高中数学北师大版必修1学案：第1章集合章末复习课

第1章 集合
集合的基本概念
【例1】　已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}的子集个数是(　　)
A．8　 B．16　　　C．32　 D．64
[思路探究]　先确定集合B中元素个数，再利用子集个数的计算公式求解．
C　[
y
x－y
x
0
1
2
0
0
－1
－2
1
1
0
－1
2
2
1
0
由上表知，B＝{－2，－1,0,1,2}，其子集个数为25＝32.]
1．用列举法表示集合，其默认的条件是集合中的元素各不相同，也就是说集合中的元素一定要满足互异性．
2．判断集合中元素个数时，要注意相同的对象归入同一个集合时只能算作一个．
3．若集合中的元素含有参数，要抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的方法进行研究．
1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)
A．4 B．2 C．0 D．0或4
A　[当a＝0时，A＝?，不合题意；当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.]
2．若2∈{2a－1,1－a2}，则a＝________.
　[∵1－a2≤1，∴2a－1＝2，解得a＝.]
集合的基本关系
【例2】　已知集合A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{x|x2－x＋p＝0}，且B?A，求实数p的取值范围．
[解]　(1)当B＝?时，B?A，由Δ＝(－1)2－4p<0，
解得p>.
(2)当B≠?，且B?A时，方程x2－x＋p＝0存在两个正实根．
由x1＋x2＝1>0，Δ＝(－1)2－4p≥0，且x1x2＝p>0，
得0由(1)(2)可得p的取值范围为{p|p>0}．
1．判断两集合关系的两种常用方法
一是化集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
2．处理集合间关系问题的关键点
已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．
3．已知集合A＝{x∈R|－20}，则A与B之间的关系为(　　)
A．AB B．AB　　C．A＝B D．AB
A　[B＝{x|x>－3}，
把集合A，B在数轴上表示出来
由上图知，AB.]
4．已知{x|x2－5x＋6＝0}?{a,2,2a－1}，求实数a的值．
[解]　由{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，得3∈{a,2,2a－1}，
∴a＝3，或2a－1＝3，
解得a＝2或3.
当a＝2时，集合{a,2,2a－1}中的元素不满足互异性，舍去．
当a＝3时，{a,2,2a－1}＝{3,2,5}满足题意．
综上得，a＝3.
集合的基本运算
　设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知A∪B＝A，求实数m的取值范围．
[思路探究]　由A∪B＝A知B?A，需按B＝?与B≠?两种情况讨论，当B≠?时，利用数轴列出关于m的不等式组求得m的取值范围．
[解]　∵A∪B＝A，∴B?A.
当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝?，符合题意．
当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠?.
由B?A，借助数轴表示如图所示．
则解得0≤m≤.
综上所述，实数m的取值范围是m<－2或0≤m≤.
在集合运算过程中应力求做到“三化”：
?1?意义化：首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形；是表示函数自变量的取值范围、因变量的取值范围，还是表示方程或不等式的解集.
?2?具体化：具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的范围或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式.
?3?直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题.
5．(1)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是(　　)
A．－1≤a≤1　　　　 B．a≥1
C．a≤－1 D．a≥1或a≤－1
(2)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|0≤x≤1} D．?
(3)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，则A＝(　　)
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
(4)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1，a2－1,4}，?UA＝{2，a＋3}，则实数a＝________.
(1)A　(2)C　(3)D　(4)2　[(1)由P∪M＝P，得M?P，所以a∈P，所以a2≤1，解得－1≤a≤1.
(2)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，所以，A∩B＝{x|0≤x≤1}．
(3)用Venn图求解．
由上图知，A＝{3,9}．
(4)依题意得
或
解得a＝2.]
补集思想的应用
[探究问题]
1．任何一个集合都可以作为全集，对吗？
提示：不对．由全集的定义可知，空集就不能当全集，因为空集不含任何元素．
2．?UA在U中的补集?U(?UA)与集合A有什么关系？
提示：相等．
3．?AC与?BC相等吗？为什么？
提示：不一定．依据补集的含义，符号?AC和?BC都表示集合C的补集，但是?AC表示集合C在全集A中的补集，而?BC表示集合C在全集B中的补集，由于集合A和B不一定相等，所以?AC与?BC不一定相等．因此，求集合的补集时，首先要明确全集，否则容易出错．
如集合A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{1,3,4}，则?AC＝{2,5,6,7,8,9}，?BC＝{0,2}，很明显?AC≠?BC.
　若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至少有1个元素，求实数a的取值范围．
[思路探究]　从已知的反面出发，求出a的取值范围，再求其补集．
[解]　由A＝?，得解得a>，
所以，当A至少有一个元素时，a≤.
补集思想的解题方法,当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想.其解题步骤为：
?1?否定已知条件，考虑反面问题；
?2?求解反面问题对应的参数范围；
?3?取反面问题对应的参数范围的补集.
6．已知集合A＝{y|y>a2＋1，或y[解]　若A∩B＝?，则
解得a≤－，或≤a≤2，
所以，当A∩B≠?时，－2.