湘教版九年级数学上册第3章 图形的相似3.4.1 相似三角形的判定教学课件（共42张）

(共42张PPT)

相似三角形的判定
教学课件
湘教版九年级上册
01 新课导入
目录
03 典型例题
02 新知探究
04 拓展提高
05 课堂小结
06 作业布置
01 新课导入

新课导入

让我们一起观察下列图形，能否观察出其中的规律？
A









A









图一
图二

我们发现，在图一中，三条直线是相互平行的，而在图二中，三条直线不存在平行关系。

可以判断,,
之间是否相似吗？相似三角形该怎么判定呢？让我们一起来探究其中的奥秘吧！
02 新知探究

新知探究
1.平行线与相似三角形

如图, DE//BC, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由.

A
B
C
D




解:相似，在△ADE与△ABC中，
∠A= ∠A.
∵ DE//BC，
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C，
过E 作EF//AB交BC于F

F
E

则

新知探究

∵DBFE是平行四边形，
∴DE=BF.
∴△ADE∽△ABC

A
B
C
D





F
E
1.平行线与相似三角形
解析：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形
∴
∴

新知探究

由此得到如下结论：

平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。
1.平行线与相似三角形
归纳


新知探究
练一练

如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；

（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____





A
B
C
D
E
F
G

H
I
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1：4

新知探究
2.两角分别相等的两个三角形相似

证明：在 △ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上，
截取 AD=A′B′，过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E，


C
A
A'
B
B'
C'
D
E
任意画△A′B′C′和△ABC，使∠A=∠A′，∠B=∠B′,
试证明△A′B′C′∽△ABC.
则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B.
∵∠B=∠B′，
∴∠ADE=∠B′.
又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′，
∴△ADE ≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′ ∽△ABC.

新知探究

∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
符号语言：

C
A
B

A'
B'
C'
归纳
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似.

2.两角分别相等的两个三角形相似

新知探究
练一练

如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC, AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
解：∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC
(两角分别相等的两个三角形相似).
∴
∴BC=14.
B
A
D
E
C


新知探究
3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′，使
∠A=∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长，
它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的
两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关
系？
改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，
交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

新知探究


新知探究

∴ A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.
∴ △A′DE ≌ △ABC，
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∵ A′D=AB，
∴
3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

新知探究

符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
归纳
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．

3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

新知探究
4.三边成比例的两个三角形相似

画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ，
动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两
个三角形是否相似？





A

B

C





C′

B′

A′

新知探究
4.三边成比例的两个三角形相似






A

B

C





C′

B′

A′
通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，
又因为两个三角形的边对应成比例，所以
△ABC ∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论.


新知探究
证一证

∴




C′

B′

A′
证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′，
△A′B′C′ ∽△ABC.






B

C
A
D
E
又 ，AD=A′B′，
∴ ， .

新知探究

∵
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
符号语言：
归纳
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似

4.三边成比例的两个三角形相似

新知探究
练一练

判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．

A
B
C
3
3.5
4

D
F
E
1.8
2.1
2.4

新知探究
练一练

解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中，
DE > EF > FD.
∴ △ABC ∽ △DEF.

A
B
C
3
3.5
4

D
F
E
1.8
2.1
2.4
∵ ， ，
∴ .
03 典型例题
1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相
似三角形共有 ( )

A. 1对 　　B. 2对
C. 3对 　　D. 4对
C


典型例题
2. 判断
(1) 两个等边三角形相似 ( )
(2) 两个直角三角形相似 ( )
(3) 两个等腰直角三角形相似 ( )
(4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 ( )

×
√
√
×


典型例题
3.已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似.
(3) AB=12， BC=15， AC＝24，
DE＝16，EF＝20， DF＝30.
(2) AB=4， BC =8， AC＝10，
DE＝20，EF＝16， DF＝8；
(1) AB =3， BC =4， AC＝6，
DE＝6， EF＝8， DF＝9；
是
否
否


典型例题
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，
∠B=80 ° ，
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °.
∵ 在△DEF中，∠E=80 °，
∠F=60 °.
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
　 ∴ △ABC ∽△DEF.
4. 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF.

A
C
B

F
E
D


典型例题
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，
AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，
解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，
AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，
解得 AP = 4.
∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，
△ADP 和 △ABC 相似．
5. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.

A
B
C
D

4 或 9
P
P


典型例题
解：（1）∵ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C.
在△ADF与△DEC中，∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC
∴△ADF∽△DEC
6. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.
（1）求证：△ADF∽△DEC
（2）若AB=8，AD= ，AF= ,求AE的长


典型例题
解：（2）∵ABCD为平行四边形
∴CD=AD=8.
由（1）知△ADF∽△DEC
∴

∴
在直角△ADE中，由勾股定理得

（2）若AB=8，AD= ，AF= ,求AE的长


典型例题



04 拓展提高

拓展提高
1. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，
AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的长．





A
B
C
D
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，
∴
又∵∠B=∠ACD，
∴ △ABC ∽ △DCA，

∴ ，
∴

拓展提高
证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，
∴ ∠FEA=∠FDB=90°，
∠AFE =∠BFD (对顶角相等).
∴ △FEA ∽ △ FDB，
∴
2. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F．
求证：

D
C

A
B


E
F

拓展提高
3. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA
的中点，求证：△ABC∽△EFD．
∴ △ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，
CA的中点，
∴DE= AC,DF= BC, EF= AB
∴


A
B
C
E
D
F
05 课堂小结

课堂小结
2.当相似比等于1时，相似图形即是全等图形，全等是一种特殊的相似；
3.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.
1.相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似 比等于对应边的比；

课堂小结
利用两角判定三角形相似

定理：两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的判定定理1的运用

课堂小结
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

利用两边及夹角判定三角形相似
相似三角形的判定定理的运用

课堂小结
三边成比例的两个三角形相似

利用三边判定两个三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
06 作业布置
完成课本习题 3.4 A组

作业布置
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