高中数学北师大版必修1学案：第1章集合3集合的基本运算3.2全集与补集

3.2　全集与补集
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解全集、补集的概念．(重点)
2.会求给定集合的补集．(重点)
3.熟练掌握集合的综合运算，并能解决简单的应用问题．(难点)
1.通过学习全集、补集的概念，培养数学抽象素养.
2.通过集合间的交、并、补的运算，提升数学运算、逻辑推理素养.
阅读教材P12从本节开始至P14“练习”以上部分，完成下列问题．
1．全集
(1)定义：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．
(2)记法：全集通常记作U.
思考：全集唯一吗？我们研究奇数或偶数的有关问题时，应选取的全集通常是什么？
[提示]　全集不唯一，通常选取整数集作为全集．
2．补集
文字语言
设U是全集，A是U的一个子集(即A?U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合称为U中子集A的补集(或余集)，记作?UA
符号语言
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
图形语言
性质
A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?，?U(?UA)＝A
1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则?U(A∪B)＝(　　)
A．{1,3,4}　　　　 B．{3,4}
C．{3} D．{4}
C　[因为A∪B＝{1,2,4}，U＝{1,2,3,4}，所以?U(A∪B)＝{3}．]
2．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，B＝{2}，则A∩(?UB)＝(　　)
A．{1,2,3,4,5} B．{1,4}
C．{1,2,4} D．{3,5}
B　[?UB＝{1,3,4,5}，又A＝{1,2,4}，则A∩(?UB)＝{1,4}．]
3．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则?UA＝________.
{x|x<1}　[如图所示：
由上图知，?UA＝{x|x<1}．]
4．设全集U＝{1,2,3,4,5}，?UA＝{1,3,5}，则A＝________.
{2,4}　[由补集的定义知，A＝{2,4}．]
Venn图在补集中的应用
【例1】　图中阴影部分所表示的集合是(　　)
A．B∩?U(A∪C)　　　 B．(A∪B)∪(B∪C)
C．(A∪C)∩(?UB) D．?U(A∪C)∪B
A　[阴影部分可表示为B∩?U(A∪C)．]
1．当阴影是凹陷图形时，常用补集表示；
2．当题目涉及多个集合的补集时，常利用Venn图分析解决；
3．应用题常用Venn图分析求解．
1．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，?UA＝{2,4,6,8}，?UB＝{1,4,6,8,9}，则集合B＝________.
{2,3,5,7}　[借助Venn图，
如图所示．
得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
因为?UB＝{1,4,6,8,9}，
所以B＝{2,3,5,7}．]
补集的有关运算
【例2】　(1)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－3(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2(1){x|x<－3}　{x|x≤－3，或x>2}
(2){－5，－4,3,4}　{－5，－4,5}
[(1)因为A＝{x|x≥－3}，
所以?UA＝?RA＝{x|x<－3}．
又因为B＝{x|－3所以?UB＝{x|x≤－3，或x>2}．
(2)法一：在集合U中，
因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
所以U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，
所以?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}．
法二：(Venn图法)可用Venn图表示
则?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}．]
求集合补集的策略
?1?如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解.另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错.
?2?如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解.
2．(1)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∪?UB＝(　　)
A．{3} B．{4}
C．{3,4} D．?
(2)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(?RS)∪T等于(　　)
A．{x|－2C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
(1)A　(2)C　[(1)因为U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}，
所以A∪B＝{1,2,3}，
又因为B＝{1,2}，所以{3}?A?{1,2,3}．
又?UB＝{3,4}，所以A∩?UB＝{3}．
(2)因为S＝{x|x>－2}．
所以?RS＝{x|x≤－2}．
而T＝{x|－4≤x≤1}，
所以(?RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．]
与补集相关的参数值的求解
[探究问题]
1．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，求实数a的值．
提示：∵?UA＝{5}，∴5∈U，且5?A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2，或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合题意．
当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A?U，
故a＝－4舍去．综上知a＝2.
2．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2提示：由已知A＝{x|x≥－m}，得?UA＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，
所以实数m的取值范围是{m|m≥2}．
3．设全集U＝R，M＝{x|3a提示：?UP＝{x|x<－2，或x>1}，
因为M?(?UP)，所以分M＝?，M≠?两种情况讨论．
(1)M＝?时，应有3a≥2a＋5，所以a≥5.
(2)M≠?时，如图可得：
或所以a≤－或≤a<5，
综上可知，实数a的取值范围为.
【例3】　已知集合A＝{x|1[思路探究]　先求出?RA，再借助数轴寻找a满足的条件．
[解]　?RA＝{x|x≤1，或x≥2}．
画出符合题意的图形．
由上图得，a≥2.
(变条件)将例3中的“(?RA)∪B＝R”，改为“A∩(?RB)＝?”，求实数a的取值范围．
[解]　由A∩(?RB)＝?，得A?B.
画出符合题意的图形：
由图，得a≥2.
由集合补集求参数的方法
1．补集定义的理解
(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集．比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集．
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想．
(3)从符号角度来看，若x∈U，AU，则x∈A和x∈?UA二者必居其一．
求两个集合的并集与交集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直观观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．
2．与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．
3．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集.
1．思考辨析
(1)全集包含任何一个元素．(　　)
(2)?AC＝?BC.(　　)
(3)若x∈U，A?U，则x∈A，或x∈?UA.(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　)
A．{－1,2}　　　　　 B．{－1,0}
C．{0,1} D．{1,2}
A　[阴影部分表示的集合为B∩(?ZA)＝{－1,2}．]
3．已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(?UB)＝__________.
{1,2,3}　[?UB＝{2}，A∪(?UB)＝{1,3}∪{2}＝{1,2,3}．]
4．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，求实数m的值．
[解]　由?UA＝{1,2}，得A＝{0,3}．
所以9＋3m＝0，解得m＝－3.