10.1 不等式的基本性质学案

10.1　不等式的基本性质
[学习目标]　1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
[知识链接]
下面关于不等式的几个命题正确的有________.
(1)若a>b，则a＋c>b＋c；
(2)若a>b，则ac>bc；
(3)a与b的和是非负数可表示为a＋b>0；
(4)某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”可表示为0(5)设点平面外一A与该平面的距离为d，B为该平面上的任意一点，则有0(6)任意实数a，b之间的大小关系可表示为a≥b或a答案　(1)(4)(5)(6)
解析　对于(2)，当c≤0时，不成立；对于(3)，应表示为a＋b≥0；其余命题正确.
[预习导引]
1.比较实数大小的依据
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a2.不等式的性质
(1)如果a≤b，且b≤a，那么a＝b.
(2)如果a>b，b>c，那么a>c.
(3)如果a>b，c∈R那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc.
如果a>b，c<0，那么ac(5)如果a>b，且a，b同号，那么<.
要点一　实数大小的比较
例1　(1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小.
(2)设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小.
解　(1)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，
∵x<1，∴x－1<0，
又∵2＋>0，
∴(x－1)<0，
∴x3－1<2x2－2x.
(2)∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号.
规律方法　作差法比较两个实数的大小，关键是作差后的变形.一般变形越彻底越有利于下一步的判断，变形常用的方法有：因式分解、配方、通分、对数与指数的运算、分母或分子有理化等.另外还要注意分类讨论.
跟踪演练1　已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小.
解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)
＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，
∵(a－b)2≥0，a＋b>0，∴a3＋b3≥a2b＋ab2.
要点二　不等式性质的应用
例2　已知a，b，c为实数，判断以下各命题的真假.
(1)若ac2>bc2，则a>b；
(2)若aab>b2；
(3)若a>b，>，则a>0，b<0.
解　(1)由ac2>bc2知c≠0，∴c2>0，
∴a>b，故该命题为真命题.
(2)?a2>ab；又?ab>b2，
∴a2>ab>b2，故该命题为真命题.
(3)由已知条件知a>b?a－b>0，
又>?－>0?>0，
∵a－b>0，∴b－a<0，∴ab<0.
又a>b，∴a>0，b<0，故该命题为真命题.
规律方法　判断命题的真假，应紧扣不等式的性质，同时要注意条件和结论之间的联系.利用不等式的性质进行不等式的证明时，一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在解题时要灵活、准确地加以应用.
跟踪演练2　判断下列各命题是否正确，并说明理由.
(1)若<且c>0，则a>b；
(2)若a>b>0且c>d>0，则>；
(3)若a>b，ab≠0，则<；
(4)若a>b，c>d，则ac>bd.
解　(1)?<，但推不出a>b，故(1)错.
(2)由?>>0所以>成立，故(2)对.
(3)错.例如，当a＝1，b＝－1时，不成立.
(4)错.例如，当a＝c＝1，b＝d＝－2时，不成立.
1.已知aA.4a<4b B.－4a<－4b
C.a＋4答案　B
解析　若a－4b，故B错.
2.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)
A.a>b>－b>－a B.a>－b>－a>b
C.a>－b>b>－a D.a>b>－a>－b
答案　C
解析　由a＋b>0知a>－b，b>－a，
又b<0，∴－b>0，∴a>－b>b>－a.
3.下列命题中的真命题是(　　)
A.若a>b，c>d，则ac>bd
B.若|a|>b，则a2>b2
C.若a>b，则a2>b2
D.若a>|b|，则a2>b2
答案　D
解析　当a>b>0时，有a2>b2，所以选项D正确.
4.比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小；
解　∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0.
∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4).
1.比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a2.作差法比较的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论).
最后得结论.
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.
3.不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然.
一、基础达标
1.若a>b>0，cA.> B.<
C.> D.<
答案　D
解析　令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，
则＝－1，＝－1，所以A，B错误；
＝－，＝－，所以<，
所以C错误.故选D.
2.已知a>b，c>d，且c，b不为0，那么下列不等式成立的是(　　)
A.ab>bc B.ac>bd
C.a－c>b－d D.a＋c>b＋d
答案　D
解析　∵a>b，c>d，由同向不等式可加性得a＋c>b＋d.
3.已知aA.b2－4ac>0 B.b2－4ac＝0
C.b2－4ac<0 D.不能确定b2－4ac的符号
答案　A
解析　∵a∴a<0，c>0，∴b2－4ac≥－4ac>0.
4.设m＝(x＋6)(x＋8)，n＝(x＋7)2，则(　　)
A.m>n B.m≥n
C.m答案　C
解析　∵m－n＝(x＋6)(x＋8)－(x＋7)2＝x2＋14x＋48－(x2＋14x＋49)＝－1<0，∴m5.若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________.
答案　[－1,6]
解析　∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，
∴－1≤a－b≤6.
6.b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：________.
答案　>
解析　变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了.
7.若c>a>b>0，证明>.
证明　∵a>b>0，∴－a<－b，∴c－a又∵c>a>b>0，∴>0，在c－a得>>0，又a>b>0，∴>.
二、能力提升
8.已知a，b为非零实数，且aA.a2C.< D.<
答案　C
解析　对于A，在a对于B，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b对于C，∵a0，∴<；
对于D，当a＝－1，b＝1时，＝＝－1.
9.若a>0且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，则M，N的大小关系为(　　)
A.MC.M>N D.M≥N
答案　C
解析　当a>1时，a3＋1>a2＋1，此时，y＝logax为R＋上的增函数，∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即M>N；
当0∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即M>N，
∴当a>0且a≠1时，总有M>N.
10.若x∈R，则与的大小关系为________.
答案　≤
解析　－＝＝≤0.
∴≤.
11.比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小.
解　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋.∵(x＋)2≥0，∴(x＋)2＋≥>0，
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，
即2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
12.已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围.
解　设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，
则
解得λ1＝，λ2＝－.
又－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－，
∴－≤a＋3b≤1.
三、探究与创新
13.设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x>0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小.
解　f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx，
①当或
即1②当＝1，即x＝时，logx＝0，即f(x)＝g(x)；
③当或
即0时，logx>0，即f(x)>g(x).
综上所述，当1当x＝时，f(x)＝g(x)；
当0时，f(x)>g(x).