10.2 一元二次不等式(1)学案

10.2　一元二次不等式(一)
[学习目标]　1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式的方法.3.培养利用数形结合、分类讨论的思想方法解一元二次不等式的能力.
[知识链接]
下列说法不正确的有________.
(1)方程2x2－3x－2＝0有两个不等的实根；
(2)方程x2－2x＋1＝0有一个实数根；
(3)方程x2－x＋2＝0没有实数根；
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，则y>0恒成立?
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，则y<0恒成立?
答案　(2)(5)
解析　(1)由于Δ>0，故正确；(2)由于Δ＝0，所以方程有两个相等实根，故错误；(3)由于Δ<0，故正确；(4)由于y>0，所以函数的图象在x轴上方，故正确；(5)由于y<0，所以函数的图象在x轴下方，则a<0，b2－4ac<0，故(5)错误.
[预习导引]
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
2.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异实根x1，x2
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
x|x≠－
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1?
?
3.一元二次不等式的解集
设方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)有两个不等的实数根x1，x2，且x10的解集为{x|xx2}；ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1要点一　一元二次不等式的解法
例1　求下列一元二次不等式的解集.
(1)x2－5x>6；
(2)4x2－4x＋1≤0；
(3)－x2＋7x>6.
解　(1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0.
∴x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6.
∴原不等式的解集为{x|x<－1，或x>6}.
(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，
方程(2x－1)2＝0的根为x＝.
∴4x2－4x＋1≤0的解集为.
(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，
而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6.
∴不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1规律方法　当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象.
跟踪演练1　解下列不等式
(1)2x2－x＋6>0；
(2)－x2＋3x－5>0；
(3)(5－x)(x＋1)≥0.
解　(1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，
∴函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点.
∴原不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝(－6)2－40＝－4<0，∴原不等式的解集为?.
(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}.
要点二　解含参数的一元二次不等式
例2　解关于x的不等式(a∈R) 2x2＋ax＋2>0.
解　Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
①当Δ<0，即－4②当Δ≥0，即a≤－4或a≥4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
x1＝(－a－)，x2＝(－a＋).
当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a<－4或a>4时，原不等式的解集为
{x|x<(－a－)，或x>(－a＋)}；
当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}.
规律方法　含参数不等式的解题步骤为：(1)将二次项系数化为正数；(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有两个相异实根，为了写出解集还要比较两个根的大小).另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式.
跟踪演练2　解关于x的不等式(a∈R)ax2－(a＋1)x＋1<0.
解　若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，则原不等式等价于(x－1)>0，
解得x<或x>1.
若a>0，原不等式等价于(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，解(x－1)<0得，解集为?；
②当a>1时，<1，
解(x－1)<0得③当01，
解(x－1)<0得1综上所述：当a<0，解集为；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，解集为?；
当a>1时，解集为.
要点三　“三个二次”间对应关系的应用
例3　若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|α解　∵不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|α根据一元二次方程的根与系数的关系，得
即
∵a<0，∴b>0，c<0.
由·＝，得＝－(＋).①
又由＝α·β，得＝·.②
将不等式cx2＋bx＋a<0化为x2＋x＋>0.
由①②得：，是方程x2＋x＋＝0的两个根，且>>0.
∴不等式x2＋x＋>0的解集为.
规律方法　求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，先求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.
跟踪演练3　已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为(1,2)，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集.
解　由根与系数的关系，可得即
∴不等式bx2＋ax＋1>0，就是2x2－3x＋1>0.
由于2x2－3x＋1>0，得(2x－1)(x－1)>0，
∴x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为∪(1，＋∞).
1.不等式2x2－x－1>0的解集是(　　)
A.
B.(1，＋∞)
C.(－∞，1)∪(2，＋∞)
D.∪(1，＋∞)
答案　D
解析　2x2－x－1>0，即(2x＋1)(x－1)>0，解得x<－或x>1，∴不等式的解集为∪(1，＋∞).
2.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是(　　)
A. B.
C.{x|x≥} D.{x|x≤－}
答案　B
解析　∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≤－或x≥.
3.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7A.1 B.2
C.3 D.4
答案　C
解析　由题可知－7和－1为ax2＋8ax＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝，a＝3.
4.不等式x2＋x－2<0的解集为________.
答案　(－2,1)
解析　易得方程x2＋x－2＝0的两根为－2,1，所以不等式x2＋x－2<0的解集为(－2,1).
5.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是全体实数的条件是________.
答案　
解析　利用“三个二次”关系及二次函数图象推导.
1.解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集.
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.
当m0，则可得xn；
若(x－m)(x－n)<0，则可得m2.含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：
二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：
二根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1一、基础达标
1.下面四个不等式解集为R的是(　　)
A.－x2＋x＋1≥0 B.x2－2x＋5>0
C.x2＋6x＋10>0 D.2x2－3x＋4<0
答案　C
解析　利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10>0中，Δ＝62－40<0，∴不等式x2＋6x＋10＝0的解集为R.选C.
2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为(　　)
A.{x|x<－1，或x>2} B.{x|x≤－1，或x≥2}
C.{x|－1答案　D
解析　由方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，知函数y＝ax2＋bx＋c的零点为2，－1，又∵a<0，∴函数y＝ax2＋bx＋c的图象是开口向下的抛物线，∴不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－1≤x≤2}.
3.不等式组的解集为(　　)
A.{x|－2C.{x|01}
答案　C
解析　由得
所以04.已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为(　　)
A.{x|x<－1，或x>－lg2}
B.{x|－1C.{x|x>－lg2}
D.{x|x<－lg2}
答案　D
解析　由题知，一元二次不等式f(x)>0的解集为(－1，)，即－1<10x5.不等式－1答案　{x|－3≤x<－2，或0解析　∵
∴－3≤x<－2或06.若不等式x2＋mx＋1>0的解集为R，则实数m的取值范围是________.
答案　(－2,2)
解析　由题意知，y＝x2＋mx＋1的图象在x轴的上方，所以Δ＝m2－4×1×1<0，所以－27.解x2－3|x|＋2≤0不等式.
解　x2－3|x|＋2≤0?|x|2－3|x|＋2≤0?(|x|－1)(|x|－2)≤0?1≤|x|≤2.
当x≥0时，1≤x≤2；当x<0时，－2≤x≤－1.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1，或1≤x≤2}.
二、能力提升
8.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－2,2) B.(－2,2]
C.(－∞，－2)∪[2，＋∞) D.(－∞，2)
答案　B
解析　∵mx2＋2mx－4<2x2＋4x，
∴(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0.
当m＝2时，4>0，x∈R；
当m≠2时，解集为R需有2－m>0，
且Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，解得－2综上所述，－29.设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)
A.(－3,1)∪(3，＋∞) B.(－3,1)∪(2，＋∞)
C.(－1,1)∪(3，＋∞) D.(－∞，－3)∪(1,3)
答案　A
解析　f(1)＝12－4×1＋6＝3，
当x≥0时，令x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；
当x<0时，令x＋6>3，解得－3所以f(x)>f(1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞).
10.已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________.
答案　(－∞，2]∪[4，＋∞)
解析　x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≤2或k≥4.
11.已知函数f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)>1；
(2)若函数f(x)有最大值，求实数a的值.
解　(1)当a＝2时，有2x2＋x－2>1，即2x2＋x－3>0，解得x<－或x>1，
不等式的解集为.
(2)由题意得
解得
因此a＝－2或a＝－.
12.若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集.
解　由ax2＋bx＋c≥0的解集为，
知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2，∴∴b＝－a，c＝－a.
∴不等式cx2－bx＋a<0可变形为
x2－x＋a<0，即2ax2－5ax－3a>0.
又∵a<0，∴2x2－5x－3<0，得－∴所求不等式的解集为.
三、探究与创新
13.解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.
解　(1)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}.
(2)当a>0时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)>0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2.
①当02，所以原不等式的解集为
；
②当a＝1时，＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；
③当a>1时，<2，
所以原不等式的解集为.
(3)当a<0时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)<0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2，则<2，所以原不等式的解集为.
综上所述，a<0时，原不等式解集为{x|a＝0时，原不等式解集为{x|x<2}；
0}；
a＝1时，原不等式解集为{x|x≠2}；
a>1时，原不等式的解集为{x|x<，或x>2}.