2.4 抛物线培优训练（解析版）

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抛物线培优训练
1．抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【解析】由焦点坐标为
故选：C
2．已知抛物线的焦点是F,点A、B、C在抛物线上,为坐标原点,若点F为△ABC的重心,△、△、△面积分别记为则的值为（ ）
A. B. C. D.
【解析】设,所以有抛物线的焦点坐标为,△ABC的重心坐标为,由题意可知：,即.
,
所以.
故选：B
3．已知抛物线，则焦点到准线的距离是（ ）
A. B. C.3 D.
【解析】由题意，抛物线，即，解得，
所以焦点到准线的距离是，故选A.
4．过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【解析】设直线与轴相交于点，与直线相交于点，，

设，因为，所以，
所以，解得：，设，由焦半径公式得：，
所以，，
所以，
所以点到直线的距离为.
5．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|PA|＋|PM|的最小值是(　　)
A. B.4 C. D.5
【解析】设抛物线的焦点为F，则，
∴.∴.
将代入抛物线方程y2＝2x，得，
∵，∴点A在抛物线的外部，
∴当P，A，F三点共线时，|PA|＋|PF|有最小值．
∵，∴，
∴|PA|＋|PM|有最小值.
故答案选C
6．已知直线与抛物线相交于，两点，为的焦点，若，则点到抛物线的准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设抛物线的准线方程为，直线恒过定点，
如图过分别作于，于，连接，
由，则，点为的中点，
因为点是的中点，则，
所以，所以点的横坐标为1，所以点的坐标为，
同理可得点 ，所以点到抛物线准线的距离为 ，故选A.


7．已知抛物线上的点，则到准线的距离为________
【解析】由抛物线上的点可得，所以抛物线方程：，
准线方程为，则到准线的距离为
故答案为：
8．已知点E是抛物线C:的对称轴与准线的交点,点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上,在△EFP中，的最大值为_________.
【解析】设点P，由题意知，根据焦半径公式可得，在△EFP中，由正弦定理可得,
所以，
因为，当且仅当时取等号，所以，即的最大值为.
故答案为：
等轴双曲线与抛物线的准线交于、两点，且，则该双曲线的实轴长等于______.
【解析】由题意，抛物线的准线方程为，
联立方程组，整理得，解得，
即，
又由，所以，解得，
所以双曲线的标准方程为，所以，
即双曲线的实轴长为.
故答案为：4.
10．若点在抛物线的准线上，则实数的值为______.
【解析】由题意，抛物线的准线方程为，
又由点在抛物线的准线上，所以，解得.
故答案为：4.
11．抛物线的焦点为F,点P为抛物线上的动点,又点A则的最小值为_________.
【解析】如图所示：过点作于，则
根据对称性，不妨设在第一象限，
的最小值等价于求得最大值
，故
当时，等号成立
故答案为：


12．设抛物线的焦点为，点在抛物线上，线段的延长线与直线交于点，则的值为______.
【答案】2
【解析】

由题可得,为,准线方程为,
过点作垂直于准线,垂足为,准线与轴的交点为,则由抛物线的定义得,,,且易得∽
,,即
,两边同时除以

故答案为：2
13．设抛物线的焦点为，在此抛物线上且，则点的坐标为_________.
【解析】设点P的横坐标为x
抛物线y2＝8x的准线方程为x＝﹣2
∵点P在抛物线上，|PF|＝5，
∴x+2＝5
∴x＝3
∵点P在抛物线上
∴y2＝24
∴y＝±2
∴点P的坐标（3，2）或（3，﹣2）
故答案为：（3，2）或者（3，﹣2）．
14．已知为抛物线的弦，如果此弦的垂直平分线的方程是，则弦所在直线的方程是______．
【答案】
【解析】设点、，线段的中点为，
由，两式作差得，即，
，
线段的垂直平分线的方程是，所以，直线的斜率为，
，则，所以，点的坐标为.
又直线的斜率为，因此，弦所在的直线方程为，即.
故答案为：.
15．点，抛物线的焦点为，若对于抛物线上的任意点，的最小值为41，则的值等于______.
【解析】由题意，（1）当点在抛物线的内部或曲线上时，则满足，解得，
过点点作抛物线的准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，
所以,
当三点共线时，此时的距离最小，且最小值为，
可得，解得；
（2）当点在抛物线的外部时，则满足，解得，
如图所示，
当三点共线时，的距离最小，且最小值为，
即，解得或（舍去），
综上所述，实数的值等于42或22.
故答案为：42或22.

16．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线与圆于四点，则 ______.

【解析】抛物线的焦点为，准线为，可设直线方程为，直线，与联立得：，可得,,
,
答案为1.
17．已知是抛物线上的两点，是焦点，直线的倾斜角互补，记的斜率分别为,，则____.
【解析】设，由抛物线的对称性知点在直线上，
直线代入得：
，所以，
因为，
所以，故填：1.
18．过抛物线C：的焦点F作互相垂直的弦AB，CD，则四边形ACBD面积的最小值为____。
【解析】如下图所示，显然焦点的坐标为，所以，可设直线的方程为，
将直线的方程代入抛物线的方程并整理得
，
所以，，所以，，
同理可得，
由基本不等式可知，四边形的面积为

．
当且仅当时，等号成立，因此，四边形的面积的最小值为32．

19．抛物线，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为______．
【解析】由题意可知：，结合焦半径公式有：，
解得：，故直线AB的方程为：，
与抛物线方程联立可得：，
则，
故的面积.
20．已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线交于，两点，与其准线交于点（点在点，之间），若，且，则______．
【解析】如下图所示：

过点作，垂足为点，设直线的倾斜角为锐角，则，
与抛物线的定义得，
所以，，，，
又知抛物线的焦点为，所以，直线的方程为，
设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，
消去并整理得，由韦达定理得，
由抛物线的定义可得，解得，故答案为：.
21．过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、（其中点在第一象限），交其准线于点，同时点是的中点.
（1）求直线的倾斜角；
（2）求线段的长.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依题意：，准线：，设 ，设，
由已知可得，故，代入，得，
故，直线的倾斜角为；
（2）由与联立可得，解得：或，
所以，故.
（或）
22．已知抛物线过点(为非零常数)与轴不垂直的直线与C交于两点.
(1)求证:(是坐标原点)；
(2)AB的垂直平分线与轴交于，求实数的取值范围；
(3)设A关于轴的对称点为D,求证:直线BD过定点,并求出定点的坐标.
【答案】(1)见解析；(2) ；(3) 过定点，且定点为.
【解析】(1)设过点的直线的方程为，联立曲线方程得：

所以.
(2) 设两点的中点坐标为，则，
.则，即AB的垂直平分线为，
令，解得.又，即，所以.
所以的取值范围为.
(3) A关于轴的对称点为D，则，则直线BD：，整理得：.
又=.
所以直线BD为：=，所以恒过定点.得证.
23．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且两点的纵坐标之积为.
（1）求抛物线的方程；
（2）求的值（其中为坐标原点）；
（3）已知点，在抛物线上是否存在两点、，使得？若存在，求出点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由.
【答案】（1）；（2）；（2）存在， 点的纵坐标的取值范围为；
【解析】（1）由得：，设直线方程为：
与抛物线方程联立可得：
设，，则，解得：
抛物线方程为：
（2）由（1）知：
（3）设，
则，
，即
由题意知：，

①当时，
当且仅当，即时等号成立
②当时，
当且仅当，即时取等号
又
综上所述：存在点，使得；点纵坐标的取值范围为
24．已知点在抛物线上，是直线上的两个不同的点，且线段的中点都在抛物线上.

（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若的面积等于，求的值.
【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）设，，，
则的中点，代入
得：
同理可得：
所以，是方程的两个根

解得：或
（Ⅱ）点到的距离
由韦达定理可知：，
则

令，则有：，
即：，解得，
即，解得：

25．记抛物线的焦点为，点在抛物线上，，斜率为的直线与抛物线交于两点.
（1）求的最小值；
（2）若，直线的斜率都存在，且；探究：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）直线l过定点
【解析】（1）设抛物线的准线为，过点作，垂足为，
过点作，垂足为
如图:



则
即的最小值为；
（2）设直线的方程为， ；
将直线与抛物线的方程联立得 ，

①
又
即

将①代入得， ，
即，得或
当时，直线为，此时直线恒过；
当时，直线为，此时直线恒过（舍去）；
综上所述，直线l过定点
26．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于 两点，又过两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点。
（1）证明：直线的斜率之积为定值；
（2）求面积的最小值
【解析】（1）证明：由题意设 的方程为 ，
联立 ，得 因为 ，
所以设 ，则
设直线 的斜率分别为 ，
对 求导得 ，
所以 ，
所以，（定值）
（2）解：由（1）可得直线 的方程为
①
直线 的方程为
②
联立①②，得点 的坐标为，
由（1）得 ，
所以 .
于是 ，
点 到直线 的距离，
所以 ，
当，即时，的面积取得最小值
28．已知抛物线：上一点到其准线的距离为2．

（1）求抛物线的方程；
（2）如图，，为抛物线上三个点，，若四边形为菱形，求四边形的面积．
【答案】(1) ；(2) 或
【解析】（1）由已知可得，
消去得：，
抛物线的方程为
（2）设，，菱形的中心
当轴，则在原点，，
，，菱形的面积，
解法一：当与轴不垂直时，设直线方程：，则直线的斜率为
消去得：


，，∵为的中点
∴，点在抛物线上，
且直线的斜率为。
解得：，
，


综上，或
解法二：设，直线的斜率为
，直线的斜率为，
可以设直线：
消去得：
∵
，
解方程：，解得，，接下去同上。
























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