利，则到期整取时所有本金为nx元，各月利息和为x元，全部取出的本利和为nx＋x元．
3．定期自动转存模型
如果储户存入定期为1年的P元存款，定期利率为r，约定了到期定期存款自动转存的储蓄业务，则连存n年后，储户所得本利和为P(1＋r)n.
4．分期付款问题
在分期付款问题中，贷款a元，分m个月付清，月利率为r，每月付x元，货款a元m个月后本息和为a(1＋r)m；从第一个月开始每次付款x元，m个月后本息和为
期数
1
2
3
…
本息和
x(1＋r)m－1
x(1＋r)m－2
x(1＋r)m－3
…
从而有：x[(1＋r)m－1＋(1＋r)m－2＋(1＋r)m－3＋…＋(1＋r)＋1]＝a(1＋r)m，∴x＝.
要点一 等差数列模型
例1 用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年利率为10%，则第5次该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？
解 购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{an}，
则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；
a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；
a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)；
…；
an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝4－(万元)(n＝1,2，…，10)．因而数列{an}是首项为4，公差为－的等差数列．a5＝4－＝3.2(万元)．
S10＝10×4＋＝31(万元)．
31＋5＝36(万元)，因此第5次该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．
规律方法 按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚：
(1)规定多少时间内付清全部款额；
(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；
(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式．
跟踪演练1 一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min可注满水池．如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？
解 设共有n个水龙头，每个水龙头放水的分钟数从小到大依次为x1，x2，…，xn.
由已知可知x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1，
∴数列{xn}成等差数列，
每个水龙头1 min放水(这里不妨设水池的容积为1)，
∴·(x1＋x2＋…＋xn)＝1，∴＝24n，
∴x1＋xn＝48.
又∵xn＝5x1，∴6x1＝48，∴xn＝40，
故最后关闭的水龙头放水40 min.
要点二 等比数列模型
例2 借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)
解 方法一 设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，
…
a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a.
由题意，可知a6＝0，
即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0，
a＝.因为1.016＝1.061，
所以a＝≈1 739.
故每月应支付1 739元．
方法二 一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为
S1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)．
另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a
＝＝a[1.016－1]×102(元)．
由S1＝S2，得a＝.
得a≈1 739.故每月应支付1 739元．
规律方法 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．
跟踪演练2 陈老师购买工程集资房92 m2，单价为1 000元/m2，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担．房地产开发公司对教师实行分期付款(注①)，经过一年付款一次，……共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算(注②)，那么每年应付款多少元？(注③)
注 ①分期付款，各期所付的款以及到最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和．
②每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息．
③必要时参考下列数据：1.0759≈1.917,1.07510≈2.061，1.07511≈2.216.
解 设每年应付款x元，那么到最后一次付款时(即购房十年后)，第一年付款及所生利息之和为x×1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x×1.0758元，…，第九年付款及其所生利息之和为x×1.075元，第十年付款为x元，而所购房余款的现价及其利息之和为[1 000×92－(28 800＋14 400)]×1.07510＝48 800×1.07510(元)．因此有x(1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759)＝48 800×1.07510(元)，所以x＝48 800×1.07510×≈48 800×2.061×7.068×10－2≈7 109(元)．∴每年需付款7 109元．
要点三 等差、等比数列在经济生活中的综合应用
例3 某工厂为提高产品质量，扩大再生产，需要大量资金，其中征地需40万元，新建厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及干部工作培训15万元，该厂现有资金125万元，但流动资金需40万元，厂内干部30人，工人180人，干部每人投资4 000元，工人每人投资1 000元(不记利息仅在每年年底利润中分红)，尚缺少的资金，准备在今年年底向银行贷款，按年利率9 %的复利计算，若从明年底开始分5年等额分期付款，还清贷款及全部利息，求该厂每年还贷多少万元？(精确到0.1万元)
解 因为扩大生产急需的资金共有
40＋100＋60＋15＋40＝255(万元)；
已经筹集到的资金为
125＋0.4×30＋0.1×180＝155(万元)；
资金缺口为：255－155＝100(万元)．
设每次向银行还款x万元，则贷款100万元，五年一次还清本金和利息共计100(1＋9%)5万元．
第一次还款到第五年的本利和为x(1＋9%)4万元；
第二次还款到第五年的本利和为x(1＋9%)3万元；
第三次还款到第五年的本利和为x(1＋9%)2万元；
第四次还款到第五年的本利和为x(1＋9%)万元；
第五次还款(无利息)为x万元．
由题意得
x＋x(1＋9%)＋x(1＋9%)2＋x(1＋9%)3＋x(1＋9%)4＝100(1＋9%)5，
即＝100×1.095，∴x≈25.7(万元)．
跟踪演练3 据美国学者詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，2020年甚至会达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一个人一切知识，而是让一个人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年是每73天翻一番．试回答：
(1)2009年底人类知识总量是多少？
(2)2019年底人类知识总量是多少？
(3)2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是多少？
解 由于翻一番是在原来的基础上乘以2，翻两番是在原来的基础上乘以22，…，翻n番是在原来的基础上乘以2n.于是
(1)从2000年底到2009年底是每三年翻一番，共翻三番，在a的基础上，2009年底人类知识总量为23a＝8a.
(2)从2009年底到2019年底是每一年翻一番，共翻十番，所以2019年底人类知识总量为8a×210＝8 192a.
(3)2020年是每73天翻一番，而2020年按365天计算，共翻五番，所以2020年底人类知识总量为8 192a×25＝262 144a.
1．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上摆放的铅笔的总数为( )
A．7 260
B．8 000
C．7 200
D．6 000
答案 A
解析 从下向上依次放了1,2,3，…，120支铅笔，∴共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝7 260(支)．故选A.
2．某单位某年12月份产量是同年1月份产量的m倍，那么该单位此年产量的月平均增长率是( )
A. B.
C.－1 D.－1
答案 C
解析 设1月份产量为a，则12月份产量为ma，设月增长率为x，则a(1＋x)11＝ma，
∴x＝－1.
3．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2014年产生的垃圾量为a吨．由此预测，该区2019年的垃圾量为________吨．
答案 a(1＋b)5
解析 由于2014年产生的垃圾量为a吨，由题意，得2015年的垃圾量为a＋a·b＝a(1＋b)，2016年产生的垃圾量为a(1＋b)＋a(1＋b)·b＝a(1＋b)2，由此得出该区2019年的垃圾量为a(1＋b)5.
4．银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于________．
答案 [(1＋r)3－1]
解析 设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存，三年总收益为(1＋r)3－1；若按三年定期存款，三年的总收益为3q，为鼓励储户三年定期存款，应使3q>(1＋r)3－1.即q>[(1＋r)3－1]．
数列应用问题的常见模型
(1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)．例如：银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋xr)．
(2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定百分数时，该模型是等比模型，其一般形式是：×100%＝q(常数)．例如：银行储蓄复利公式y＝a(1＋r)x.产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y＝N(1＋p)x.
(3)混合模型：在一个问题中，同时涉及等差数列和等比数列的模型．
(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加，同时又以一个固定的具体量增加或减少，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．
一、基础达标
1．把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的是较少的两份之和，则最小的一份的量为( )
A．2 B．13
C．24 D．35
答案 A
解析 设公差为d(d>0)，则5份分别为24－2d,24－d,24,24＋d,24＋2d，
则7(24－2d＋24－d)＝24＋(24＋d)＋(24＋2d)，解得d＝11，最小的一份为24－2×11＝2.
2．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )
A．5月、6月 B．6月、7月
C．7月、8月 D．8月、9月
答案 C
解析 n个月累积的需求量为Sn，∴第n个月的需求量为an＝Sn－Sn－1
＝(21n－n2－5)－[21(n－1)－(n－1)2－5]
＝(－n2＋15n－9)．
an>1.5，即满足条件，∴(－n2＋15n－9)>1.5,6∴n＝7或n＝8.(可直接代入各个选项进行验证得出答案)
3．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有的蜜蜂数为( )
A．46 656 B．46 006 C. 7 776 D．58 765
答案 A
解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a1＝6(只)，q＝6只，∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a6＝66＝46 656(只)．
4．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间为( )
A．14秒 B. 15秒 C．13秒 D．10秒
答案 B
解析 设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列．由求和公式得na1＋＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15.
5．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
A．6秒钟 B．7秒钟
C．8秒钟 D．9秒钟
答案 B
解析 设至少需n秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，
∴2n－1≥100，∴n≥7.
6.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.
答案
解析 根据题意易得a1＝2，a2＝，a3＝1，
∴{an}构成以a1＝2，q＝的等比数列，
∴a7＝a1q6＝2×()6＝.
7．某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2012年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2022年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？
解 从2012年年初到2013年年初有存款b1＝a(1＋p)元，设第n年年初本息有bn元，第n＋1年年初有bn＋1元，则有bn＋1＝(bn＋a)(1＋p)．将之变形为
bn＋1＋＝(1＋p)[bn＋]，
其中b1＋＝.
∴{bn＋}是以为首项，(1＋p)为公比的等比数列，于是bn＝[(1＋p)n＋1－(1＋p)]．即这个家庭到2022年年初本利可达[(1＋p)11－(1＋p)]元．
二、能力提升
8．夏季高山上气温从山脚起每升高100 m就会降低0.7 ℃，已知山顶气温为14.1 ℃，山脚气温是26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是( )
A．1 500 m B．1 600 m C．1 700 m D．1 800 m
答案 C
解析 由题意知气温值的变化构成了以26 ℃为首项，公差为－0.7 ℃的等差数列，记此数列为{an}，a1＝26 ℃，d＝－0.7 ℃，令14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)，解得n＝18，∴此山相对于山脚的高度为100×(18－1)＝1 700(m)．
9．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个死去1个……按照此规律，6小时后细胞存活数是( )
A．33 B．64 C．65 D．127
答案 C
解析 由an＝2an－1－1＝2(2an－2－1)－1＝…＝2na0－(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝2n＋1－2n＋1，a6＝27－26＋1＝65.
10．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还________万元．
答案
解析 设每年偿还x万元，第一年的年末偿还x万元后剩余的贷款为a(1＋y)－x，第二年的年末偿还x万元后剩余的贷款为[a(1＋y)－x](1＋y)－x＝a(1＋y)2－x(1＋y)－x，第五年的年末偿还x万元后剩余的贷款为a(1＋y)5－x(1＋y)4－x(1＋y)3－…－x，由于第5年还清，所以x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，∴x＝.
11．某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
解 因购房时先付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款数额顺次构成数列{an}．
∴a1＝50＋1 000×1%＝60，a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，
a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，
∴an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－(n－1) (1≤n≤20，n∈N*)．
∴{an}是以60为首项，以－为公差的等差数列，
∴a10＝60－9×＝55.5，a20＝60－19×＝50.5，
∴S20＝(a1＋a20)×20＝10(60＋50.5)＝1 105.
∴实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．
所以第10个月应付55.5万元，实际共付1 255万元．
12．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．
(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式．
(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15＝1.6)
解 (1)第一年末的住房面积为a· －b＝(1.1a－b)(m2)．
第二年末的住房面积为(a·－b)·－b＝a·()2－b(1＋)＝(1.21a－2.1b)(m2)．
(2)第三年末的住房面积为[a·()2－b(1＋)]·－b＝a·()3－b[1＋＋()2]，
第四年末的住房面积为a·()4－b[1＋＋()2＋()3]，
第五年末的住房面积为a·()5－b·[1＋＋()2＋()3＋()4]
＝1.15a－b＝1.6a－6b.
依题意可知1.6a－6b＝1.3a，解得b＝，
所以每年拆除的旧住房面积为 m2.
三、探究与创新
13．某林场去年年底森林中木材存量为3 300万立方米，从今年起每年以25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为b，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，每年冬季木材的砍伐量不能超过多少？(取lg 2＝0.3)
解 设a1，a2，…，a20表示从今年开始的各年年末木材存量，且a0＝3 300，
则an＝an－1(1＋25%)－b.
∴an＝an－1－b，an－4b＝(an－1－4b)，
即数列{an－4b}是等比数列，公比q＝.
∴a20－4b＝(a0－4b)·()20.
令t＝()20，
则lg t＝20lg ＝20(1－3×0.3)＝2.
∴t＝100，于是a20－4b＝100(a0－4b)，
∴a20＝100a0－396b，
由a20≥4a0，得100a0－396b≥4a0，b≤a0＝800.
故每年冬季木材的砍伐量不能超过800万立方米．
[学习目标] 1.能够建立等差数列模型解决生活中有关零存整取的问题.2.在了解储蓄及利息的计算方法的基础上能够建立等比数列模型解决储蓄中的自动转存、复利及分期付款问题．
[知识链接]
1．与日常经济生活有关的基本概念
(1)增长率＝.
(2)优惠率＝.
(3)存款利率＝.
(4)利息＝本金×存期×利率．
2．什么情况下需要建立数列模型？
答 当应用问题中的变量的取值范围是正整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来解决．例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都属于数列问题模型．
[预习导引]
1．单利和复利
用符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息的和(简称本利和)．若按单利计算，到期的本利和S＝P(1＋nr)；若按复利计算，到期的本利和S＝P(1＋r)n.
2．零存整取模型
若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，规定每次存入的钱不计复利，则到期整取时所有本金为nx元，各月利息和为x元，全部取出的本利和为nx＋x元．
3．定期自动转存模型
如果储户存入定期为1年的P元存款，定期利率为r，约定了到期定期存款自动转存的储蓄业务，则连存n年后，储户所得本利和为P(1＋r)n.
4．分期付款问题
在分期付款问题中，贷款a元，分m个月付清，月利率为r，每月付x元，货款a元m个月后本息和为a(1＋r)m；从第一个月开始每次付款x元，m个月后本息和为
期数
1
2
3
…
本息和
x(1＋r)m－1
x(1＋r)m－2
x(1＋r)m－3
…
从而有：x[(1＋r)m－1＋(1＋r)m－2＋(1＋r)m－3＋…＋(1＋r)＋1]＝a(1＋r)m，∴x＝.
要点一 等差数列模型
例1 用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年利率为10%，则第5次该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？
解 购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{an}，
则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；
a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；
a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)；
…；
an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝4－(万元)(n＝1,2，…，10)．因而数列{an}是首项为4，公差为－的等差数列．a5＝4－＝3.2(万元)．
S10＝10×4＋＝31(万元)．
31＋5＝36(万元)，因此第5次该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．
规律方法 按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚：
(1)规定多少时间内付清全部款额；
(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；
(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式．
跟踪演练1 一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min可注满水池．如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？
解 设共有n个水龙头，每个水龙头放水的分钟数从小到大依次为x1，x2，…，xn.
由已知可知x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1，
∴数列{xn}成等差数列，
每个水龙头1 min放水(这里不妨设水池的容积为1)，
∴·(x1＋x2＋…＋xn)＝1，∴＝24n，
∴x1＋xn＝48.
又∵xn＝5x1，∴6x1＝48，∴xn＝40，
故最后关闭的水龙头放水40 min.
要点二 等比数列模型
例2 借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)
解 方法一 设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，
…
a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a.
由题意，可知a6＝0，
即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0，
a＝.因为1.016＝1.061，
所以a＝≈1 739.
故每月应支付1 739元．
方法二 一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为
S1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)．
另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a
＝＝a[1.016－1]×102(元)．
由S1＝S2，得a＝.
得a≈1 739.故每月应支付1 739元．
规律方法 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．
跟踪演练2 陈老师购买工程集资房92 m2，单价为1 000元/m2，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担．房地产开发公司对教师实行分期付款(注①)，经过一年付款一次，……共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算(注②)，那么每年应付款多少元？(注③)
注 ①分期付款，各期所付的款以及到最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和．
②每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息．
③必要时参考下列数据：1.0759≈1.917,1.07510≈2.061，1.07511≈2.216.
解 设每年应付款x元，那么到最后一次付款时(即购房十年后)，第一年付款及所生利息之和为x×1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x×1.0758元，…，第九年付款及其所生利息之和为x×1.075元，第十年付款为x元，而所购房余款的现价及其利息之和为[1 000×92－(28 800＋14 400)]×1.07510＝48 800×1.07510(元)．因此有x(1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759)＝48 800×1.07510(元)，所以x＝48 800×1.07510×≈48 800×2.061×7.068×10－2≈7 109(元)．∴每年需付款7 109元．
要点三 等差、等比数列在经济生活中的综合应用
例3 某工厂为提高产品质量，扩大再生产，需要大量资金，其中征地需40万元，新建厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及干部工作培训15万元，该厂现有资金125万元，但流动资金需40万元，厂内干部30人，工人180人，干部每人投资4 000元，工人每人投资1 000元(不记利息仅在每年年底利润中分红)，尚缺少的资金，准备在今年年底向银行贷款，按年利率9 %的复利计算，若从明年底开始分5年等额分期付款，还清贷款及全部利息，求该厂每年还贷多少万元？(精确到0.1万元)
解 因为扩大生产急需的资金共有
40＋100＋60＋15＋40＝255(万元)；
已经筹集到的资金为
125＋0.4×30＋0.1×180＝155(万元)；
资金缺口为：255－155＝100(万元)．
设每次向银行还款x万元，则贷款100万元，五年一次还清本金和利息共计100(1＋9%)5万元．
第一次还款到第五年的本利和为x(1＋9%)4万元；
第二次还款到第五年的本利和为x(1＋9%)3万元；
第三次还款到第五年的本利和为x(1＋9%)2万元；
第四次还款到第五年的本利和为x(1＋9%)万元；
第五次还款(无利息)为x万元．
由题意得
x＋x(1＋9%)＋x(1＋9%)2＋x(1＋9%)3＋x(1＋9%)4＝100(1＋9%)5，
即＝100×1.095，∴x≈25.7(万元)．
跟踪演练3 据美国学者詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，2020年甚至会达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一个人一切知识，而是让一个人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年是每73天翻一番．试回答：
(1)2009年底人类知识总量是多少？
(2)2019年底人类知识总量是多少？
(3)2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是多少？
解 由于翻一番是在原来的基础上乘以2，翻两番是在原来的基础上乘以22，…，翻n番是在原来的基础上乘以2n.于是
(1)从2000年底到2009年底是每三年翻一番，共翻三番，在a的基础上，2009年底人类知识总量为23a＝8a.
(2)从2009年底到2019年底是每一年翻一番，共翻十番，所以2019年底人类知识总量为8a×210＝8 192a.
(3)2020年是每73天翻一番，而2020年按365天计算，共翻五番，所以2020年底人类知识总量为8 192a×25＝262 144a.
1．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上摆放的铅笔的总数为( )
A．7 260
B．8 000
C．7 200
D．6 000
答案 A
解析 从下向上依次放了1,2,3，…，120支铅笔，∴共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝7 260(支)．故选A.
2．某单位某年12月份产量是同年1月份产量的m倍，那么该单位此年产量的月平均增长率是( )
A. B.
C.－1 D.－1
答案 C
解析 设1月份产量为a，则12月份产量为ma，设月增长率为x，则a(1＋x)11＝ma，
∴x＝－1.
3．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2014年产生的垃圾量为a吨．由此预测，该区2019年的垃圾量为________吨．
答案 a(1＋b)5
解析 由于2014年产生的垃圾量为a吨，由题意，得2015年的垃圾量为a＋a·b＝a(1＋b)，2016年产生的垃圾量为a(1＋b)＋a(1＋b)·b＝a(1＋b)2，由此得出该区2019年的垃圾量为a(1＋b)5.
4．银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于________．
答案 [(1＋r)3－1]
解析 设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存，三年总收益为(1＋r)3－1；若按三年定期存款，三年的总收益为3q，为鼓励储户三年定期存款，应使3q>(1＋r)3－1.即q>[(1＋r)3－1]．
数列应用问题的常见模型
(1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)．例如：银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋xr)．
(2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定百分数时，该模型是等比模型，其一般形式是：×100%＝q(常数)．例如：银行储蓄复利公式y＝a(1＋r)x.产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y＝N(1＋p)x.
(3)混合模型：在一个问题中，同时涉及等差数列和等比数列的模型．
(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加，同时又以一个固定的具体量增加或减少，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．
一、基础达标
1．把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的是较少的两份之和，则最小的一份的量为( )
A．2 B．13
C．24 D．35
答案 A
解析 设公差为d(d>0)，则5份分别为24－2d,24－d,24,24＋d,24＋2d，
则7(24－2d＋24－d)＝24＋(24＋d)＋(24＋2d)，解得d＝11，最小的一份为24－2×11＝2.
2．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )
A．5月、6月 B．6月、7月
C．7月、8月 D．8月、9月
答案 C
解析 n个月累积的需求量为Sn，∴第n个月的需求量为an＝Sn－Sn－1
＝(21n－n2－5)－[21(n－1)－(n－1)2－5]
＝(－n2＋15n－9)．
an>1.5，即满足条件，∴(－n2＋15n－9)>1.5,6
3．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有的蜜蜂数为( )
A．46 656 B．46 006 C. 7 776 D．58 765
答案 A
解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a1＝6(只)，q＝6只，∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a6＝66＝46 656(只)．
4．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间为( )
A．14秒 B. 15秒 C．13秒 D．10秒
答案 B
解析 设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列．由求和公式得na1＋＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15.
5．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
A．6秒钟 B．7秒钟
C．8秒钟 D．9秒钟
答案 B
解析 设至少需n秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，
∴2n－1≥100，∴n≥7.
6.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.
答案
解析 根据题意易得a1＝2，a2＝，a3＝1，
∴{an}构成以a1＝2，q＝的等比数列，
∴a7＝a1q6＝2×()6＝.
7．某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2012年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2022年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？
解 从2012年年初到2013年年初有存款b1＝a(1＋p)元，设第n年年初本息有bn元，第n＋1年年初有bn＋1元，则有bn＋1＝(bn＋a)(1＋p)．将之变形为
bn＋1＋＝(1＋p)[bn＋]，
其中b1＋＝.
∴{bn＋}是以为首项，(1＋p)为公比的等比数列，于是bn＝[(1＋p)n＋1－(1＋p)]．即这个家庭到2022年年初本利可达[(1＋p)11－(1＋p)]元．
二、能力提升
8．夏季高山上气温从山脚起每升高100 m就会降低0.7 ℃，已知山顶气温为14.1 ℃，山脚气温是26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是( )
A．1 500 m B．1 600 m C．1 700 m D．1 800 m
答案 C
解析 由题意知气温值的变化构成了以26 ℃为首项，公差为－0.7 ℃的等差数列，记此数列为{an}，a1＝26 ℃，d＝－0.7 ℃，令14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)，解得n＝18，∴此山相对于山脚的高度为100×(18－1)＝1 700(m)．
9．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个死去1个……按照此规律，6小时后细胞存活数是( )
A．33 B．64 C．65 D．127
答案 C
解析 由an＝2an－1－1＝2(2an－2－1)－1＝…＝2na0－(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝2n＋1－2n＋1，a6＝27－26＋1＝65.
10．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还________万元．
答案
解析 设每年偿还x万元，第一年的年末偿还x万元后剩余的贷款为a(1＋y)－x，第二年的年末偿还x万元后剩余的贷款为[a(1＋y)－x](1＋y)－x＝a(1＋y)2－x(1＋y)－x，第五年的年末偿还x万元后剩余的贷款为a(1＋y)5－x(1＋y)4－x(1＋y)3－…－x，由于第5年还清，所以x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，∴x＝.
11．某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
解 因购房时先付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款数额顺次构成数列{an}．
∴a1＝50＋1 000×1%＝60，a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，
a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，
∴an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－(n－1) (1≤n≤20，n∈N*)．
∴{an}是以60为首项，以－为公差的等差数列，
∴a10＝60－9×＝55.5，a20＝60－19×＝50.5，
∴S20＝(a1＋a20)×20＝10(60＋50.5)＝1 105.
∴实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．
所以第10个月应付55.5万元，实际共付1 255万元．
12．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．
(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式．
(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15＝1.6)
解 (1)第一年末的住房面积为a· －b＝(1.1a－b)(m2)．
第二年末的住房面积为(a·－b)·－b＝a·()2－b(1＋)＝(1.21a－2.1b)(m2)．
(2)第三年末的住房面积为[a·()2－b(1＋)]·－b＝a·()3－b[1＋＋()2]，
第四年末的住房面积为a·()4－b[1＋＋()2＋()3]，
第五年末的住房面积为a·()5－b·[1＋＋()2＋()3＋()4]
＝1.15a－b＝1.6a－6b.
依题意可知1.6a－6b＝1.3a，解得b＝，
所以每年拆除的旧住房面积为 m2.
三、探究与创新
13．某林场去年年底森林中木材存量为3 300万立方米，从今年起每年以25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为b，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，每年冬季木材的砍伐量不能超过多少？(取lg 2＝0.3)
解 设a1，a2，…，a20表示从今年开始的各年年末木材存量，且a0＝3 300，
则an＝an－1(1＋25%)－b.
∴an＝an－1－b，an－4b＝(an－1－4b)，
即数列{an－4b}是等比数列，公比q＝.
∴a20－4b＝(a0－4b)·()20.
令t＝()20，
则lg t＝20lg ＝20(1－3×0.3)＝2.
∴t＝100，于是a20－4b＝100(a0－4b)，
∴a20＝100a0－396b，
由a20≥4a0，得100a0－396b≥4a0，b≤a0＝800.
故每年冬季木材的砍伐量不能超过800万立方米．