第10章 习题课 简单的线性规划学案
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习题课 简单的线性规划
[学习目标] 1.加深对二元一次不等式组及其几何意义的了解.2.能熟练地用平面区域表示二元一次不等式组.3.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.4.会求一些简单的非线性函数的最值.
[预习导引]
1.二元一次不等式的几何意义
对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B>0时，
(1)Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；
(2)Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域.
2.用图解法解线性规划问题的步骤：
(1)确定线性约束条件；
(2)确定线性目标函数；
(3)画出可行域；
(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解.
3.线性规划在实际问题中的题型
主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.
要点一 二元一次不等式表示的平面区域
在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x＝m逐条分段统计.
例1 画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x，y的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？
解 (1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合.
所以，不等式组
表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8].
(2)由图形及不等式组知
当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；
当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；
当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；
当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；
当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；
当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；
∴平面区域内的整点共有
2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个).
跟踪演练1 在平面直角坐标系中，有两个区域M，N，M是由三个不等式y≥0，y≤x和y≤2－x确定的；N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t＋1(0≤t≤1)所确定.设M，N的公共部分的面积为f(t)，则f(t)等于( )
A.－2t2＋2t B.(t－2)2
C.1－t2 D.－t2＋t＋
答案 D
解析 作出由不等式组组成的平面区域M，即△AOE表示的平面区域，
当t＝0时，f(0)＝×1×1＝，
当t＝1时，f(1)＝×1×1＝，
当0＝－t2＋t＋，
即f(t)＝－t2＋t＋，此时f(0)＝，f(1)＝，
综上可知选D.
要点二 生活实际中的线性规划问题
1.求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域，再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值.
2.线性目标函数z＝ax＋by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax＋by＝0在可行域内向上平移到边界(一般是两直线交点)的位置得到的，当b<0时，则是向下方平移.
例2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
解 将已知数据列成下表：
原料/10g
蛋白质/单位
铁质/单位
甲
5
10
乙
7
4
费用
3
2
设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg，总费用为z，
那么目标函数为z＝3x＋2y，
作出可行域如图所示：
把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一簇平行直线.
由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小.
由得A(，3)，
∴zmin＝3×＋2×3＝14.4.
∴甲种原料×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省.
规律方法 数学应用题解决的关键就在于正确地审清题意，正确地建模，切忌对题意盲加猜测，不按题意去解.另外解决这类题目时，要特别注意，目标函数所代表的直线斜率与边界直线斜率大小的比较，忽视了这一点，往往会出错.
跟踪演练2 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大.
答案 20 24
解析 设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元，
依题意约束条件为
目标函数为S＝7x＋12y.可行域如图所示，
从图中可以看出，当直线S＝7x＋12y经过点A时，直线在y轴上截距最大，所以S也取最大值.解方程组
得
A(20,24)，故当x＝20，y＝24时，Smax＝7×20＋12×24＝428(万元).
要点三 数形结合思想的应用
1.求解目标函数不是直线形式的最值的思维程序是：
→→→
2.常见代数式的几何意义主要有以下几点：
(1)表示点(x，y)与点(a，b)的距离；表示点(x，y)与原点(0,0)的距离.
(2)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率；表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率.
这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键.
例3 变量x、y满足
(1)设z＝4x－3y，求z的最大值；
(2)设z＝，求z的最小值；
(3)设z＝x2＋y2，求z的取值范围.
解 由约束条件
作出(x，y)的可行域如图所示.
由解得A.
由解得C(1,1).
由，解得B(5,2).
(1)由z＝4x－3y，得y＝x－.
当直线y＝x－过点B时，－最小，z最大.
∴zmax＝4×5－3×2＝14.
(2)∵z＝＝，
∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.
观察图形可知zmin＝kOB＝.
(3)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.∴2≤z≤29.
跟踪演练3 已知实数x、y满足求z＝x2＋y2的最大值，并求出z取最大值时x、y的值.
解 根据条件，作出可行域，如图，z＝x2＋y2可看成可行域内的点(x，y)到原点的距离的平方，因此，要使z最大，只需在可行域内找出到原点距离最大的点即可.显然，A(3,5)到原点的距离最大，因此最优解为(3,5)，即x＝3，y＝5时，zmax＝32＋52＝34.
1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )
A.5种B.6种C.7种D.8种
答案 C
解析 设购买软件x片，磁盘y盒.
则画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示.
落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)，共7个整点.
2.已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2＋y2的最大值为( )
A.B.8C.16D.10
答案 D
解析 画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A(1,1)，|OA|＝，B(2,2)，|OB|＝2，C(1,3)，|OC|＝.
∴(x2＋y2)max＝|OC|2＝()2＝10.
3.若x，y满足则z＝的最大值是________.
答案 3
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界).z＝可看作可行域上的点(x，y)与定点B(1,1)连线的斜率.由图可知z＝的最大值为kAB＝3.
4.已知实数x，y满足则z＝x2＋y2的最小值为____________.
答案
解析 实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin＝2＝.
1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范.
2.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.
一、基础达标
1.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
A.2000元B.2200元
C.2400元D.2800元
答案 B
解析 设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，
根据题意，得线性约束条件
求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值，
解得当时，zmin＝2200(元).
2.某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A.36万元 B.31.2万元
C.30.4万元 D.24万元
答案 B
解析 设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，
可获得利润为z万元，则
z＝0.4x＋0.6y.
由图象知，目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值.
∴ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元).
3.已知实数x，y满足则的最大值为________.
答案 2
解析 画出不等式组
对应的平面区域Ω，
＝表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率.A(1,2)，B(3,0)，
∴0≤≤2.
4.某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元.
答案 2300
解析 设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，
则目标函数为z＝200x＋300y.
作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2300元.
5.画出不等式组表示的平面区域.
解 不等式x<3表示直线x＝3左侧点的集合；不等式2y≥x，即x－2y≤0表示直线x－2y＝0上及左上方点的集合；不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0上及右上方点的集合；不等式3y0表示直线x－3y＋9＝0右下方点的集合.综上可得，不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分.
6.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域.
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，此时z取最大值.
解方程组
得x＝4，y＝6，此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元).
∵7>0，∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值.
答 投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.
7.家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.
(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
(3)怎样安排生产可使所得利润最大？
解 由题意可画表格如下：
方木料(m3)
五合板(m2)
利润(元)
书桌(个)
0.1
2
80
书橱(个)
0.2
1
120
(1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，
则??x≤300.
所以当x＝300时，zmax＝80x＝80×300＝24000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元.
(2)设只生产书橱y个，可获得利润z元，
则??y≤450.
所以当y＝450时，zmax＝120y＝120×450＝54000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元.
(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，
则?
z＝80x＋120y.
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域.
作直线l：80x＋120y＝0，即直线l：2x＋3y＝0.
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值.
由
解得点M的坐标为(100,400).
所以当x＝100，y＝400时，
zmax＝80×100＋120×400＝56000(元).
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大.
二、能力提升
8.已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是( )
A.[－1,0]B.[0,1]C.[0,2]D.[－1,2]
答案 C
解析 满足约束条件的平面区域为如右图所示的PQS所在的平面区域.设M点坐标为(x，y)，
则·＝－x＋y，令z＝－x＋y，则y＝x＋z，移动直线y＝x可知，当直线y＝x＋z过点S(1,1)时z最小，过点P(0,2)时z最大.所以zmin＝－1＋1＝0，zmax＝0＋2＝2.
9.实数x，y满足不等式组则ω＝的取值范围是________.
答案
解析 如图，画出满足不等式组的解(x，y)构成的可行域△ABO，求得B(2,2)，根据目标函数的几何意义是可行域上一点与点(－1,1)连线的斜率，可求得目标函数的最小值为－1，最大值为.故ω的取值范围是.
10.某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2m2，可同时做A，B的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3m2，可做A，B的外壳分别为6个和6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小.
解 设用甲种薄钢板x张，乙种薄钢板y张，则可做A种产品外壳3x＋6y个，B种产品外壳5x＋6y个，由题意可得
所有的薄钢板的总面积是z＝2x＋3y.
可行域为如图所示的阴影部分，其中l1：3x＋6y＝45；l2：5x＋6y＝55，l1与l2的交点为A(5，5)，因目标函数z＝2x＋3y在可行域上的最小值在区域边界的A(5,5)处取得，此时z的最小值为2×5＋3×5＝25.即甲、乙两种薄钢板各5张，能保证制造A，B的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小.
11.画出2x－3解 所给不等式等价于
依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1).
对于2x－3可知，在该区域内有整数解(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组.
三、探究与创新
12.咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯分别用奶粉、咖啡、糖9g、4g、3g；乙种饮料每杯分别用奶粉、咖啡、糖4g、5g、10g，已知每天使用原料限额为奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g，如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料使用的限额内，饮料能全部售完，问咖啡馆每天怎样安排配制饮料获利最大？
解 设咖啡馆每天配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，获利z元.得目标函数z＝0.7x＋1.2y，
x，y的线性约束条件
作出可行域如下图，
如图所示，在点C(200,240)处，
即x＝200，y＝240时，zmax＝428(元).
答 咖啡馆每天配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯，能使咖啡馆获利最大.
[学习目标] 1.加深对二元一次不等式组及其几何意义的了解.2.能熟练地用平面区域表示二元一次不等式组.3.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.4.会求一些简单的非线性函数的最值.
[预习导引]
1.二元一次不等式的几何意义
对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B>0时，
(1)Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；
(2)Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域.
2.用图解法解线性规划问题的步骤：
(1)确定线性约束条件；
(2)确定线性目标函数；
(3)画出可行域；
(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解.
3.线性规划在实际问题中的题型
主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.
要点一 二元一次不等式表示的平面区域
在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x＝m逐条分段统计.
例1 画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x，y的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？
解 (1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合.
所以，不等式组
表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8].
(2)由图形及不等式组知
当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；
当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；
当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；
当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；
当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；
当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；
∴平面区域内的整点共有
2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个).
跟踪演练1 在平面直角坐标系中，有两个区域M，N，M是由三个不等式y≥0，y≤x和y≤2－x确定的；N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t＋1(0≤t≤1)所确定.设M，N的公共部分的面积为f(t)，则f(t)等于( )
A.－2t2＋2t B.(t－2)2
C.1－t2 D.－t2＋t＋
答案 D
解析 作出由不等式组组成的平面区域M，即△AOE表示的平面区域，
当t＝0时，f(0)＝×1×1＝，
当t＝1时，f(1)＝×1×1＝，
当0
即f(t)＝－t2＋t＋，此时f(0)＝，f(1)＝，
综上可知选D.
要点二 生活实际中的线性规划问题
1.求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域，再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值.
2.线性目标函数z＝ax＋by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax＋by＝0在可行域内向上平移到边界(一般是两直线交点)的位置得到的，当b<0时，则是向下方平移.
例2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
解 将已知数据列成下表：
原料/10g
蛋白质/单位
铁质/单位
甲
5
10
乙
7
4
费用
3
2
设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg，总费用为z，
那么目标函数为z＝3x＋2y，
作出可行域如图所示：
把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一簇平行直线.
由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小.
由得A(，3)，
∴zmin＝3×＋2×3＝14.4.
∴甲种原料×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省.
规律方法 数学应用题解决的关键就在于正确地审清题意，正确地建模，切忌对题意盲加猜测，不按题意去解.另外解决这类题目时，要特别注意，目标函数所代表的直线斜率与边界直线斜率大小的比较，忽视了这一点，往往会出错.
跟踪演练2 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大.
答案 20 24
解析 设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元，
依题意约束条件为
目标函数为S＝7x＋12y.可行域如图所示，
从图中可以看出，当直线S＝7x＋12y经过点A时，直线在y轴上截距最大，所以S也取最大值.解方程组
得
A(20,24)，故当x＝20，y＝24时，Smax＝7×20＋12×24＝428(万元).
要点三 数形结合思想的应用
1.求解目标函数不是直线形式的最值的思维程序是：
→→→
2.常见代数式的几何意义主要有以下几点：
(1)表示点(x，y)与点(a，b)的距离；表示点(x，y)与原点(0,0)的距离.
(2)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率；表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率.
这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键.
例3 变量x、y满足
(1)设z＝4x－3y，求z的最大值；
(2)设z＝，求z的最小值；
(3)设z＝x2＋y2，求z的取值范围.
解 由约束条件
作出(x，y)的可行域如图所示.
由解得A.
由解得C(1,1).
由，解得B(5,2).
(1)由z＝4x－3y，得y＝x－.
当直线y＝x－过点B时，－最小，z最大.
∴zmax＝4×5－3×2＝14.
(2)∵z＝＝，
∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.
观察图形可知zmin＝kOB＝.
(3)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.∴2≤z≤29.
跟踪演练3 已知实数x、y满足求z＝x2＋y2的最大值，并求出z取最大值时x、y的值.
解 根据条件，作出可行域，如图，z＝x2＋y2可看成可行域内的点(x，y)到原点的距离的平方，因此，要使z最大，只需在可行域内找出到原点距离最大的点即可.显然，A(3,5)到原点的距离最大，因此最优解为(3,5)，即x＝3，y＝5时，zmax＝32＋52＝34.
1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )
A.5种B.6种C.7种D.8种
答案 C
解析 设购买软件x片，磁盘y盒.
则画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示.
落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)，共7个整点.
2.已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2＋y2的最大值为( )
A.B.8C.16D.10
答案 D
解析 画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A(1,1)，|OA|＝，B(2,2)，|OB|＝2，C(1,3)，|OC|＝.
∴(x2＋y2)max＝|OC|2＝()2＝10.
3.若x，y满足则z＝的最大值是________.
答案 3
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界).z＝可看作可行域上的点(x，y)与定点B(1,1)连线的斜率.由图可知z＝的最大值为kAB＝3.
4.已知实数x，y满足则z＝x2＋y2的最小值为____________.
答案
解析 实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin＝2＝.
1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范.
2.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.
一、基础达标
1.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
A.2000元B.2200元
C.2400元D.2800元
答案 B
解析 设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，
根据题意，得线性约束条件
求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值，
解得当时，zmin＝2200(元).
2.某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A.36万元 B.31.2万元
C.30.4万元 D.24万元
答案 B
解析 设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，
可获得利润为z万元，则
z＝0.4x＋0.6y.
由图象知，目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值.
∴ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元).
3.已知实数x，y满足则的最大值为________.
答案 2
解析 画出不等式组
对应的平面区域Ω，
＝表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率.A(1,2)，B(3,0)，
∴0≤≤2.
4.某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元.
答案 2300
解析 设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，
则目标函数为z＝200x＋300y.
作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2300元.
5.画出不等式组表示的平面区域.
解 不等式x<3表示直线x＝3左侧点的集合；不等式2y≥x，即x－2y≤0表示直线x－2y＝0上及左上方点的集合；不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0上及右上方点的集合；不等式3y
6.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域.
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，此时z取最大值.
解方程组
得x＝4，y＝6，此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元).
∵7>0，∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值.
答 投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.
7.家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.
(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
(3)怎样安排生产可使所得利润最大？
解 由题意可画表格如下：
方木料(m3)
五合板(m2)
利润(元)
书桌(个)
0.1
2
80
书橱(个)
0.2
1
120
(1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，
则??x≤300.
所以当x＝300时，zmax＝80x＝80×300＝24000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元.
(2)设只生产书橱y个，可获得利润z元，
则??y≤450.
所以当y＝450时，zmax＝120y＝120×450＝54000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元.
(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，
则?
z＝80x＋120y.
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域.
作直线l：80x＋120y＝0，即直线l：2x＋3y＝0.
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值.
由
解得点M的坐标为(100,400).
所以当x＝100，y＝400时，
zmax＝80×100＋120×400＝56000(元).
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大.
二、能力提升
8.已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是( )
A.[－1,0]B.[0,1]C.[0,2]D.[－1,2]
答案 C
解析 满足约束条件的平面区域为如右图所示的PQS所在的平面区域.设M点坐标为(x，y)，
则·＝－x＋y，令z＝－x＋y，则y＝x＋z，移动直线y＝x可知，当直线y＝x＋z过点S(1,1)时z最小，过点P(0,2)时z最大.所以zmin＝－1＋1＝0，zmax＝0＋2＝2.
9.实数x，y满足不等式组则ω＝的取值范围是________.
答案
解析 如图，画出满足不等式组的解(x，y)构成的可行域△ABO，求得B(2,2)，根据目标函数的几何意义是可行域上一点与点(－1,1)连线的斜率，可求得目标函数的最小值为－1，最大值为.故ω的取值范围是.
10.某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2m2，可同时做A，B的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3m2，可做A，B的外壳分别为6个和6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小.
解 设用甲种薄钢板x张，乙种薄钢板y张，则可做A种产品外壳3x＋6y个，B种产品外壳5x＋6y个，由题意可得
所有的薄钢板的总面积是z＝2x＋3y.
可行域为如图所示的阴影部分，其中l1：3x＋6y＝45；l2：5x＋6y＝55，l1与l2的交点为A(5，5)，因目标函数z＝2x＋3y在可行域上的最小值在区域边界的A(5,5)处取得，此时z的最小值为2×5＋3×5＝25.即甲、乙两种薄钢板各5张，能保证制造A，B的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小.
11.画出2x－3
依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1).
对于2x－3
三、探究与创新
12.咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯分别用奶粉、咖啡、糖9g、4g、3g；乙种饮料每杯分别用奶粉、咖啡、糖4g、5g、10g，已知每天使用原料限额为奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g，如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料使用的限额内，饮料能全部售完，问咖啡馆每天怎样安排配制饮料获利最大？
解 设咖啡馆每天配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，获利z元.得目标函数z＝0.7x＋1.2y，
x，y的线性约束条件
作出可行域如下图，
如图所示，在点C(200,240)处，
即x＝200，y＝240时，zmax＝428(元).
答 咖啡馆每天配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯，能使咖啡馆获利最大.