10.3 基本不等式及其应用(1)学案
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10.3 基本不等式及其应用(一)
[学习目标] 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.
[知识链接]
下列说法中，正确的有________.
(1)a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2；
(2)(a±b)2≥0；
(3)a2＋b2≥(a＋b)2；
(4)(a＋b)2≥(a－b)2.
答案 (1)(2)
解析 当a，b同号时，有a2＋b2≤(a＋b)2，所以(3)错误；
当a，b异号时，有(a＋b)2≤(a－b)2，所以(4)错误.
[预习导引]
1.两个重要定理
(1)定理1：对于任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，(当且仅当a＝b时等号成立).
(2)定理2：如果a，b是正实数，那么≥(当且仅当a＝b时等号成立).
(3)定理1和定理2中的不等式通常称为基本不等式.
2.基本不等式的常用推论
(1)ab≤2≤(a，b∈R)；
(2)a2＋b2≥()2
(3)当ab>0时，＋≥2；当ab<0时，＋≤－2；
(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).
要点一 基本不等式的证明
例1 证明下列不等式，并指出“＝”成立的条件：
(1)a2＋b2≥2ab；(2)≤( a>0，b>0).
证明 (1)∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”.
(2)∵a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0.
∴a＋b≥2.∴≤，当且仅当a＝b时，取“＝”.
规律方法 a2＋b2≥2ab对a，b∈R都成立，≥成立的条件是a，b∈R＋，两个不等式“＝”成立的条件都是a＝b.
跟踪演练1 还有一种证明≤( a>0，b>0)的方法叫做分析法，下面设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把证明过程补充完整？
要证：≥(a>0，b>0)①
只要证：a＋b≥________②
要证②，只要证a＋b－________≥0③
要证③，只要证(________－________)2≥0④
显然，④是成立的，当且仅当a＝b时，④的等号成立.
答案 2 2
要点二 不等式的证明
例2 已知a，b，c都是实数.
求证：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.
证明 ∵a，b，c∈R，
∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
三式相加得2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，①
即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，②
在①式两边同时加上(a2＋b2＋c2)得
3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，
即a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2.③
在②式两边同时加上2(ab＋bc＋ca)得
(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)，
即(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.④
∴由③④可得a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.
规律方法 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
跟踪演练2 已知x，y，z都是正数.
求证：(1)＋≥2；
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
(3)(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
证明 (1)∵x，y都是正数，∴>0，>0，
∴＋≥2＝2，即＋≥2.当且仅当x＝y时，等号成立.
(2)∵x，y都是正数，
∴x＋y≥2>0，x2＋y2≥2>0，
x3＋y3≥2>0.
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3.
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.当且仅当x＝y时，等号成立.
(3)∵x，y，z都是正数，
∴x＋y≥2>0，y＋z≥2>0，z＋x≥2>0.
∴(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥2·2·2＝8xyz.
即(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.当且仅当x＝y＝z时等号成立.
要点三 含条件的不等式的证明
例3 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.
证明 ∵a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时，取等号.
规律方法 使用基本不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用基本不等式，要注意等号能否同时成立.
跟踪演练3 已知a>0，b>0，a＋b＝1，
求证：≥9.
证明 方法一 因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＋＝1＋＝2＋.同理1＋＝2＋.
所以(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋)＝5＋2(＋)≥5＋4＝9.
所以(1＋)(1＋)≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立).
方法二 (1＋)(1＋)＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，
因为a，b为正数，a＋b＝1，所以ab≤()2＝，于是≥4，≥8，
因此(1＋)(1＋)≥1＋8＝9(当且仅当a＝b＝时等号成立).
1.不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是( )
A.m＝1 B.m＝±1
C.m＝－1 D.m＝0
答案 A
2.若0A.a>>>b B.b>>>a
C.b>>>a D.b>a>>
答案 C
解析 ∵0a＋b，∴b>.
∵b>a>0，∴ab>a2，
∴>a.故b>>>a.
3.设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )
A.6B.4C.2D.8
答案 B
解析 ∵a＋b＝3，
∴2a＋2b≥2＝2＝2＝4.
4.以下命题中正确的个数是________.
①y＝x＋≥2；
②若a>0，b>0且a＋b＝2，则ab≤1；
③＋的最小值为4；
④a∈R.a2＋1>2a.
答案 2
解析 ①式在x>0的条件下才成立，故错；
②式ab≤()2＝1，故正确；
③＋≥2＝4，且当x＝4时取等号，故正确；
④a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，故错.
1.两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.
2.由基本不等式变形得到的常见的结论
(1)ab≤2≤；
(2)≤≤ (a，b∈R＋).
一、基础达标
1.若0A.B.a2＋b2C.2abD.a
答案 B
解析 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝.a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab.
∵02.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A.a2＋b2>2ab B.a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
答案 D
解析 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误.
对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误.
对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2.
3.若x>0，y>0，且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是( )
A.x2＋y2≤8 B.＋≥1
C.≥2 D.≥1
答案 B
解析 若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1，
∴＋＝(x＋y)＝≥(2＋2)＝1.
4.下列结论正确的是( )
A.当x>0且x≠1时，lgx＋≥2
B.当x>0时，＋≥2
C.当x≥2时，x＋≥2
D.当0答案 B
解析 因lgx可能小于0，所以A不正确；，都是正数，且当x＝1时取“＝”，所以B正确；由于x≥2，所以取不到“＝”，故C错误；x－在区间[0,2]上为增函数，因此有最大值，故D错误.
5.若a<1，则a＋有最______(填“大”或“小”)值，为________.
答案 大 －1
解析 ∵a<1，∴a－1<0，
∴－＝(1－a)＋≥2(a＝0时取等号)，
∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.
6.若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是________.
答案 (－∞，2]
解析 x2－ax＋1≥0，x∈(0,1]恒成立?ax≤x2＋1，x∈(0,1]恒成立?a≤x＋，x∈(0,1]恒成立.∵x∈(0,1]，x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立.∴a≤2.
7.设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明 ∵a，b，c都是正数，∴，，也都是正数.
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
二、能力提升
8.已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( )
A.a＋b＋≥2 B.(a＋b)≥4
C.≥2 D.>
答案 D
解析 ∵a＋b＋≥2＋≥2，A成立；
(a＋b)≥2·2＝4，B成立；
a2＋b2≥2ab>0，∴≥2，C成立；
a＋b≥2，∴≤1，不等式两边同乘，得≤，所以D不成立.
9.若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A.6＋2 B.7＋2
C.6＋4 D.7＋4
答案 D
解析 由题意得所以
又log4(3a＋4b)＝log2，
所以log4(3a＋4b)＝log4ab，
所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥
7＋2＝7＋4，
当且仅当＝时取等号.故选D.
10.若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________.
答案
解析 ∵x>0，∴>0，易知a>0.
∴≥，∴≤x＋＋3.
∵x>0，x＋＋3≥2＋3＝5(x＝1时取等号)，
∴≤5.∴a≥.
11.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证＋＋≥8.
证明 ＋＋＝＋＋＝2，
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立).
12.已知x>y>0，xy＝1，求证：≥2.
证明 ∵xy＝1，x>y>0，∴x－y>0，
∴＝＝
＝(x－y)＋≥2＝2.
当且仅当即时取等号.
三、探究与创新
13.已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.
证明 ∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
由上述三个不等式两边均为正，分别相乘
≥··＝8.
[学习目标] 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.
[知识链接]
下列说法中，正确的有________.
(1)a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2；
(2)(a±b)2≥0；
(3)a2＋b2≥(a＋b)2；
(4)(a＋b)2≥(a－b)2.
答案 (1)(2)
解析 当a，b同号时，有a2＋b2≤(a＋b)2，所以(3)错误；
当a，b异号时，有(a＋b)2≤(a－b)2，所以(4)错误.
[预习导引]
1.两个重要定理
(1)定理1：对于任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，(当且仅当a＝b时等号成立).
(2)定理2：如果a，b是正实数，那么≥(当且仅当a＝b时等号成立).
(3)定理1和定理2中的不等式通常称为基本不等式.
2.基本不等式的常用推论
(1)ab≤2≤(a，b∈R)；
(2)a2＋b2≥()2
(3)当ab>0时，＋≥2；当ab<0时，＋≤－2；
(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).
要点一 基本不等式的证明
例1 证明下列不等式，并指出“＝”成立的条件：
(1)a2＋b2≥2ab；(2)≤( a>0，b>0).
证明 (1)∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”.
(2)∵a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0.
∴a＋b≥2.∴≤，当且仅当a＝b时，取“＝”.
规律方法 a2＋b2≥2ab对a，b∈R都成立，≥成立的条件是a，b∈R＋，两个不等式“＝”成立的条件都是a＝b.
跟踪演练1 还有一种证明≤( a>0，b>0)的方法叫做分析法，下面设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把证明过程补充完整？
要证：≥(a>0，b>0)①
只要证：a＋b≥________②
要证②，只要证a＋b－________≥0③
要证③，只要证(________－________)2≥0④
显然，④是成立的，当且仅当a＝b时，④的等号成立.
答案 2 2
要点二 不等式的证明
例2 已知a，b，c都是实数.
求证：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.
证明 ∵a，b，c∈R，
∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
三式相加得2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，①
即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，②
在①式两边同时加上(a2＋b2＋c2)得
3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，
即a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2.③
在②式两边同时加上2(ab＋bc＋ca)得
(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)，
即(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.④
∴由③④可得a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.
规律方法 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
跟踪演练2 已知x，y，z都是正数.
求证：(1)＋≥2；
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
(3)(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
证明 (1)∵x，y都是正数，∴>0，>0，
∴＋≥2＝2，即＋≥2.当且仅当x＝y时，等号成立.
(2)∵x，y都是正数，
∴x＋y≥2>0，x2＋y2≥2>0，
x3＋y3≥2>0.
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3.
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.当且仅当x＝y时，等号成立.
(3)∵x，y，z都是正数，
∴x＋y≥2>0，y＋z≥2>0，z＋x≥2>0.
∴(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥2·2·2＝8xyz.
即(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.当且仅当x＝y＝z时等号成立.
要点三 含条件的不等式的证明
例3 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.
证明 ∵a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时，取等号.
规律方法 使用基本不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用基本不等式，要注意等号能否同时成立.
跟踪演练3 已知a>0，b>0，a＋b＝1，
求证：≥9.
证明 方法一 因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＋＝1＋＝2＋.同理1＋＝2＋.
所以(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋)＝5＋2(＋)≥5＋4＝9.
所以(1＋)(1＋)≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立).
方法二 (1＋)(1＋)＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，
因为a，b为正数，a＋b＝1，所以ab≤()2＝，于是≥4，≥8，
因此(1＋)(1＋)≥1＋8＝9(当且仅当a＝b＝时等号成立).
1.不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是( )
A.m＝1 B.m＝±1
C.m＝－1 D.m＝0
答案 A
2.若0
C.b>>>a D.b>a>>
答案 C
解析 ∵0
∵b>a>0，∴ab>a2，
∴>a.故b>>>a.
3.设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )
A.6B.4C.2D.8
答案 B
解析 ∵a＋b＝3，
∴2a＋2b≥2＝2＝2＝4.
4.以下命题中正确的个数是________.
①y＝x＋≥2；
②若a>0，b>0且a＋b＝2，则ab≤1；
③＋的最小值为4；
④a∈R.a2＋1>2a.
答案 2
解析 ①式在x>0的条件下才成立，故错；
②式ab≤()2＝1，故正确；
③＋≥2＝4，且当x＝4时取等号，故正确；
④a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，故错.
1.两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.
2.由基本不等式变形得到的常见的结论
(1)ab≤2≤；
(2)≤≤ (a，b∈R＋).
一、基础达标
1.若0
答案 B
解析 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝.a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab.
∵0
A.a2＋b2>2ab B.a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
答案 D
解析 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误.
对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误.
对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2.
3.若x>0，y>0，且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是( )
A.x2＋y2≤8 B.＋≥1
C.≥2 D.≥1
答案 B
解析 若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1，
∴＋＝(x＋y)＝≥(2＋2)＝1.
4.下列结论正确的是( )
A.当x>0且x≠1时，lgx＋≥2
B.当x>0时，＋≥2
C.当x≥2时，x＋≥2
D.当0
解析 因lgx可能小于0，所以A不正确；，都是正数，且当x＝1时取“＝”，所以B正确；由于x≥2，所以取不到“＝”，故C错误；x－在区间[0,2]上为增函数，因此有最大值，故D错误.
5.若a<1，则a＋有最______(填“大”或“小”)值，为________.
答案 大 －1
解析 ∵a<1，∴a－1<0，
∴－＝(1－a)＋≥2(a＝0时取等号)，
∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.
6.若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是________.
答案 (－∞，2]
解析 x2－ax＋1≥0，x∈(0,1]恒成立?ax≤x2＋1，x∈(0,1]恒成立?a≤x＋，x∈(0,1]恒成立.∵x∈(0,1]，x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立.∴a≤2.
7.设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明 ∵a，b，c都是正数，∴，，也都是正数.
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
二、能力提升
8.已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( )
A.a＋b＋≥2 B.(a＋b)≥4
C.≥2 D.>
答案 D
解析 ∵a＋b＋≥2＋≥2，A成立；
(a＋b)≥2·2＝4，B成立；
a2＋b2≥2ab>0，∴≥2，C成立；
a＋b≥2，∴≤1，不等式两边同乘，得≤，所以D不成立.
9.若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A.6＋2 B.7＋2
C.6＋4 D.7＋4
答案 D
解析 由题意得所以
又log4(3a＋4b)＝log2，
所以log4(3a＋4b)＝log4ab，
所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥
7＋2＝7＋4，
当且仅当＝时取等号.故选D.
10.若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________.
答案
解析 ∵x>0，∴>0，易知a>0.
∴≥，∴≤x＋＋3.
∵x>0，x＋＋3≥2＋3＝5(x＝1时取等号)，
∴≤5.∴a≥.
11.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证＋＋≥8.
证明 ＋＋＝＋＋＝2，
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立).
12.已知x>y>0，xy＝1，求证：≥2.
证明 ∵xy＝1，x>y>0，∴x－y>0，
∴＝＝
＝(x－y)＋≥2＝2.
当且仅当即时取等号.
三、探究与创新
13.已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.
证明 ∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
由上述三个不等式两边均为正，分别相乘
≥··＝8.