高中数学北师大版必修1学案：第1章集合2集合的基本关系

§2　集合的基本关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(重点)
2.理解子集、真子集的概念．(易混点)
3.能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图对理解抽象概念的作用．(难点)
1.通过学习子集、真子集的概念，提升数学抽象素养.
2.通过使用Venn图表达集合间的关系，培养直观想象素养.
阅读教材P7从本节开头到P8“例1”之间的内容，完成下列问题．
1．子集
(1)子集的定义
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，称集合A为集合B的子集，记作A?B(或B?A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．
(2)子集的有关性质：
①?是任何集合A的子集，即??A.
②任何一个集合是它本身的子集，即A?A.
③对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.
④若A?B，B?A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.
思考1：(1)集合A＝{x|x2－4＝0}，B＝{2}有怎样的包含关系？
(2)??{?}正确吗？
[提示]　(1)由A＝{－2,2}，得A?B.
(2)正确．由空集是任何集合的子集，知??{?}．
2．真子集
对于两个集合A与B，如果A?B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作AB.
思考2：如果非空集合A、B满足AB，那么集合A、B的元素有什么特点？
[提示]　集合A中的元素都是集合B的元素，且集合B中至少有一个元素不属于A.
3．Venn图
为了直观地表示集合间的关系，常用封闭曲线的内部表示集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫作图示法．
思考3：下图中的集合A，B，C有怎样的关系？
[提示]　ABC.
1．已知集合A＝{x|－1A．B?A　　　　 B．AB
C．BA D．A?B
C　[把集合A，B在数轴上表示出来．
观察上图知，BA.]
2．集合{x|04　[由{x|03．已知{0,1}A?{－1,0,1}，则集合A＝________.
{－1,0,1}　[由{0,1}A，知集合A含有元素0与1，且至少有3个元素．
又A?{－1,0,1}，则A＝{－1,0,1}．]
4．已知A＝{正方形}，B＝{矩形}，则集合A，B的关系是________．
[答案]　AB
判断集合间的关系
【例1】　用适当的符号填空：
(1)?________{x|x2－1＝0}；
(2){x|x－1>0}________{2}；
(3){0,1,2}________N；
(4){x|x是矩形}________{x|x是菱形}．
[思路探究]　从考察两集合元素的特征入手，利用包含关系的定义判断．
[解]　(1){x|x2－1＝0}＝{－1,1}，故?{x|x2－1＝0}；
(2)2∈{x|x－1>0}，故{x|x－1>0}{2}；
(3){0,1,2}N；
(4){x|x是矩形}{x|x是菱形}，且{x|x是矩形}?{x|x是菱形}．
[答案]　(1) 　(2)　(3) 　
判断集合与集合关系的常用方法：
?1?将集合用列举法表示，通过观察元素来判断.
?2?设A＝{x|p?x?}，B＝{x|q?x?}.
①若p?x?推出q?x?，则A?B；
②若p?x?推不出q?x?，则AB.
1．已知集合A＝，B＝
，则集合A，B之间的关系为(　　)
A．AB　　　　 B．BA
C．A＝B D．AB且B?A
A　[A＝，
B＝.
∵{2k＋1|k∈Z}{k＋2|k∈Z}，
∴AB.]
确定有限集合的子集
【例2】　(1)集合{a，b，c}的所有子集为________，其中它的真子集有________个．
(2)写出满足{3,4}P?{0,1,2,3,4}的所有集合P.
(1)?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}　7　[集合{a，b，c}的所有子集为?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中{a，b，c}不是它本身的真子集，故真子集的个数为7.]
(2)解：由题意知，集合P中一定含有元素3,4并且是至少含有三个元素的集合．因此所有满足题意的集合P为{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．
求解有限集合的子集问题，关键有三点：
?1?确定所求集合；
?2?合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
?3?注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.
一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
2．(1)已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则正整数m＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)若集合A{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．
(1)B　(2)5　[(1)根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2.
(2)若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}；若A中含有两个奇数，则A＝{1,3}．]
已知集合间的关系，求参数的范围
[探究问题]
1．已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x提示：如图，由图可知，a＝1.
2．探究1中“A＝B”改为“A?B”，其他条件不变，则实数a的取值范围是多少？
提示：
由图可知a≥1.
3．探究1中“A＝B”改为“BA”，其他条件不变，则实数a的取值范围是多少？
提示：
由图可知，a<1.
【例3】　(1)已知A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B?A，则实数m的取值范围是________．
(2)已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ax，ax2}，a，b∈R.若A＝B，则实数x＝________.
[思路探究]　利用数轴表示集合A，B，根据A与B的关系观察端点之间的关系，列不等式求字母的取值范围或值．
(1){m|m≤3}　(2)－　[(1)因为A＝{x|－2≤x≤5}，又B?A，故需分两种情况讨论：
①若B＝?，则m＋1>2m－1，即m<2，此时，总有B?A，故m<2.
②若B≠?，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B?A得解得2≤m≤3.
综合①②可知m的取值范围是{m|m≤3}．
(2)若则a＋ax2－2ax＝0，
所以a(x－1)2＝0，即a＝0或x＝1.
当a＝0时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当x＝1时，集合B中的元素均相同，故舍去．
若则2ax2－ax－a＝0.
因为a≠0，
所以2x2－x－1＝0，
即(x－1)(2x＋1)＝0.
又x≠1，所以只有x＝－.
经检验，此时A＝B成立．
综上所述x＝－.]
1．(变结论)是否存在实数m，使得本例(1)的集合A与B满足A?B?
[解]　假设存在实数m，使得A?B，A＝{x|－2≤x≤5}．
所以B不为?，则有
又因为该不等式组的解集为?，故不存在实数m，使得A?B.
2．(变条件)将本例(1)中的条件变为A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|m－1≤x≤1－2m}且B?A.求m的取值范围．
[解]　①当B≠?时，∵B?A，∴借助数轴表示如图所示：
则解得0≤m≤.
②当B＝?时，m－1>1－2m，得m>.综上所述m≥0.
已知集合关系求参数范围的一般方法
?1?通常借助数轴，把两个集合在数轴上表示出来，以形定数.
?2?当某一个集合的端点中含有字母时，要判定两个端点的大小，不确定时要分类讨论，当左边的端点大于右边的端点时，集合为空集，这种情况容易被忽视.
?3?比较端点大小时要注意是否能取“＝”，不好确定时要单独验证参数取“＝”时的值是否符合题意.
1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法．
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
3．涉及字母参数的集合关系问题，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
1．思考辨析
(1)空集是空集的子集．(　　)
(2)任何集合都至少有两个子集．(　　)
(3)若AB，且B?C，则AC.(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
2．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数为(　　)
A．4　 B．7　　　C．8　 D．16
B　[A＝{0,1,2}，其真子集为?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共7个．]
3．如果A＝{x|x＋1>0}，那么正确的结论是(　　)
A．0?A B．{0}A
C．{0}∈A D．?∈A
B　[选项A，C，D对于元素与集合，集合与集合的关系，使用的符号不正确．又0＋1>0，故{0}A.]
4．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若B?A，求a的值．
[解]　由B?A得
当a＝0时，B＝?满足题意；
当a≠0时，B＝，
又B?A，则－＝－2，
所以a＝.
综上得，a＝0或.