10.3 基本不等式及其应用(2)学案

10.3　基本不等式及其应用(二)
[学习目标]　1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
[知识链接]
1.已知x，y都是正数，若x＋y＝s(和为定值)，那么xy有最大值还是最小值？如何求？
答　xy有最大值.由基本不等式，得s＝x＋y≥2，所以xy≤，当x＝y＝时，积xy取得最大值.
2.已知x，y都是正数，若xy＝p(积为定值)，那么x＋y有最大值还是最小值？如何求？
答　x＋y有最小值.由基本不等式，得x＋y≥2＝2.当x＝y＝时，x＋y取得最小值2.
[预习导引]
1.用基本不等式求最值的结论
(1)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2.
(2)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为.
2.基本不等式求最值的条件
(1)x，y必须是正数；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值.
(3)等号成立的条件是否满足.
要点一　基本不等式与最值
例1　(1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；
(2)设0(3)已知x>2，求x＋的最小值；
(4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值.
解　(1)当x>0时，x＋≥2＝4，
当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时，取等号.
∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4.
(2)∵00，
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤22＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立.
∵∈.
∴函数y＝4x(3－2x)(0(3)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋＝x－2＋＋2
≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立.
∴x＋的最小值为6.
(4)方法一　∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10
≥2＋10＝16，
当且仅当＝，又＋＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号.
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
方法二　由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值).
可知x>1，y>9，
∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10
≥2＋10＝16，
当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时，上式取等号，
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
规律方法　在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.
跟踪演练1　若x>0，y>0，且＋＝1，求xy及x＋y的最小值.
解　∵x>0，y>0，
∴1＝＋≥2，得xy≥64，
当且仅当即时，取等号.
∴x＝4，y＝16时，xy有最小值64；
由x>0，y>0，正数x，y知，>0，>0，
x＋y＝(x＋y)(＋)＝10＋＋
≥10＋2＝18.
当且仅当即时，取等号.
∴x＝6，y＝12时，x＋y有最小值18.
要点二　基本不等式在实际问题中的应用
例2　某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元).
(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；
(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
解　(1)依题意得y＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*).
(2)∵x>0，∴48x＋≥2＝1440，
当且仅当48x＝，即x＝15时取到“＝”，
此时，平均综合费用的最小值为560＋1440＝2000(元).
即　当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元.
规律方法　利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.
跟踪演练2　要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)
A.80元 B.120元
C.160元 D.240元
答案　C
解析　设底面矩形的一条边长是xm，总造价是y元，把y与x的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值.
由题意知，体积V＝4m3，高h＝1m，所以底面积S＝4m2，设底面矩形的一条边长是xm，则另一条边长是m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×(2x＋)≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号.
例3　某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销售完.
(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；
(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)
解　(1)由题意可设3－x＝，将t＝0，x＝1代入，
得k＝2.∴x＝3－.
设年生产x万件时，年生产成本为32x＋3＝32＋3.当销售x(万件)时，年销售收入为150%＋t.
由题意，生产x万件化妆品正好销售完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，
得年利润y＝(t≥0).
(2)y＝＝50－
≤50－2＝50－2＝42(万元)，
当且仅当＝，即t＝7时，ymax＝42，
∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大.
规律方法　应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).
跟踪演练3　一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时.
答案　8
解析　设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则
t＝＝＋≥2＝8(小时)，
当且仅当＝，即v＝100时，等号成立，
此时t＝8小时.
1.已知正数x，y满足x＋y＝30，则xy的最大值为(　　)
A.15　　　　B.30　　　　C.225　　　　D.不存在
答案　C
解析　xy≤()2＝225，当且仅当x＝y＝15时“＝”成立，所以xy的最大值为225.
2.若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)
答案　D
解析　因为2x>0，所以由2x(x－a)<1得x－a<＝2－x，在坐标系中，作出函数f(x)＝x－a，g(x)＝2－x的图象，
当x>0时，g(x)＝2－x<1，所以如果存在x>0，使2x(x－a)<1，则有－a<1，即a>－1，所以选D.
3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)
A.6.5mB.6.8mC.7mD.7.2m
答案　C
解析　设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m).因为要求够用且浪费最少，故选C.
4.已知a>3，则a＋的最小值为________.
答案　7
解　∵a>3，∴a－3>0.
∴a＋＝a－3＋＋3≥2＋3＝7，当且仅当a＝5时取等号.∴a＋的最小值为7.
5.设0答案　4
解析　∵02>0，
∴y＝≤＝＝4，
当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号.
∴当x＝时，y＝有最大值4.
1.用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：“一正”——各项为正数；“二定”——“和”或“积”为定值；“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的拆项、添项、配凑、变形等方法创建应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的单调性求得函数的最值.
2.求解应用题的方法与步骤：
(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.
一、基础达标
1.已知x≥，则f(x)＝有(　　)
A.最大值 B.最小值
C.最大值1 D.最小值1
答案　D
解析　f(x)＝＝＝[(x－2)＋]≥1.
当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立.
2.已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为(　　)
A.2B.4C.16D.不存在
答案　B
解析　∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.
∴2x＋4y≥2＝2＝4.
当且仅当x＝，y＝时，等号成立.
3.函数y＝log2 (x>1)的最小值为(　　)
A.－3B.3C.4D.－4
答案　B
解析　∵x＋＋5＝(x－1)＋＋6
≥2＋6＝8.当且仅当x＝2时取“＝”.
∴log2≥3，
∴ymin＝3.
4.已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)
A.B.4C.D.5
答案　C
解析　∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝＝＋≥＋2＝(当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝＋的最小值为.
5.周长为＋1的直角三角形面积的最大值为______.
答案　
解析　设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，则＋1＝a＋b＋≥2＋，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为.
6.建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元.
答案　1760
解析　设水池的造价为y元，长方形底的一边长为xm，
由于底面积为4m2，所以另一边长为m.那么
y＝120×4＋80×2
＝480＋320
≥480＋320·2＝1760(元).
当且仅当x＝2时等号成立，即底为边长为2m的正方形时，水池的造价最低，为1760元.
7.(1)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；
(2)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；
(3)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值.
解　(1)∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2＝12，当且仅当3x＝，即x＝2时取等号.
∴f(x)的最小值为12.
(2)∵x<3，∴x－3<0.
∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－[＋(3－x)]＋3
≤－2＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时，取等号.
∴f(x)的最大值为－1.
(3)方法一　由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x，
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18.
当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立.
∴x＋y的最小值是18.
方法二　由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得＋＝1.
∴x＋y＝(x＋y)(＋) ＝＋＋10≥2＋10＝18.
当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立.
∴x＋y的最小值是18.
二、能力提升
8.若xy是正数，则2＋2的最小值是(　　)
A.3B.C.4D.
答案　C
解析　2＋2
＝x2＋y2＋＋＋＋
＝＋＋≥1＋1＋2＝4.
当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号.
9.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)
A.0B.1C.D.3
答案　B
解析　由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2.所以＝＝≤＝1，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，此时z＝2y2，max＝1.
＋－＝＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当y＝1时，取等号，故选B.
10.已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
答案　36
解析　∵x>0，a>0，∴f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝(x>0)即x＝时f(x)取得最小值，由题意得＝3，∴a＝36.
11.已知x，y都是正数.
(1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值；
(2)若＋＝1，求x＋y的最小值.
解　(1)xy＝·3x·2y≤()2＝6，
当且仅当即时取“＝”.
所以当x＝2，y＝3时，xy取得最大值6.
(2)由x，y∈R＋且＋＝1，得x＋y＝(x＋y)(＋)＝＋＋20≥2＋20＝36，
当且仅当＝，即x＝12且y＝24时，等号成立.
所以x＋y的最小值是36.
12.某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3000＋50x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
解　设建x层时该楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得
f(x)＝Q(x)＋
＝50x＋＋3000
≥2＋3000＝5000(元).
当且仅当50x＝，即x＝20时上式取“＝”.
因此，当x＝20时，f(x)取得最小值5000.
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5000元.
三、探究与创新
13.如图所示，动物园要围成面积相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
解　(1)设每间虎笼长xm，宽为ym，
则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
方法一　由于2x＋3y≥2＝2，
∴2≤18，得xy≤，
即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立.
由
解得
故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大.
方法二　由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，∴0S＝xy＝y＝(6－y)·y，
≤·2＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，
此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大.
(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，
则l＝4x＋6y.
方法一　∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立.
由　解得
故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小.
方法二　由xy＝24，得x＝.
∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48.
当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.
故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小.