10.2 一元二次不等式(2)学案

10.2　一元二次不等式(二)
[学习目标]　1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
[知识链接]
下列各命题正确的有________.
(1) (x－1)(2－x)≤0的解集是{x|1≤x≤2}；
(2)x2<9的解集是{x|－3(3)(x－1)2≤0的解集是{1}；
(4)>0的解集是{x|x<1，或x>3}；
(5)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数的条件是a>0且Δ＝b2－4ac<0.
答案　(2)(3)(4)
解析　对于(1)，(x－1)(2－x)≤0?(x－1)(x－2)≥0，所以解集是{x|x≤1，或x≥2}故不正确；(2)(3)显然正确；对于(4)，>0?(x－1)(x－3)>0，所以解集是{x|x<1，或x>3}；对于(5)，当a＝b＝0且c>0也满足题意，故不正确.
[预习导引]
1.分式不等式的同解变形法则：
(1)>0?f(x)·g(x)>0；
(2)≤0?
(3)≥a?≥0.
2.一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即：
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立?
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：
k≥f(x)恒成立?k≥f(x)max；
k≤f(x)恒成立?k≤f(x)min.
要点一　分式不等式的解法
例1　解下列不等式.
(1)<0；
(2)≤1；
(3)<0.
解　(1)<0?(x－3)(x＋2)<0?－2∴原不等式的解集为{x|－2(2)∵≤1，∴－1≤0，
∴≤0，即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，
解得x<或x≥4.
∴原不等式的解集为.
(3)由<0得>0，
此不等式等价于(x－1)>0，
解得x<－或x>1，
∴原不等式的解集为.
规律方法　分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型>0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可.
跟踪演练1　解下列不等式.
(1)≥0；
(2)>1.
解　(1)原不等式可化为
解得∴x<－或x≥，
∴原不等式的解集为.
(2)方法一　原不等式可化为或
解得或∴－3∴原不等式的解集为.
方法二　原不等式可化为>0，化简得>0，即<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3∴原不等式的解集为.
要点二　不等式的恒成立问题
例2　设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围.
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.
解　(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，显然－1<0.
若m≠0，得?－4∴－4(2)方法一　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立.
就要使m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立.
令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3].
当m>0时，g(x)是增函数，
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，∴0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6，
∴m<0.综上所述：m<.
方法二　当x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5恒成立，
即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立.
∵x2－x＋1＝2＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.
∵函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，∴只需m<即可.
规律方法　有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有二：
(1)考虑能否进行参数分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；
(2)若参数不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次、二次函数)，并结合图象建立参数的不等式求解.
跟踪演练2　当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R?
解　①当a2－1＝0时，a＝1或－1.
若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立.
若a＝－1，则原不等式为2x－1<0，即x<，不合题意，舍去.
②当a2－1≠0时，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是解得－综上a的取值范围是.
要点三　一元二次不等式在生活中的应用
例3　某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解　(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000×(1＋0.6x)(0整理得y＝－6000x2＋2000x＋20000(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有
即
解得0所以投入成本增加的比例应在范围内.
规律方法　不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键.
跟踪演练3　在一个限速40km/h的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：
S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.
问超速行驶谁应负主要责任.
解　由题意列出不等式S甲＝0.1x＋0.01x2>12，
S乙＝0.05x＋0.005x2>10.分别求解，得
x甲<－40或x甲>30.
x乙<－50或x乙>40.
由于x>0，从而得x甲>30，x乙>40.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任.
1.不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是(　　)
A.(0,2) B.(－∞，0)
C.(2，＋∞) D.(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案　A
解析　不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得02.不等式<2的解集为(　　)
A.{x|x≠－2} B.R
C.? D.{x|x<－2，或x>2}
答案　A
解析　因x2＋x＋1＝2＋>0，所以原不等式?x2－2x－2<2x2＋2x＋2?x2＋4x＋4>0?(x＋2)2>0，
∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}.
3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0A.100台B.120台C.150台D.180台
答案　C
解析　y－25x＝－0.1x2－5x＋3000≤0，
∴x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).
4.不等式x2＋x＋k>0恒成立时，则k的取值范围为________.
答案　(，＋∞)
解析　由题意知Δ<0，即1－4k<0，
∴k>，即k∈.
5.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围.
解　当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，所以a＝2时解集为R.
当a－2≠0时，由题意得
即
解得－2综上所述可知：－21.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.若不等式含有等号时，分母不为零.
2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到下述简单结论：
(1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max；
(2)a3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.
一、基础达标
1.不等式≥2的解是(　　)
A. B.
C.∪(1,3] D.∪(1,3]
答案　D
解析　≥2??
∴x∈∪(1,3].
2.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为(　　)
A.1B.－1C.－3D.3
答案　C
解析　由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0,1]恒成立，
又f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3.
3.不等式(x－1)≥0的解集是(　　)
A.{x|x>1} B.{x|x≥1}
C.{x|x≥1，或x＝－2} D.{x|x≤－2，或x＝1}
答案　C
解析　当x＝－2时，0≥0成立.当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1.
∴不等式的解集为{x|x≥1，或x＝－2}.
4.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的值的集合是(　　)
A.{a|0C.{a|0答案　D
解析　若a＝0时符合题意.a>0时，相应二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|05.不等式ax2＋2ax－(a＋2)≥0的解集是?，则实数a的取值范围是__________.
答案　(－1,0]
解析　当a＝0时，－2≥0，解集为?；
当a≠0时，a满足条件：
解得－16.方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实根，则m的取值范围是________.
答案　(0,1]
解析　由题意
解得07.某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税.为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率.据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：
(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；
(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；
(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值.
解　税率为P%时，销售量为(80－10P)万件，
即销售额f(P)＝80(80－10P)，税金为80(80－10P)·P%，
其中0(1)由
解得2≤P≤6.
(2)∵f(P)＝80(80－10P)(2≤P≤6)为减函数，
∴当P＝2时，f(2)＝4800(万元).
即要获得最大销售金额P应为2.
(3)∵0g(P)＝80(80－10P)·P%＝－8(P－4)2＋128，
∴当P＝4时，国家所得税金最高，为128万元.
二、能力提升
8.已知集合M＝，N＝{x|x≤－3}，则集合{x|x≥1}等于(　　)
A.M∩N B.M∪N
C.?R(M∩N) D.?R(M∪N)
答案　D
解析　<0?(x＋3)(x－1)<0，故集合M可化为{x|－39.对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)
A.13
C.12
答案　B
解析　设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)>0恒成立且a∈[－1,1]???x<1或x>3.
10.不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.
答案　(2，＋∞)
解析　因ax2＋4x＋a>1－2x2，所以(a＋2)x2＋4x＋a－1>0.当a＝－2时，4x－3>0不恒成立.
当a≠－2时，由题意，得
整理得即
所以a>2.
11.已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围.
解　设f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，
m满足不等式组
解得－12.国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨.按规定，农民向国家纳税：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%).为了减轻农民负担，国家制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点，试确定x的取值范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
解　“税率降低x个百分点”，即调节后税率为(8－x)%；
“收购量能增加2x个百分点”时，总收购量为m(1＋2x%)吨，总收购款为2400m(1＋2x%)元；
“总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后，税收总收入≥2400m×8%×78%.
设税率调低后的“税收总收入”为y元，
y＝2400m(1＋2x%)(8－x)%
＝－m(x2＋42x－400)(0所以y≥2400m×8%×78%，即－44≤x≤2.
又0所以x的取值范围是0三、探究与创新
13.已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对于任意x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围.
解　(1)f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，
即2x2＋bx＋c<0的解集是(0,5)，
所以0和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，
由根与系数的关系知，－＝5，＝0，则b＝－10，c＝0，f(x)＝2x2－10x.
(2)对于任意x∈[－1,1]，f(x)＋t≤2恒成立等价于2x2－10x＋t－2≤0恒成立，
所以2x2－10x＋t－2的最大值小于或等于0.
设g(x)＝2x2－10x＋t－2，
则由二次函数的图象可知g(x)＝2x2－10x＋t－2在区间[－1,1]上为减函数，
所以g(x)max＝g(－1)＝10＋t，所以t≤－10.