10.4 简单线性规划(2)学案
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10.4 简单线性规划(二)
[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.
[知识链接]
已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围.解答时容易错误的利用不等式中的加法法则，由原不等式组得到x，y的范围，再分别求出2x及－3y的范围，然后相加得2x－3y的取值范围.由于不等式中的加法法则不具有可逆性，从而使x，y的取值范围扩大，得出错误的2x－3y的取值范围.如果把1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3看作变量x，y满足的条件，把求2x－3y的取值范围看作在满足上述不等式的情况下，求z＝2x－3y的取值范围，就成了本节要研究的一个线性规划问题.
[预习导引]
1.线性规划中的基本概念
名 称
意 义
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
由所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
2.目标函数的最值
线性目标函数z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，在y轴上的截距是，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线.
当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；
当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值.
要点一 求线性目标函数的最值
例1 已知关于x，y的二元一次不等式组
(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值；
(2)求函数z＝x＋2y的最大值和最小值.
解 (1)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图(1)所示.
图(1)
由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线，
由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小.
解方程组得C(－2,3)，
∴umin＝3×(－2)－3＝－9.
当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，
解方程组得B(2,1)，
∴umax＝3×2－1＝5.
∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.
(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图(2)所示.
图(2)
由z＝x＋2y，得y＝－x＋z，得到斜率为－，在y轴上的截距为z，随z变化的一组平行线.
由图(2)可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z最小，即z最小，
解方程组得A(－2，－3)，
∴zmin＝－2＋2×(－3)＝－8.
当直线与直线x＋2y＝4重合时，截距z最大，即z最大，
∴zmax＝x＋2y＝4，∴z＝x＋2y的最大值是4，最小值是－8.
规律方法 图解法是解决线性规划问题的有效方法.其关键在于平移目标函数对应的直线ax＋by＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值.
跟踪演练1 若变量x，y满足约束条件
则z＝2x＋y的最大值等于( )
A.7B.8C.10D.11
答案 C
解析 作出约束条件下的可行域如图(阴影部分)，当直线y＝－2x＋z经过点A(4,2)时，z取最大值为10.
要点二 非线性目标函数的最值问题
例2 已知
(1)求z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)求z＝的取值范围.
解 (1)作出可行域如图所示，A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).
z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方，
过M作AC的垂线，易知垂足在AC上，
故MN＝＝＝.
∴MN2＝2＝，∴z的最小值为.
(2)z＝2·表示可行域内点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍，
∵kQA＝，kQB＝，∴z的取值范围是.
规律方法 非线性目标函数的最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(的平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等.
常见代数式的几何意义主要有：
(1)表示点(x，y)与点(a，b)的距离；表示点(x，y)与原点(0,0)的距离.
(2)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率；表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率.
这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键.
跟踪演练2 如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，求|PQ|的最小值.
解 画出不等式组
所表示的平面区域，x2＋(y＋2)2＝1所表示的曲线为以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆.如图所示，只有当点P在点A，点Q在点B(0，－1)时，|PQ|取最小值.
要点三 线性规划的实际应用
例3 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足
即
让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移.
由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值.
因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求.
规律方法 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解.
跟踪演练3 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D.甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
答案 B
解析 设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知
甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200y.画出可行域如图所示.
点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图象知在点M(15,55)处z取得最大值.
1.若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是( )
A.－B.0C.D.
答案 C
解析 设z＝x＋2y，则y＝－x＋.
作出可行域如图，平移直线
y＝－x，
由图象可知当直线y＝－x＋经过点B时，
直线y＝－x＋在y轴上的截距最大，此时z最大.
由得
即B，代入z＝x＋2y
得z＝＋2×＝，选C.
2.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为( )
A.6B.7C.8D.23
答案 B
解析 作出可行域如图所示，由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z＝2x＋3y的最小值为zmin＝2×2＋3×1＝7.
3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为( )
A.－3B.3C.－1D.1
答案 A
解析 当a>0或a＝0时，取最小值的最优解只有一个，不满足题意，
当a<0时，则有－＝＝，
∴a＝－3.
4.已知实数x，y满足约束条件则z＝2x＋4y的最大值为________.
答案 8
解析 由不等式组表示的可行域知，目标函数z在点(0,2)处取得最大值8.
1.用图解法解决线性或非线性规划问题的基本步骤：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域.
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解.
3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.
一、基础达标
1.若点(x, y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为( )
A.－6B.－2C.0D.2
答案 A
解析 画出可行域，如图所示，解得A(－2,2)，设z＝2x－y，
把z＝2x－y变形为y＝2x－z，
则直线经过点A时z取得最小值.
所以zmin＝2×(－2)－2＝－6，故选A.
2.若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为( )
A.9B.C.1D.
答案 A
解析 画出可行域如图，
当直线y＝－x＋z过点A时，z最大.
由，得A(4,5)，∴zmax＝4＋5＝9.
3.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为( )
A.－7B.－4C.1D.2
答案 A
解析 由z＝y－2x，得y＝2x＋z，作出可行域如图，
平移直线y＝2x＋z，由图象可知当直线y＝2x＋z经过点D时，直线y＝2x＋z的截距最小，
此时z最小，由
得即D(5,3).
将D点坐标代入z＝y－2x，得z＝3－2×5＝－7，故选A.
4.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为________.
答案 3，－11
解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z＝3x－4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值.易求A(3,5)，B(5,3).∴z最大＝3×5－4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－11.
5.若实数x，y满足则x＋y的取值范围是________.
答案 [1,3]
解析 作出可行域，如图，作直线x＋y＝0，向右上平移，
过点B时，x＋y取得最小值，过点A时取得最大值.
由B(1,0)，A(2,1)得(x＋y)min＝1，(x＋y)max＝3.
所以1≤x＋y≤3.
6.已知x，y满足z＝2x－y，求z的最大值和最小值.
解 z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候.
作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5,2)时，
zmax＝2×5－2＝8.
当l移动到l2，即过点C(1,4.4)时，
zmin＝2×1－4.4＝－2.4.
7.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于多少？
解 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x，y，则根据条件x，y满足的约束条件为
目标函数z＝450x＋350y.
作出约束条件所示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x＋350y－z＝0知，当直线经过直线x＋y＝12与2x＋y＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z＝450×7＋350×5＝4900.
二、能力提升
8.已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于( )
A.B.C.1D.2
答案 B
解析 先根据约束条件画出可行域，设z＝2x＋y，
则y＝－2x＋z，将z的值转化为y轴上的截距，
当直线y＝－2x＋z经过点B时，z最小，
由得所以B(1，－1).
将B点坐标代入直线y＝a(x－3)得，a＝，故选B.
9.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定.若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为________.
答案 4
解析 由线性约束条件
画出可行域如图阴影部分所示，
目标函数z＝·＝x＋y，将其化为y＝－x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点(，2)时，z最大，将点(，2)代入z＝x＋y得z的最大值为4.
10.在线性约束条件下，求z＝2x－y的最大值和最小值.
解 如图作出线性约束条件
下的可行域，包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)，x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)，x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，作一组与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z.即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点B时，－z取最小值，此时z最大，即zmax＝2×9－1＝17；当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即zmin＝2×1－9＝－7.
所以zmax＝17，zmin＝－7.
11.预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？
解 设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数z＝x＋y，
把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为
由
解得所以A点的坐标为.
由解得所以B点的坐标为.
所以满足条件的可行域是以A，B，
O(0,0)为顶点的三角形区域(如图).
由图形可知，目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为B，但注意到x∈N*，y∈N*，故取
故买桌子25张，椅子37把是最好的选择.
三、探究与创新
12.某公司计划2015年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大.最大收益是多少万元？
解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得
即
目标函数为z＝3000x＋2000y.作出可行域如图所示：
作直线l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0.
平移直线l，由图可知当l过点M时，目标函数z取得最大值.
由得M(100,200).
∴zmax＝3000×100＋2000×200＝700000(元).
答 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元.
[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.
[知识链接]
已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围.解答时容易错误的利用不等式中的加法法则，由原不等式组得到x，y的范围，再分别求出2x及－3y的范围，然后相加得2x－3y的取值范围.由于不等式中的加法法则不具有可逆性，从而使x，y的取值范围扩大，得出错误的2x－3y的取值范围.如果把1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3看作变量x，y满足的条件，把求2x－3y的取值范围看作在满足上述不等式的情况下，求z＝2x－3y的取值范围，就成了本节要研究的一个线性规划问题.
[预习导引]
1.线性规划中的基本概念
名 称
意 义
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
由所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
2.目标函数的最值
线性目标函数z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，在y轴上的截距是，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线.
当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；
当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值.
要点一 求线性目标函数的最值
例1 已知关于x，y的二元一次不等式组
(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值；
(2)求函数z＝x＋2y的最大值和最小值.
解 (1)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图(1)所示.
图(1)
由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线，
由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小.
解方程组得C(－2,3)，
∴umin＝3×(－2)－3＝－9.
当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，
解方程组得B(2,1)，
∴umax＝3×2－1＝5.
∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.
(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图(2)所示.
图(2)
由z＝x＋2y，得y＝－x＋z，得到斜率为－，在y轴上的截距为z，随z变化的一组平行线.
由图(2)可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z最小，即z最小，
解方程组得A(－2，－3)，
∴zmin＝－2＋2×(－3)＝－8.
当直线与直线x＋2y＝4重合时，截距z最大，即z最大，
∴zmax＝x＋2y＝4，∴z＝x＋2y的最大值是4，最小值是－8.
规律方法 图解法是解决线性规划问题的有效方法.其关键在于平移目标函数对应的直线ax＋by＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值.
跟踪演练1 若变量x，y满足约束条件
则z＝2x＋y的最大值等于( )
A.7B.8C.10D.11
答案 C
解析 作出约束条件下的可行域如图(阴影部分)，当直线y＝－2x＋z经过点A(4,2)时，z取最大值为10.
要点二 非线性目标函数的最值问题
例2 已知
(1)求z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)求z＝的取值范围.
解 (1)作出可行域如图所示，A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).
z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方，
过M作AC的垂线，易知垂足在AC上，
故MN＝＝＝.
∴MN2＝2＝，∴z的最小值为.
(2)z＝2·表示可行域内点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍，
∵kQA＝，kQB＝，∴z的取值范围是.
规律方法 非线性目标函数的最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(的平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等.
常见代数式的几何意义主要有：
(1)表示点(x，y)与点(a，b)的距离；表示点(x，y)与原点(0,0)的距离.
(2)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率；表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率.
这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键.
跟踪演练2 如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，求|PQ|的最小值.
解 画出不等式组
所表示的平面区域，x2＋(y＋2)2＝1所表示的曲线为以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆.如图所示，只有当点P在点A，点Q在点B(0，－1)时，|PQ|取最小值.
要点三 线性规划的实际应用
例3 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足
即
让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移.
由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值.
因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求.
规律方法 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解.
跟踪演练3 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D.甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
答案 B
解析 设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知
甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200y.画出可行域如图所示.
点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图象知在点M(15,55)处z取得最大值.
1.若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是( )
A.－B.0C.D.
答案 C
解析 设z＝x＋2y，则y＝－x＋.
作出可行域如图，平移直线
y＝－x，
由图象可知当直线y＝－x＋经过点B时，
直线y＝－x＋在y轴上的截距最大，此时z最大.
由得
即B，代入z＝x＋2y
得z＝＋2×＝，选C.
2.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为( )
A.6B.7C.8D.23
答案 B
解析 作出可行域如图所示，由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z＝2x＋3y的最小值为zmin＝2×2＋3×1＝7.
3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为( )
A.－3B.3C.－1D.1
答案 A
解析 当a>0或a＝0时，取最小值的最优解只有一个，不满足题意，
当a<0时，则有－＝＝，
∴a＝－3.
4.已知实数x，y满足约束条件则z＝2x＋4y的最大值为________.
答案 8
解析 由不等式组表示的可行域知，目标函数z在点(0,2)处取得最大值8.
1.用图解法解决线性或非线性规划问题的基本步骤：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域.
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解.
3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.
一、基础达标
1.若点(x, y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为( )
A.－6B.－2C.0D.2
答案 A
解析 画出可行域，如图所示，解得A(－2,2)，设z＝2x－y，
把z＝2x－y变形为y＝2x－z，
则直线经过点A时z取得最小值.
所以zmin＝2×(－2)－2＝－6，故选A.
2.若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为( )
A.9B.C.1D.
答案 A
解析 画出可行域如图，
当直线y＝－x＋z过点A时，z最大.
由，得A(4,5)，∴zmax＝4＋5＝9.
3.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为( )
A.－7B.－4C.1D.2
答案 A
解析 由z＝y－2x，得y＝2x＋z，作出可行域如图，
平移直线y＝2x＋z，由图象可知当直线y＝2x＋z经过点D时，直线y＝2x＋z的截距最小，
此时z最小，由
得即D(5,3).
将D点坐标代入z＝y－2x，得z＝3－2×5＝－7，故选A.
4.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为________.
答案 3，－11
解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z＝3x－4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值.易求A(3,5)，B(5,3).∴z最大＝3×5－4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－11.
5.若实数x，y满足则x＋y的取值范围是________.
答案 [1,3]
解析 作出可行域，如图，作直线x＋y＝0，向右上平移，
过点B时，x＋y取得最小值，过点A时取得最大值.
由B(1,0)，A(2,1)得(x＋y)min＝1，(x＋y)max＝3.
所以1≤x＋y≤3.
6.已知x，y满足z＝2x－y，求z的最大值和最小值.
解 z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候.
作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5,2)时，
zmax＝2×5－2＝8.
当l移动到l2，即过点C(1,4.4)时，
zmin＝2×1－4.4＝－2.4.
7.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于多少？
解 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x，y，则根据条件x，y满足的约束条件为
目标函数z＝450x＋350y.
作出约束条件所示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x＋350y－z＝0知，当直线经过直线x＋y＝12与2x＋y＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z＝450×7＋350×5＝4900.
二、能力提升
8.已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于( )
A.B.C.1D.2
答案 B
解析 先根据约束条件画出可行域，设z＝2x＋y，
则y＝－2x＋z，将z的值转化为y轴上的截距，
当直线y＝－2x＋z经过点B时，z最小，
由得所以B(1，－1).
将B点坐标代入直线y＝a(x－3)得，a＝，故选B.
9.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定.若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为________.
答案 4
解析 由线性约束条件
画出可行域如图阴影部分所示，
目标函数z＝·＝x＋y，将其化为y＝－x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点(，2)时，z最大，将点(，2)代入z＝x＋y得z的最大值为4.
10.在线性约束条件下，求z＝2x－y的最大值和最小值.
解 如图作出线性约束条件
下的可行域，包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)，x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)，x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，作一组与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z.即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点B时，－z取最小值，此时z最大，即zmax＝2×9－1＝17；当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即zmin＝2×1－9＝－7.
所以zmax＝17，zmin＝－7.
11.预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？
解 设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数z＝x＋y，
把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为
由
解得所以A点的坐标为.
由解得所以B点的坐标为.
所以满足条件的可行域是以A，B，
O(0,0)为顶点的三角形区域(如图).
由图形可知，目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为B，但注意到x∈N*，y∈N*，故取
故买桌子25张，椅子37把是最好的选择.
三、探究与创新
12.某公司计划2015年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大.最大收益是多少万元？
解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得
即
目标函数为z＝3000x＋2000y.作出可行域如图所示：
作直线l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0.
平移直线l，由图可知当l过点M时，目标函数z取得最大值.
由得M(100,200).
∴zmax＝3000×100＋2000×200＝700000(元).
答 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元.