湘教版九年级数学上册第4章 锐角三角函数4.1 正弦和余弦教学课件（共41张）

(共41张PPT)

正弦和余弦
教学课件
湘教版九年级上册
01 新课导入
目录
03 典型例题
02 新知探究
04 拓展提高
05 课堂小结
06 作业布置
01 新课导入

新课导入
如图，是上海东方明珠电视塔的远景图，同学们能测量出它的高度吗？

小明不会计算呀。
在测量高度或者距离的问题的时候，我们一般可以利用锐角三角函数的相关知识来解决。通过这节课的学习我们就可以解决小明同学的问题了。
02 新知探究

新知探究
1.正弦的概念

为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡脚 (∠A )为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？

30°

新知探究

1.正弦的概念
A
B
C

30°
35m
解：如图在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°, BC = 35 m，求AB.
根据“在直角三角形中，30°角所对的
边等于斜边的一半”. 即


可得 AB = 2BC =70 (m). 即需要准备 70 m 长的水管.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .

新知探究

任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？

A
B
C

A'
B'
C'
1.正弦的概念

新知探究

因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值．

1.正弦的概念

新知探究

如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
例如，当∠A＝30°时，我们有

A
B
C
c
a
b
对边
斜边

∠A的对边
斜边
sin A =
1.正弦的概念

新知探究
练一练

1.如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于 ( )


O
x
y
P (a，b)

α
A. B.
C. D.
D

新知探究
正弦的简单应用

如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.

A
B
C
提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长. 然后再利用勾股定理，求出 BC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.

新知探究
2.正弦的简单应用

解：∵ ∴
∴ AB = 3BC =3×3=9.
∴
∴
∴

新知探究
小归纳

在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，AB = c，则
BC = ck，
AC = ch.
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，BC=a，则
AB =
AC =

新知探究
练一练

2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=6，则
AB 的长为 ( )
D
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
3. 在△ABC中，∠C=90°，如果 sinA = ，AB=6，
那么BC=___.
2

新知探究
特殊角的正弦值

如何求sin 45°的值？
如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°.
于是∠B=45°.
从而AC=BC．
根据勾股定理，得
AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2.
于是AB= BC.
因此sin45°=

新知探究
小归纳

30°、45°、60°角的正弦值如下表：
锐角a
三角
函数 30° 45° 60°
sin a

新知探究
利用计算器求正弦值

例如：求50°角的正弦值，可以在计算器上依次按键
，显示结果为0.7660…
至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）的正弦值，而对于一般锐角α的正弦值，我们可以利用计算器来求.

新知探究
做一做

已知sinA=0.501 8，用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：
第一步：按计算器 键，
第二步：然后输入函数值0. 501 8
屏幕显示答案： 30.119 158 67°
2nd F
sin

新知探究
2.余弦

在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．

如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即


A
B
C

斜边
邻边

∠A的邻边
斜边
cos A =

新知探究
小归纳

1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).
2.sinA、 cosA是一个比值（数值）.
3.sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.

新知探究
练一练

4. 求 cos30°，cos60°，cos45°的值．
解：cos30°= sin (90°－30°) = sin60° = ；
cos60°= sin (90°－60°) = sin30°=
cos45°= sin (90°－45°) = sin45°=

新知探究
练一练

5.在Rt△ABC中,∠C=90°,如图,已知AC=3,AB=6,
求sinA和cosB.
┌
B
C
A
3

6
想一想:我们发现sinA=cosB,其中有没有什么内在的关系?
解：在Rt△ABC中，∵AB=6，AC=3
∴
∴


新知探究
小归纳

从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有
cos α = sin (90°－α)

从而有
sin α = cos (90°－α)

新知探究
小归纳

如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，

sinA=cosB

A
B
C

∠A 的对边a
∠A 的邻边b
c

新知探究
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，

B
A
C
∠A 的对边a
∠A 的邻边b
小归纳


03 典型例题


典型例题
1.在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则 的值是 ( )
A
2.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinB的值是 ( )
D


典型例题
3.如果△ABC中，sinA=cosB= ，则下列最准确的结论是（ ）
C
A △ABC是直角三角形

B △ABC是等腰三角形

C △ABC是等腰直角三角形

D △ABC是锐角三角形
4.如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.

解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA .
A (0，3)
在△APO中，由勾股定理得

=5
因此

α
方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.


典型例题
5.在△ABC中，∠C=90°，BC=24cm，cosA= ，求这个三角形的周长.


典型例题
解：cosA=，BC=24
∴
∴ =2
∴
∴ △ABC60cm
04 拓展提高

拓展提高
如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），DP交AC与点Q.
(1)求证：△APQ∽△CDQ
(2)当PD⊥AC时，求线段PA的长度
(3)当点P在线段AC的垂直平分线上时，求sin∠CPB的值
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB
∴∠QAP=∠QCD，∠QPA=∠QDC，
∴△APQ∽△CDQ

拓展提高
解：(2)∵PD⊥AC，∴∠QDC+∠QCD=90°又∠QDC+∠QDA=90°
(2)当PD⊥AC时，求线段PA的长度
∴∠QCD=∠QDA，又∠DAP=∠CDA=90°，
∴△DAP∽△CDA
∴ ，即
解得 AP=

拓展提高
解：(3)连接PC
(3)当点P在线段AC的垂直平分线上时，求sin∠CPB的值
∵点P在线段AC的垂直平分线上
∴PC=PA
设PA= ,则PC= ，PB=10-
由勾股定理得，PC2=PB2+BC2，即
解得=
∴PC=PA=
∴sin∠CPB=
05 课堂小结

课堂小结
正弦函数

正弦函数的概念
正弦函数的应用
已知边长求正弦值
已知正弦值求边长
∠A的对边
斜边
sin A =


课堂小结
余弦

余弦的概念：在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫做角α的余弦
余弦的性质：α确定的情况下，cosα为定值，与三角形的大小无关
用计算器解决余弦问题
06 作业布置
1、巩固本节所学
2、完成课本习题 4.1 A、B组

作业布置
谢 谢 观 看