10.4 简单线性规划(1)学案
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10.4 简单线性规划(一)
[学习目标] 1.了解二元一次不等式表示的平面区域.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.
[知识链接]
下列说法正确的有________.
(1)一元一次不等式的解集可以用区间的形式表示；
(2)有序实数对可以看成直角坐标系内点的坐标；
(3)二元一次不等式的解集可以看成直角坐标系内的点构成的集合；
(4)不等式x>2或y<0不能用平面直角坐标系中的点集表示.
答案 (1)(2)(3)
[预习导引]
1.二元一次不等式(组)的有关概念
(1)含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式.
(2)由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.
(3)满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式组的解集.
2.线性目标函数
把要求最大(小)值的函数z＝f(x，y)称为目标函数，如果f(x，y)＝ax＋by，则称函数z＝f(x，y)为线性目标函数.
3.线性约束条件
关于x，y的不等式(组)称为对变量x，y的约束条件，如果约束条件都是关于x，y的一次不等式，则称约束条件为线性约束条件.
4.二元一次不等式表示的平面区域
对于任意的二元一次不等式ax＋by＋c>0(或<0)，当b≠0时，我们都可以把y项的系数变形为正数.
(1) 当b>0时，不等式ax＋by＋c≥0的解集是以直线ax＋by＋c＝0为边界(含边界，此时直线画成实线)的上半平面；ax＋by＋c<0的解集是以直线ax＋by＋c＝0为边界(不含边界，此时直线画成虚线)的下半平面.
(2)当b＝0时，直线ax＋by＋c＝0变为x＝－，不等式x>－的解集是以直线为边界(不含边界)的右半平面，不等式x≤－的解集是以直线为边界(含边界)的左半平面.
要点一 二元一次不等式表示的平面区域
例1 画出下面二元一次不等式表示的平面区域.
(1)x－2y＋4≥0；
(2)y>2x.
解 (1)方法一 由x－2y＋4≥0，得－x＋2y－4≤0
画出直线x－2y＋4＝0，－x＋2y－4≤0的解集
在直线为边界的下半平面内(含边界)，如右图.
方法二 画出直线x－2y＋4＝0，
∵0－2×0＋4＝4>0，
∴x－2y＋4>0表示的区域为含(0,0)的一侧，
因此所求为如图所示的区域，包括边界.
(2)画出直线y－2x＝0，
∵0－2×1＝－2<0，
∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界.
规律方法 (1)当b>0时，不等式ax＋by＋c≥0表示直线ax＋by＋c＝0的上半平面(含直线)；当b<0时，不等式ax＋by＋c≥0表示直线ax＋by＋c＝0的下半平面(含直线).
(2)判定二元一次不等式具体表示哪一个半平面，通常“以直线定界，以特殊点定域”.先画直线ax＋by＋c＝0，取点代入ax＋by＋c验证.若直线不过原点，用“原点定域”；若直线过原点，则可取点(1,0)或(0,1)，这样可以简化运算.
跟踪演练1 在平面直角坐标系中，画出下列二元一次不等式表示的平面区域.
(1)2x－3y＋6<0；
(2)2x＋3y≥0；
(3)y－2<0.
解 (1)2x－3y＋6<0表示的平面区域如图(1)所示阴影部分(不包括边界).
(2)2x＋3y≥0表示的平面区域如图(2)所示阴影部分(包括边界).
(3)y－2<0表示直线y－2＝0下方的区域，如图(3)所示阴影部分(不包括边界).
要点二 二元一次不等式组表示的平面区域
例2 画出下列不等式组所表示的平面区域.
(1)
(2)
解 (1)x－2y≤3，即x－2y－3≤0，表示直线x－2y－3＝0上及左上方的区域；
x＋y≤3，即x＋y－3≤0，表示直线x＋y－3＝0上及左下方区域；
x≥0表示y轴及其右边区域；
y≥0表示x轴及其上方区域.
综上可知，不等式组(1)表示的区域如图所示.
(2)x－y<2，即x－y－2<0，表示直线x－y－2＝0左上方的区域；
2x＋y≥1，即2x＋y－1≥0，表示直线2x＋y－1＝0上及右上方区域；
x＋y<2表示直线x＋y＝2左下方区域.
综上可知，不等式组(2)表示的区域如图所示.
规律方法 (1)不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
(2)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示.
跟踪演练2 用平面区域表示下列不等式组.
(1)
(2)
解 (1)不等式x≥y，即x－y≥0，表示直线y＝x上及其下方的区域.
不等式3x＋4y－12<0，表示直线3x＋4y－12＝0左下方的区域.
它们的公共部分就是不等式组表示的平面区域(如图所示的阴影部分).
(2)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，不等式x＋y＋1>0表示直线x＋y＋1＝0右上方的点的集合(不含边界)，不等式x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合.
所以不等式组表示上述平面区域的公共部分(如图所示的阴影部分).
要点三 不等式组表示平面区域的应用
例3 (1)画出不等式组所表示的平面区域，并求其面积；
(2)求不等式组所表示的平面区域的面积大小.
解 (1)如图所示，其中的阴影部分便是要表示的平面区域.
由得A(1,3).
同理得B(－1,1)，C(3，－1).
∴|AC|＝＝2，
而点B到直线2x＋y－5＝0的距离为d＝＝，
∴S△ABC＝|AC|·d＝×2×＝6.
(2)可将原不等式组分解成如下两个不等式组：
①或②
上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示，所围成的面积S＝×4×2－×2×1＝3.
规律方法 求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积，若画出的图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采用分割、拼凑的方法，将平面区域分为几个规则图形后求解.
跟踪演练3 画出不等式组所表示的平面区域，并求平面区域的面积.
解 先画直线x－y＋6＝0(画成实线)，不等式x－y＋6≥0表示直线x－y＋6＝0上及右下方的点的集合.
画直线x＋y＝0(画成实线)，不等式x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合.
画直线x＝3(画成实线)，不等式x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合.
所以，不等式组所表示的平面区域如图所示，因此其区域面积也就是△ABC的面积.
显然，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，|AB|＝|AC|，B点的坐标为(3，－3).由点到直线的距离公式得，
|AB|＝＝，
∴S△ABC＝××＝36.
故不等式组所表示的平面区域的面积等于36.
1.不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是( )
A.(0,0) B.(1,1)
C.(0,2) D.(2,0)
答案 D
解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.
2.如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 观察图象可知，阴影部分在直线y＝－2上方，且不包含直线y＝－2，故可得不等式y>－2.又阴影部分在直线x＝0左边，且包含直线x＝0，故可得不等式x≤0.由图象可知，第三条边界线过点(－2,0)、(0,3)，故可得直线3x－2y＋6＝0，因为此直线为虚线且原点O(0,0)在阴影部分，故可得不等式3x－2y＋6>0.观察选项可知选C.
3.已知点(－1,2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A.(－1,6)
B.(－6,1)
C.(－∞，－1)∪(6，＋∞)
D.(－∞，－6)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0，
即(a＋1)(a－6)<0，∴－14.画出不等式组表示的平面区域.
解 不等式x>0表示直线x＝0(y轴)右侧的点的集合(不含边界).
不等式y>0表示直线y＝0(x轴)上方的点的集合(不含边界).
不等式x＋y－3<0表示直线x＋y－3＝0左下方的点的集合(不含边界).
所以原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(不含边界).
1.对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B>0时，
(1)Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；
(2)Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域.
2.画平面区域时，注意边界线的虚实问题.
一、基础达标
1.已知点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A.(－24,7)
B.(－7,24)
C.(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D.(－∞，－24)∪(7，＋∞)
答案 B
解析 因为点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0的两侧，所以[3×(－3)－2×(－1)－a]×[3×4－2×(－6)－a]<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－72.不等式组表示的平面区域内整点的个数是( )
A.2B.4C.6D.8
答案 C
解析 画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)，共6个.
3.直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.无数个
答案 B
解析 画出可行域如图阴影部分所示.
∵直线过(5,0)点，
故只有1个公共点(5,0).
4.如图所示，表示满足不等式(x－y)·(x＋2y－2)>0的点(x，y)组成的平面区域为( )
答案 B
解析 不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组
(1)或不等式组(2)分别画出不等式组(1)和(2)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.
5.原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________.
答案 (－1，a]
解析 根据题意，分以下两种情况：
①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内，则无解.
②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则∴－1综上所述，－16.不等式组表示的平面区域的面积为________.
答案 4
解析 不等式组表示m平面区域如图阴影部分所示，
由
得A(8，－2).
由x＋y－2＝0得B(0,2).
又|CD|＝2，
故S阴影＝×2×2＋×2×2＝4.
7.不等式组表示的平面区域的形状为_______________________.
答案 正方形
解析 如图所示的阴影部分，不等式组表示的平面区域是边长为的正方形.
8.某人准备投资1200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)：
学段
班级学生人数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45
2
26/班
2/人
高中
40
3
54/班
2/人
因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜.分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件.
解 设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20与30之间，
所以有20≤x＋y≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1200.
即x＋2y≤40.另外，开设的班数不能为负，则x≥0，y≥0，
把上面的四个不等式合在一起，得到
用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域(阴影部分).
二、能力提升
9.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )
A.2B.1C.－D.－
答案 C
解析 作出可行域如图，由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小.由得
即D(3，－1)，此时OM的斜率为＝－，选C.
10.若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，则实数m的值为________.
答案 －3
解析 由点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离d＝＝4，得m＝7或m＝－3.又点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，当m＝－3时，点P的坐标为(－3,3)，则2×(－3)＋3－3＝－6<0，符合题意；当m＝7时，点P的坐标为(7,3)，则2×7＋3－3＝14>0，不符合题意，舍去.综上，m＝－3.
11.记不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________.
答案
解析 满足约束条件的平面区域如图所示，
因为y＝a(x＋1)过定点(－1,0).
所以当y＝a(x＋1)过点B(0,4)时，得到a＝4，
当y＝a(x＋1)过点A(1,1)时，对应a＝.
又因为直线y＝a(x＋1)与平面区域D有公共点.
所以≤a≤4.
12.在△ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC区域(包括边界)所表示的二元一次不等式组.
解 如图所示，
可求得直线AB，BC，CA的方程分别为x＋2y－1＝0，x－y＋2＝0,2x＋y－5＝0.
由于△ABC区域在直线AB右上方，
∴x＋2y－1≥0；
在直线BC右下方，∴x－y＋2≥0；
在直线AC左下方，∴2x＋y－5≤0.
∴△ABC区域可表示为
三、探究与创新
13.求不等式组的整数解.
解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证.
把x＝3代入6x＋7y≤50，
得y≤，又∵y≥2，
∴整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)；
把x＝4代入6x＋7y≤50，
得y≤，∴整点有(4,2)，(4,3).
把x＝5代入6x＋7y≤50，得y≤，
∴整点有(5,2)；
把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；
把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤，与y≥2不符.
综上，整数解有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2).
[学习目标] 1.了解二元一次不等式表示的平面区域.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.
[知识链接]
下列说法正确的有________.
(1)一元一次不等式的解集可以用区间的形式表示；
(2)有序实数对可以看成直角坐标系内点的坐标；
(3)二元一次不等式的解集可以看成直角坐标系内的点构成的集合；
(4)不等式x>2或y<0不能用平面直角坐标系中的点集表示.
答案 (1)(2)(3)
[预习导引]
1.二元一次不等式(组)的有关概念
(1)含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式.
(2)由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.
(3)满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式组的解集.
2.线性目标函数
把要求最大(小)值的函数z＝f(x，y)称为目标函数，如果f(x，y)＝ax＋by，则称函数z＝f(x，y)为线性目标函数.
3.线性约束条件
关于x，y的不等式(组)称为对变量x，y的约束条件，如果约束条件都是关于x，y的一次不等式，则称约束条件为线性约束条件.
4.二元一次不等式表示的平面区域
对于任意的二元一次不等式ax＋by＋c>0(或<0)，当b≠0时，我们都可以把y项的系数变形为正数.
(1) 当b>0时，不等式ax＋by＋c≥0的解集是以直线ax＋by＋c＝0为边界(含边界，此时直线画成实线)的上半平面；ax＋by＋c<0的解集是以直线ax＋by＋c＝0为边界(不含边界，此时直线画成虚线)的下半平面.
(2)当b＝0时，直线ax＋by＋c＝0变为x＝－，不等式x>－的解集是以直线为边界(不含边界)的右半平面，不等式x≤－的解集是以直线为边界(含边界)的左半平面.
要点一 二元一次不等式表示的平面区域
例1 画出下面二元一次不等式表示的平面区域.
(1)x－2y＋4≥0；
(2)y>2x.
解 (1)方法一 由x－2y＋4≥0，得－x＋2y－4≤0
画出直线x－2y＋4＝0，－x＋2y－4≤0的解集
在直线为边界的下半平面内(含边界)，如右图.
方法二 画出直线x－2y＋4＝0，
∵0－2×0＋4＝4>0，
∴x－2y＋4>0表示的区域为含(0,0)的一侧，
因此所求为如图所示的区域，包括边界.
(2)画出直线y－2x＝0，
∵0－2×1＝－2<0，
∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界.
规律方法 (1)当b>0时，不等式ax＋by＋c≥0表示直线ax＋by＋c＝0的上半平面(含直线)；当b<0时，不等式ax＋by＋c≥0表示直线ax＋by＋c＝0的下半平面(含直线).
(2)判定二元一次不等式具体表示哪一个半平面，通常“以直线定界，以特殊点定域”.先画直线ax＋by＋c＝0，取点代入ax＋by＋c验证.若直线不过原点，用“原点定域”；若直线过原点，则可取点(1,0)或(0,1)，这样可以简化运算.
跟踪演练1 在平面直角坐标系中，画出下列二元一次不等式表示的平面区域.
(1)2x－3y＋6<0；
(2)2x＋3y≥0；
(3)y－2<0.
解 (1)2x－3y＋6<0表示的平面区域如图(1)所示阴影部分(不包括边界).
(2)2x＋3y≥0表示的平面区域如图(2)所示阴影部分(包括边界).
(3)y－2<0表示直线y－2＝0下方的区域，如图(3)所示阴影部分(不包括边界).
要点二 二元一次不等式组表示的平面区域
例2 画出下列不等式组所表示的平面区域.
(1)
(2)
解 (1)x－2y≤3，即x－2y－3≤0，表示直线x－2y－3＝0上及左上方的区域；
x＋y≤3，即x＋y－3≤0，表示直线x＋y－3＝0上及左下方区域；
x≥0表示y轴及其右边区域；
y≥0表示x轴及其上方区域.
综上可知，不等式组(1)表示的区域如图所示.
(2)x－y<2，即x－y－2<0，表示直线x－y－2＝0左上方的区域；
2x＋y≥1，即2x＋y－1≥0，表示直线2x＋y－1＝0上及右上方区域；
x＋y<2表示直线x＋y＝2左下方区域.
综上可知，不等式组(2)表示的区域如图所示.
规律方法 (1)不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
(2)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示.
跟踪演练2 用平面区域表示下列不等式组.
(1)
(2)
解 (1)不等式x≥y，即x－y≥0，表示直线y＝x上及其下方的区域.
不等式3x＋4y－12<0，表示直线3x＋4y－12＝0左下方的区域.
它们的公共部分就是不等式组表示的平面区域(如图所示的阴影部分).
(2)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，不等式x＋y＋1>0表示直线x＋y＋1＝0右上方的点的集合(不含边界)，不等式x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合.
所以不等式组表示上述平面区域的公共部分(如图所示的阴影部分).
要点三 不等式组表示平面区域的应用
例3 (1)画出不等式组所表示的平面区域，并求其面积；
(2)求不等式组所表示的平面区域的面积大小.
解 (1)如图所示，其中的阴影部分便是要表示的平面区域.
由得A(1,3).
同理得B(－1,1)，C(3，－1).
∴|AC|＝＝2，
而点B到直线2x＋y－5＝0的距离为d＝＝，
∴S△ABC＝|AC|·d＝×2×＝6.
(2)可将原不等式组分解成如下两个不等式组：
①或②
上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示，所围成的面积S＝×4×2－×2×1＝3.
规律方法 求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积，若画出的图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采用分割、拼凑的方法，将平面区域分为几个规则图形后求解.
跟踪演练3 画出不等式组所表示的平面区域，并求平面区域的面积.
解 先画直线x－y＋6＝0(画成实线)，不等式x－y＋6≥0表示直线x－y＋6＝0上及右下方的点的集合.
画直线x＋y＝0(画成实线)，不等式x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合.
画直线x＝3(画成实线)，不等式x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合.
所以，不等式组所表示的平面区域如图所示，因此其区域面积也就是△ABC的面积.
显然，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，|AB|＝|AC|，B点的坐标为(3，－3).由点到直线的距离公式得，
|AB|＝＝，
∴S△ABC＝××＝36.
故不等式组所表示的平面区域的面积等于36.
1.不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是( )
A.(0,0) B.(1,1)
C.(0,2) D.(2,0)
答案 D
解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.
2.如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 观察图象可知，阴影部分在直线y＝－2上方，且不包含直线y＝－2，故可得不等式y>－2.又阴影部分在直线x＝0左边，且包含直线x＝0，故可得不等式x≤0.由图象可知，第三条边界线过点(－2,0)、(0,3)，故可得直线3x－2y＋6＝0，因为此直线为虚线且原点O(0,0)在阴影部分，故可得不等式3x－2y＋6>0.观察选项可知选C.
3.已知点(－1,2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A.(－1,6)
B.(－6,1)
C.(－∞，－1)∪(6，＋∞)
D.(－∞，－6)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0，
即(a＋1)(a－6)<0，∴－1
解 不等式x>0表示直线x＝0(y轴)右侧的点的集合(不含边界).
不等式y>0表示直线y＝0(x轴)上方的点的集合(不含边界).
不等式x＋y－3<0表示直线x＋y－3＝0左下方的点的集合(不含边界).
所以原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(不含边界).
1.对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B>0时，
(1)Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；
(2)Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域.
2.画平面区域时，注意边界线的虚实问题.
一、基础达标
1.已知点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A.(－24,7)
B.(－7,24)
C.(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D.(－∞，－24)∪(7，＋∞)
答案 B
解析 因为点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0的两侧，所以[3×(－3)－2×(－1)－a]×[3×4－2×(－6)－a]<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7
A.2B.4C.6D.8
答案 C
解析 画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)，共6个.
3.直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.无数个
答案 B
解析 画出可行域如图阴影部分所示.
∵直线过(5,0)点，
故只有1个公共点(5,0).
4.如图所示，表示满足不等式(x－y)·(x＋2y－2)>0的点(x，y)组成的平面区域为( )
答案 B
解析 不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组
(1)或不等式组(2)分别画出不等式组(1)和(2)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.
5.原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________.
答案 (－1，a]
解析 根据题意，分以下两种情况：
①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内，则无解.
②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则∴－1
答案 4
解析 不等式组表示m平面区域如图阴影部分所示，
由
得A(8，－2).
由x＋y－2＝0得B(0,2).
又|CD|＝2，
故S阴影＝×2×2＋×2×2＝4.
7.不等式组表示的平面区域的形状为_______________________.
答案 正方形
解析 如图所示的阴影部分，不等式组表示的平面区域是边长为的正方形.
8.某人准备投资1200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)：
学段
班级学生人数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45
2
26/班
2/人
高中
40
3
54/班
2/人
因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜.分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件.
解 设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20与30之间，
所以有20≤x＋y≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1200.
即x＋2y≤40.另外，开设的班数不能为负，则x≥0，y≥0，
把上面的四个不等式合在一起，得到
用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域(阴影部分).
二、能力提升
9.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )
A.2B.1C.－D.－
答案 C
解析 作出可行域如图，由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小.由得
即D(3，－1)，此时OM的斜率为＝－，选C.
10.若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，则实数m的值为________.
答案 －3
解析 由点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离d＝＝4，得m＝7或m＝－3.又点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，当m＝－3时，点P的坐标为(－3,3)，则2×(－3)＋3－3＝－6<0，符合题意；当m＝7时，点P的坐标为(7,3)，则2×7＋3－3＝14>0，不符合题意，舍去.综上，m＝－3.
11.记不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________.
答案
解析 满足约束条件的平面区域如图所示，
因为y＝a(x＋1)过定点(－1,0).
所以当y＝a(x＋1)过点B(0,4)时，得到a＝4，
当y＝a(x＋1)过点A(1,1)时，对应a＝.
又因为直线y＝a(x＋1)与平面区域D有公共点.
所以≤a≤4.
12.在△ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC区域(包括边界)所表示的二元一次不等式组.
解 如图所示，
可求得直线AB，BC，CA的方程分别为x＋2y－1＝0，x－y＋2＝0,2x＋y－5＝0.
由于△ABC区域在直线AB右上方，
∴x＋2y－1≥0；
在直线BC右下方，∴x－y＋2≥0；
在直线AC左下方，∴2x＋y－5≤0.
∴△ABC区域可表示为
三、探究与创新
13.求不等式组的整数解.
解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证.
把x＝3代入6x＋7y≤50，
得y≤，又∵y≥2，
∴整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)；
把x＝4代入6x＋7y≤50，
得y≤，∴整点有(4,2)，(4,3).
把x＝5代入6x＋7y≤50，得y≤，
∴整点有(5,2)；
把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；
把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤，与y≥2不符.
综上，整数解有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2).