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《14.3.1因式分解—提公因式法》导学案
课题 因式分解——提公因式法 学科 数学 年级 八年级上册
教学目标 1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法。3.让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。
重点难点 重点：因式分解的概念及提公因式法。难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。
教学过程
知识链接 近年来，我国土地沙漠化问题严重，有 3 队青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植树造林活动. 每队都种树 37 行，其中一队种树 102 列，二队种树93 列，三队种树 105 列，完成这次植树活动共需要多少棵树苗？ 用两种不同的方法列式： 比较哪种方法更简单？通过计算的结果，你发现什么？
合作探究 1、试一试x(x+1) =_______ 2(x+3) =_______ . m(a+b+c) =________ 2、你会做下面的填空吗？ x2+x=_______ . 2x+6 =_______ . ma+mb+mc =_______ . 通过1、2的计算你发现什么？因式分解与整式乘法有什么关系？ 问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ pa +pb +pcx2＋x多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的________. 你能试着将多项式 pa+pb+pc 因式分解吗？ pa+pb+pc＝_________ 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式．这种分解因式的方法叫做__________．问题2、如何确定一个多项式的公因式？ 说一说下列各多项式的公因式. 例1、把下列各式分解因式 (1) 8a3b2 + 12ab3c；(2) 2a(b+c) - 3(b+c). 判断： （1）小明的解法有误吗？ 把18x3y-27x2y2分解因式. 解：原式 =3x2y(6x- 9y). （2）小亮的解法有误吗？ 把2a2 - 4ab+a分解因式. 解：原式 =a(2a-4b). （3）小美的解法有误吗？ 把 - m2+ma-mb分解因式. 解：原式= - m(m+a-b). 例2、请用简便的方法计算下列式子： (1)39×37－13×91； (2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.
自主尝试 1．下列式子是因式分解的是( )A．x(x－1)＝x2－1 B．x2－x＝x(x＋1) C．x2＋x＝x(x＋1) D．x2－x＝(x＋1)(x－1) 2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )A．a(x－y)＝ax－ayB．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x3－x＝x(x＋1)(x－1) 3.写出下列多项式各项的公因式. （1）ma+mb （2）4kx－8ky （3）5y3+20y2 （4）a2b－2ab2+ab
当堂检测 1.若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是( )A．3 B．2 C．1 D．－1 2.把多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)， 则m＝________，n＝________．3.将下列各式分解因式： (1)x4＋x3＋x； (2)x(x－y)＋y(y－x) (4)(a2－ab)＋c(a－b)； (5)4q(1－p)3＋2(p－1)2. 4.计算： 24×33+63×32-5×34 5.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．
小结反思 通过本节课学习你收获了什么
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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《14.3.1因式分解—提公因式法》导学案
课题 因式分解——提公因式法 学科 数学 年级 八年级上册
教学目标 1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法。3.让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。
重点难点 重点：因式分解的概念及提公因式法。难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。
教学过程
知识链接 近年来，我国土地沙漠化问题严重，有 3 队青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植树造林活动. 每队都种树 37 行，其中一队种树 102 列，二队种树93 列，三队种树 105 列，完成这次植树活动共需要多少棵树苗？ 列式：① 37 × 102 + 37 × 93 + 37 × 105 ② 37 × (102 + 93 + 105) 比较哪种方法更简单？通过计算的结果，你发现什么？ 37 × 102 + 37 × 93 + 37 × 105=37 × (102 + 93 + 105) m × a + m × b + m × c = m × (a + b + c) 我们学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式．反过来，在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式．
合作探究 1、试一试x(x+1) =_______ 2(x+3) =_______ . m(a+b+c) =________ 2、你会做下面的填空吗？ x2+x=_______ . 2x+6 =_______ . ma+mb+mc =_______ . 通过1、2的计算你发现什么？这几个等式的等号右边多项式，这几个等式的等号右边是几个整式的积的形式。在第一组的整式乘法的计算上，学生通过对第一组式子的观察得出第二组式子的结果，然后通过对这两组式子的结果的比较，使学生对因式分解有一个初步的意识，由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力。 因式分解与整式乘法有什么关系？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.注意：①分解的对象为多项式；②分解的结果为几个整式积的形式如：x2+x=___________问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ pa +pb +pc(相同因式p)x2＋x(相同因式x)多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式. 你能试着将多项式 pa+pb+pc 因式分解吗？ pa+pb+pc＝ p(a+b+c) 公因式 提公因式法一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．问题2、如何确定一个多项式的公因式？ 公共的因式→公因式 说一说下列各多项式的公因式. 一定系数 二定字母 三定指数 例1、把下列各式分解因式 (1) 8a3b2 + 12ab3c；(2) 2a(b+c) - 3(b+c). 分析：提公因式法步骤（分两步） 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 解：（1） 8a3b2 + 12ab3c=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc=4ab2(2a2+3bc)； （2） 2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3). 判断： （1）小明的解法有误吗？ 把18x3y-27x2y2分解因式. 解：原式 =3x2y(6x- 9y). 错，公因式没有提尽，还可以提出公因式2.正解：原式=9x2y(2x- 3y) （2）小亮的解法有误吗？ 把2a2 - 4ab+a分解因式. 解：原式 =a(2a-4b). 当错误，多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1. 正确，解：原式=2a·a-4a·b+1·a =a(2a-4b+1) （3）小美的解法有误吗？ 把 - m2+ma-mb分解因式. 解：原式= - m(m+a-b). 错误，提负号时括号里的项没变号 正确解：原式= - (m2-ma+mb)=- m(m-a+b) 例2、请用简便的方法计算下列式子： (1)39×37－13×91； (2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14. 解：(1)原式＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260 (2)原式＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016 方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
自主尝试 1．下列式子是因式分解的是( )CA．x(x－1)＝x2－1 B．x2－x＝x(x＋1) C．x2＋x＝x(x＋1) D．x2－x＝(x＋1)(x－1) 2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )DA．a(x－y)＝ax－ayB．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x3－x＝x(x＋1)(x－1) 3.写出下列多项式各项的公因式. （1）ma+mb （2）4kx－8ky （3）5y3+20y2 （4）a2b－2ab2+ab 答案：m,4k,5y2,ab小结：正确找出多项式的公因式的步骤：※1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.※2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. ※3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
当堂检测 1.若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是( )AA．3 B．2 C．1 D．－1 2.把多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)， 则m＝________，n＝________．答案：6,13.将下列各式分解因式： (1)x4＋x3＋x； (2)x(x－y)＋y(y－x) 解：原式＝x(x3＋x2＋1) 解：原式＝(x－y)2 (4)(a2－ab)＋c(a－b)； (5)4q(1－p)3＋2(p－1)2. 解：原式＝(a＋c)(a－b) 解：原式＝2(1－p)2(2q－2pq＋1) 4.计算： 24×33+63×32-5×34解：原式=8×3×33+7×3×3×32-5×34=34×（8+7-5） =34×10 =810 5.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由． 解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab－c－2bc＝0， (a－c)＋2b(a－c)＝0，(a－c)(1＋2b)＝0， ∴a－c＝0或1＋2b＝0， 即a＝c或b＝－0.5(舍去)， ∴△ABC是等腰三角形．
小结反思 通过本节课学习你收获了什么
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(共24张PPT)
14.3.1因式分解
——提公因式法
人教版 八年级上
新知导入
近年来，我国土地沙漠化问题严重，有 3 队青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植树造林活动. 每队都种树 37 行，其中一队种树 102 列，二队种树93 列，三队种树 105 列，完成这次植树活动共需要多少棵树苗？
① 37 × 102 + 37 × 93 + 37 × 105
② 37 × (102 + 93 + 105)
列式
比较哪种方法更简单？通过计算的结果，你发现什么？
37 × 102 + 37 × 93 + 37 × 105=37 × (102 + 93 + 105)
m × a + m × b + m × c = m× (a + b + c)
2x+6 =_______ .
x2+x=_______ .
新知讲解
m(a+b+c) =_______ .
x(x+1) =_______ .
2(x+3) =_______ .
1、试一试
2、你会做下面的填空吗？
x2+x=_______ .
2x+6 =_______ .
ma+mb+mc =_______ .
m(a+b+c) =________
x(x+1) =_______ .
2(x+3) =_______ .
这几个等式的等号右边是几个整式的积的形式
这几个等式的等号是右边多项式
通过1、2的计算你发现什么？
x2+x
2x+6
ma+mb+mc
x(x+1)
2(x+3)
m(a+b+c)
2、你会做下面的填空吗？
如：x2+x=___________
新知讲解
注意：①分解的对象为多项式；②分解的结果为几个整式积的形式
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解
整式乘法
因式分解与整式乘法有什么关系？
互逆变形
巩固练习
1．下列式子是因式分解的是( )
A．x(x－1)＝x2－1
B．x2－x＝x(x＋1)
C．x2＋x＝x(x＋1)
D．x2－x＝(x＋1)(x－1)
2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3
D．x3－x＝x(x＋1)(x－1)
C
D
领会概念：因式分解：分解成几个多项式积的形式
新知讲解
pa +pb +pc
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.
相同因式p
问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？
x2 ＋ x
相同因式x
新知讲解
你能试着将多项式 pa+pb+pc 因式分解吗？
pa+pb+pc＝ p(a+b+c)
公因式
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．
新知讲解
问题2、如何确定一个多项式的公因式？
公共的因式
公因式
说一说下列各多项式的公因式.
一定系数 二定字母 三定指数
a
2x2
3ab
最大公约数
相同字母
最低指数
巩固练习
3.写出下列多项式各项的公因式.
（1）ma+mb
（2）4kx－8ky
（3）5y3+20y2
（4）a2b－2ab2+ab
m
4k
5y2
ab
新知讲解
正确找出多项式的公因式的步骤：
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
归纳：
例题讲解
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
例1、把下列各式分解因式
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
(2) 2a(b+c) - 3(b+c).
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
例题讲解
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)；
如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公式？
另一个因式将是2a2b+3b2c,
它还有公因式是b.
（2） 2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算.
巩固练习
注意：公因式要提尽.
正解：原式=9x2y(2x- 3y)
小明的解法有误吗？
判断：
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
注意：某项提出莫漏1.
正确解：原式=2a·a-4a·b+1·a
=a(2a-4b+1)
小亮的解法有误吗？
巩固练习
提负号时括号里的项没变号
把 - m2+ma-mb分解因式.
解：原式= - m(m+a-b).
注意：首项有负常提负.
正确解：原式= - (m2-ma+mb)
=- m(m-a+b)
小美的解法有误吗？
巩固练习
例题讲解
例2、请用简便的方法计算下列式子：
(1)39×37－13×91；
(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.
(2)原式＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016
＝13×20＝260
解：(1)原式＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
拓展提高
1.若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
2.把多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，
则m＝________，n＝________．
6
1
A
拓展提高
3.将下列各式分解因式：
(1)x4＋x3＋x； (2)x(x－y)＋y(y－x)
(4)(a2－ab)＋c(a－b)； (5)4q(1－p)3＋2(p－1)2.
解：原式＝x(x3＋x2＋1)
解：原式＝(x－y)2
解：原式＝(a＋c)(a－b)
解：原式＝2(1－p)2(2q－2pq＋1)
拓展提高
4.计算： 24×33+63×32-5×34
解：原式=8×3×33+7×3×3×32-5×34
=34×（8+7-5）
=34×10
=810
拓展提高
5.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．
∴△ABC是等腰三角形．
解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab－c－2bc＝0，
(a－c)＋2b(a－c)＝0，(a－c)(1＋2b)＝0，
∴a－c＝0或1＋2b＝0，
即a＝c或b＝－0.5(舍去)，
课堂总结
1.一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法
2.分解因式的方法：
注意符号变化
通过本课时的学习，需要我们掌握：
作业布置
教材115页练习1、2、3
谢谢
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