高中数学北师大版必修1学案：第1章集合3集合的基本运算3.1交集与并集

3.1　交集与并集
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．(重点)
2.能用Venn图表达集合之间的关系和运算．(难点)
3.掌握有关术语和符号，并会用它们进行集合的运算．(易混点)
1.通过学习交集和并集的含义提升数学抽象素养.
2.通过进行集合的交、并运算，培养数学运算、逻辑推理、直观想象素养.
阅读教材P11至P12“练习”以上的内容，完成下列问题．
1．交集的定义
(1)文字语言：一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的交集．
(2)记法：A∩B，读作“A交B”．
(3)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(4)图形表示：
2．运算性质
(1)特殊运算：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?.
(2)包含关系：A∩B?A，A∩B?B.
3．并集的定义
(1)文字语言：由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的并集．
(2)记法：A∪B，读作“A并B”．
(3)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(4)图形表示：
4．运算性质
(1)特殊运算：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝A.
(2)包含关系：A?A∪B，B?A∪B.
思考：(1)若A?B，则A∩B＝A，其逆命题成立吗？
(2)集合A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“或”包含哪几种情况？
[提示]　(1)成立，证明如下：
对任意x∈A，∵A∩B＝A，∴x∈A∩B，∴x∈B，根据子集的定义知A?B.
(2)集合中的“或”包含三种情况：
①x∈A，且x?B；
②x∈A，且x∈B；
③x?A，且x∈B.
1．设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝(　　)
A．{1,3}　　　　　 B．{3,5}
C．{5,7} D．{1,7}
B　[因为A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，
所以A∩B＝{3,5}．]
2．{x|0{x|0由上图知，{x|03．{1,2,3}∩{1,3}＝________.
{1,3}　[{1,2,3}∩{1,3}＝{1,3}．]
4．已知集合M＝{x|－1{x|－1由图知M∩N＝{x|－1集合的交集运算
【例1】　(1)设集合M＝{m∈Z|－3A．{0,1}　　　　　 B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
(2)已知集合A＝{x|25}，则A∩B＝(　　)
A．{x|25}
C．{x|25}
(1)B　(2)C　[(1)易知M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，据交集定义可知M∩N＝{－1,0,1}，故选B.
(2)将集合A，B画在数轴上，如图．
由图可知A∩B＝{x|2求两个集合的交集的方法
?1?对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可.
?2?对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍.
1．(1)已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝(　　)
A．{2,1} B．{x＝2，y＝1}
C．{(2,1)} D．(2,1)
(2)已知集合A＝{3,4,5,12,13}，B＝{2,3,5,8,13}，则A∩B＝________.
(1)C　(2){3,5,13}　[(1)A∩B＝＝{(2,1)}．
(2)作出Venn图如图，故A∩B＝{3,4,5,12,13}∩{2,3,5,8,13}＝{3,5,13}．]
集合的并集运算
【例2】　(1)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝(　　)
A．{0,1} B．{－1,0,2}
C．{－1,0,1,2} D．{－1,0,1}
(2)设A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，则A∪B＝________.
(1)C　(2){x|x是平行四边形}　[(1)根据题意画出Venn图，如图所示．故M∪N＝{－1,0,1,2}．
(2)因为矩形是平行四边形，即BA，所以A∪B＝A＝{x|x是平行四边形}．]
求并集的基本方法
2．已知集合A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1[解]　分别在数轴上表示集合A和B，如图所示．
根据A∩B和A∪B的定义，由图知A∩B＝{x|－1A∪B＝{x|－4≤x≤3}．
由集合交、并运算求参数的值(范围)
[探究问题]
1．已知集合A＝{0,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，且9∈A∩B，求a的值．
提示：由9∈A∩B，得9∈A.
所以2a－1＝9，或a2＝9，解得a＝5或a＝±3.
当a＝3时，a－5＝－2＝1－a，不满足互异性，舍去．
而a＝5，或a＝－3符合题意．
所以，a的值为5或－3.
2．将探究1中的“9∈A∩B”改为“A∩B＝{9}”，求a的值．
提示：由A∩B＝{9}，得9∈A∩B，所以a＝5或－3.
当a＝5时，A＝{0,9,25}，B＝{0，－4,9}，不满足A∩B＝{9}；
当a＝－3时，A＝{0，－7,9}，B＝{－8,4,9}，满足A∩B＝{9}．
所以，a的值为－3.
3．已知集合A＝{x|x＋1<0}，B＝{x|x≥a}，若A∪B＝R，求a的取值范围．
提示：A＝{x|x<－1}．
由上图得a≤－1.
【例3】　已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
[思路探究]　→→→→
[解]　①当B＝?时，只需2a>a＋3，即a>3；
②当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或
解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为a<－4或a>2.
1．(变条件)若将本例中的条件“A∩B＝B”改为“A∪B＝A”，其他条件不变，则实数a的取值范围又是什么？
[解]　①当B＝?时，只需2a>a＋3，即a>3，
此时满足A∪B＝A.
②当B≠?时，需满足2a≤a＋3且a＋3<－1，或2a≤a＋3且2a>4.
解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为a<－4或a>2.
2．(变条件)若将本例中的条件“A∩B＝B”改为“A∪B＝R，A∩B＝?”，其他条件不变，则实数a的取值范围又是什么？
[解]　由条件可知B≠?，所以2a此类问题常借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式?组?，求解即可，特别要注意端点值的取舍.当集合的元素离散时，常借助集合的关系列关于参数的方程?组?求解，但求解后要代入检验是否符合题意.
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B，因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分．特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到.
1．思考辨析
(1){1,2}∪{1,3}＝{1,1,2,3}．(　　)
(2)若x∈A∩B，则x∈A∪B.(　　)
(3)若A?B，则A∪B＝B.(　　)
[解析]　(1)×.　不满足互异性．
(2)√.　(3)√.
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√
2．设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x≤4}，则A∩B＝________.
{x|1由上图得13．若{x|－1≤x<2}∩{x|x≤a}≠?，则实数a的取值范围是________．
a≥－1　[如图所示：
由上图知a≥－1.]
4．设集合A＝{x|－1[解]　如图所示，
由上图知，1