第8章 章末复习提升学案

1.三角形解的个数的确定
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理.
(1)利用正弦定理讨论：若已知a、b、A，由正弦定理＝，得sinB＝.若sinB>1，无解；
若sinB＝1，一解；若sinB<1，两解.
(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A.由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcosA，即c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解.
2.三角形形状的判定方法
判定三角形形状通常有两种途径：
一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系.如：
sinA＝sinB?A＝B；sin(A－B)＝0?A＝B；sin2A＝sin2B?A＝B或A＋B＝等；
二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如：sinA＝(R为△ABC外接圆半径)，cosA＝等，通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断.
3.解三角形应用题的基本思路
解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决.其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答.解题时还要注意近似计算的要求.
题型一　利用正弦、余弦定理解三角形
解三角形的一般方法是：
(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角.
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况.
(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.
例1　在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2＋c2－bc＝a2和＝＋，求A和tanB的值.
解　由余弦定理cosA＝＝，0°因此A＝60°.在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B.
由已知条件，应用正弦定理＋＝＝＝＝
＝＋，从而tanB＝.
跟踪演练1　如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度.
解　在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2，由余弦定理，得cosC＝＝，
∴sinC＝；在△ADC中，由正弦定理得，＝，∴AD＝×＝.
题型二　与解三角形有关的综合问题
该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.
例2　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－b)cosC＝c·cosB，△ABC的面积S＝10，c＝7.
(1)求角C；
(2)求a，b的值.
解　(1)∵(2a－b)cosC＝ccosB，
∴(2sinA－sinB)cosC＝sinCcosB，
2sinAcosC－sinBcosC＝cosBsinC，
即2sinAcosC＝sin (B＋C)，
∴2sinAcosC＝sinA.∵A∈(0，π)，∴sinA≠0，
∴cosC＝，∴C＝.
(2)由S＝absinC＝10，C＝，得ab＝40.①
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，
即c2＝(a＋b)2－2ab(1＋cos)，
∴72＝(a＋b)2－2×40×.∴a＋b＝13.②
由①②得a＝8，b＝5或a＝5，b＝8.
跟踪演练2　在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，若a＝2，C＝，cos＝，求△ABC的面积S.
解　因为cosB＝2cos2－1＝，所以sinB＝.
所以sinA＝sin(π－B－C)＝sin
＝sincosB－cossinB＝.
由正弦定理，得c＝＝，
所以S＝acsinB＝×2××＝.
题型三　正弦、余弦定理在实际中的应用
应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：
(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解；
(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.
例3　如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8s后监测点A,20s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.
(1)设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离PD(精确到0.01km).
解　(1)由题意PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝1.5×20＝30(km).
∴PB＝(x－12)(km)，PC＝(18＋x)(km).
在△PAB中，AB＝20km，
cos∠PAB＝＝＝.
同理cos∠PAC＝.
∵cos∠PAB＝cos∠PAC，
∴＝，解得x＝(km).
(2)在Rt△PDA中，PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x·＝≈17.71(km).
所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71km.
跟踪演练3　甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？
解　设甲、乙两船经t小时后相距最近，且分别到达P、Q两处，因乙船到达A处需2小时.
①当0≤t<2时，在△APQ中，AP＝8t，AQ＝20－10t，
所以PQ＝
＝
＝＝2.
②当t＝2时，PQ＝8×2＝16.
③当t>2时，在△APQ中，AP＝8t，AQ＝10t－20，
∴PQ＝
＝2.
综合①②③知，PQ＝2 (t≥0).
当且仅当t＝＝时，PQ最小.
答　甲、乙两船行驶小时后，相距最近.
题型四　函数与方程思想的应用
与函数思想相联系的就是方程思想.所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的联系.方程可以看作未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁.本章在利用正弦、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想.
例4　在△ABC中，已知A>B>C，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，求a，c的长.
解　由正弦定理得＝，
∵A＝2C，∴＝，∴a＝2ccosC.
又∵a＋c＝8，∴cosC＝，①
由余弦定理及a＋c＝8，得cosC＝＝＝＝.②
由①②知＝，整理得5c2－36c＋64＝0.
∴c＝或c＝4(舍去).
∴a＝8－c＝.故a＝，c＝.
跟踪演练4　已知函数f(x)＝sin2x－－，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；
(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝，f(C)＝0，若向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，求a，b的值.
解　(1)∵f(x)＝sin2x－－
＝sin－1，∴函数f(x)的最小值是－2，
最小正周期是T＝＝π.
(2)由题意得f(C)＝sin(2C－)－1＝0，
∴sin(2C－)＝1，
∵0∴2C－＝，∴C＝，
∵m∥n，∴＝，由正弦定理得，＝，①
由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos，
即3＝a2＋b2－ab，②
由①②解得a＝1，b＝2.
1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B等价于a>b等价于sinA>sinB.
2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
3.正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.