第8章 习题课 正弦定理与余弦定理学案

习题课　正弦定理与余弦定理
[学习目标]　1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解决各类三角形中的应用.2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角、向量有关的综合问题.
[预习导引]
1.三角形内角的函数关系
在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，则有
(1)sin (A＋B)＝sinC，cos (A＋B)＝－cosC，tan (A＋B)＝－tanC.
(2)sin＝cos，cos＝sin.
2.正弦定理及其变形
(1)＝＝＝2R.
(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
3.余弦定理及其推论
(1)a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝.
(2)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为直角，
c2>a2＋b2?C为钝角；c2要点一　解三角形
例1　在△ABC中，若c·cosB＝b·cosC，且cosA＝，求sinB的值.
解　由c·cosB＝b·cosC，结合正弦定理得，sinCcosB＝sinBcosC，故sin (B－C)＝0，
易知B＝C，故b＝c.因为cosA＝，
所以cosA＝＝＝，得3a2＝2b2，所以
a＝b.所以cosB＝＝＝，
故sinB＝.
规律方法　正弦、余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不同，灵活选择.
跟踪演练1　在△ABC中，已知b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc.
(1)求A的大小；
(2)求的值.
解　(1)由已知b2＝ac?cosA＝＝＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)由b2＝ac，得＝，∴＝sinB·＝sinB·＝sinA＝.
要点二　正弦、余弦定理与三角变换的综合
例2　在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin2－cos2A＝.
(1)求A的度数.
(2)若a＝，b＋c＝3，求b和c的值.
解　(1)由4sin2－cos2A＝及A＋B＋C＝180°，得2[1－cos(B＋C)]－2cos2A＋1＝，
4(1＋cosA)－4cos2A＝5，即4cos2A－4cosA＋1＝0，
∴(2cosA－1)2＝0，
解得cosA＝.∵0°(2)由余弦定理，得cosA＝.∵cosA＝，
∴＝，化简并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc，所以32－()2＝3bc，即bc＝2.
则由解得或
规律方法　本题解题关键是通过三角恒等变换借助于A＋B＋C＝180°，求出A，并利用余弦定理列出关于b、c的方程组.
跟踪演练2　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＋c2－b2＝ac.
求2sin2＋sin2B的值.
解　由已知＝，
所以cosB＝，又B∈(0，π)，
所以sinB＝＝，
所以2sin2＋sin2B＝2cos2＋sin2B＝1＋cosB＋2sinBcosB
＝1＋＋2××＝.
要点三　正弦、余弦定理与平面向量的综合
例3　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB＝，且·＝－21.
(1)求△ABC的面积；
(2)若a＝7，求角C.
解　(1)∵·＝－21，∴·＝21.
∴·＝||·||·cosB＝accosB＝21.
∴ac＝35，∵cosB＝，∴sinB＝.
∴S△ABC＝acsinB＝×35×＝14.
(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝32，
∴b＝4.由正弦定理：＝.
∴sinC＝sinB＝×＝.
∵c∴C一定是锐角.∴C＝45°.
规律方法　这是一道向量与正弦、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系.
跟踪演练3　△ABC的三个内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sinC)，n＝(a＋c，sinB－sinA)，若m∥n，则角B的大小为.
答案　150°
解析　∵m∥n，∴(a＋b)(sinB－sinA)－sinC(a＋c)＝0，由正弦定理有(a＋b)(b－a)＝c(a＋c)，即a2＋c2－b2＝－ac，再由余弦定理，得cosB＝－，
∵B∈(0，π)，
∴B＝150°.
1.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则A＝(　　)
A.B.C.D.
答案　D
解析　由正弦定理，得2sinAsinB＝sinB，即sinA＝，因三角形为锐角三角形，所以A＝.
2.在△ABC中，若c＝2acosB，则△ABC的形状一定是(　　)
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
答案　C
解析　∵c＝2acosB，由正弦定理得2cosBsinA＝sinC＝sin (A＋B)，
∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin (A－B)＝0，∴A＝B.
3.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·＝.
答案　－
解析　根据余弦定理，cosA＝＝＝.·＝－·＝－3×2×＝－.
4.在△ABC中，cosB＝，b2－ac＝0，则△ABC的形状为三角形.
答案　等边
解析　∵cosB＝，0°∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝ac，
∴a2＋c2－2ac＝0，∴(a－c)2＝0.∴a＝c.
∴△ABC为等边三角形.
1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等).
2.对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系.再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论.
3.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解.
一、基础达标
1.在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是(　　)
A.1C.答案　C
解析　在钝角△ABC中，由于最大边为c，所以角C为钝角.所以c2>a2＋b2＝1＋4＝5，即c>，又因为c2.若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A. B.8－4
C.1 D.
答案　A
解析　由(a＋b)2－c2＝4得a2＋b2－c2＋2ab＝4　①，
由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝2abcos60°＝ab　②，
将②代入①得ab＋2ab＝4，所以ab＝.
3.设△ABC的内角，若bcosC＋ccosB＝asinA, 则△ABC的形状为(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
答案　B
解析　因bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理，得sinBcosC＋sinCcosB＝sinAsinA.
即sin(B＋C)＝sin2A，所以sinA＝sinAsinA，
所以sinA＝1，A＝.故选B.
4.在△ABC中，若a＝7，b＝8，cosC＝，则最大角的余弦是(　　)
A.－B.－C.－D.－
答案　C
解析　c2＝a2＋b2－2abcosC＝9，c＝3，B为最大角，
cosB＝＝＝－.
5.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若(a＋b＋c)·(sinA＋sinB－sinC)＝3asinB，则C＝(　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
答案　B
解析　根据正弦定理，由已知条件可得(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab，再根据余弦定理有cosC＝＝，故C＝60°.
6.已知锐角三角形的三边长分别为2,3，x，则x的取值范围是.
答案　(，)
解析　x满足：解得7.△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60°，∠ADC＝150°.
求①AC的长；②△ABC的面积.
解　在△ABC中，∠BAD＝150°－60°＝90°，
∴AD＝2sin60°＝.
在△ACD中，AC2＝()2＋12－2××1×cos150°＝7，
∴AC＝.
∵AB＝2cos60°＝1，
∴S△ABC＝×1×3×sin60°＝.
二、能力提升
8.在△ABC中，asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>b，则B等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由正弦定理，得sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，因为sinB≠0.
即sinAcosC＋sinCcosA＝，∴sin(A＋C)＝，
即sinB＝，∵a>b，∴B＝.
9.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　)
A.2B.2C.D.1
答案　B
解析　由正弦定理得：＝＝＝.
所以cosA＝，A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以c2＝a2＋b2＝4，所以c＝2.
10.在△ABC中，若lga－lgc＝lgsinA＝－lg，并且A为锐角，则△ABC为三角形.
答案　等腰直角
解析　∵lga－lgc＝lgsinA＝－lg，∴＝sinA＝，∵A为锐角，∴A＝45°，∵sinC＝sinA＝×sin45°＝1，∴C＝90°.
11.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，求sinC的值.
解　设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝a.在△ABD中，由余弦定理，得cosA＝＝＝.又∵A为△ABC的内角，
∴sinA＝.
在△ABC中，由正弦定理得，＝，
∴sinC＝·sinA＝·＝.
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R)，且ac＝b2.
(1)当p＝，b＝1时，求a，c的值；
(2)若角B为锐角，求p的取值范围.
解　(1)由题设并由正弦定理，得a＋c＝pb，所以a＋c＝.由解得或
(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝p2b2－b2－b2cosB，
即p2＝＋cosB.因为00，所以三、探究与创新
13.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cosB＝.
(1)求＋的值；
(2)设·＝，求a＋c的值.
解　(1)由cosB＝，且B∈(0，π)，
得sinB＝＝.
由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC.
于是＋＝＋
＝＝
＝＝＝.
(2)由·＝得ca·cosB＝，
由cosB＝，可得ca＝2，即b2＝2.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cosB，
得a2＋c2＝b2＋2ac·cosB＝5，
∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.