高中数学北师大版必修1学案：第2章函数1生活中的变量关系2对函数的进一步认识2.1函数概念

2．1　函数概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过实例，了解生活中的变量关系．(易混点)
2．理解函数的概念及函数的三要素．(重点)
3．会求一些简单函数的定义域和值域．(重点、难点)
4．能够正确使用区间表示某些函数的定义域和值域．(重点、难点)
1.通过学习函数的概念，提升数学抽象素养．
2．通过求一些简单函数的定义域和值域，培养数学运算素养.
1．生活中的变量关系
阅读教材P23～P25内容，完成下列问题．
并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间具有函数关系．
2．函数的概念
阅读教材P26～P27“值域是{s|s≥0}”之间的部分，完成下列问题．
(1)定义
给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数．
(2)记法
f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.
(3)名称
x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域．集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫作函数的值域，称y是x的函数．
思考：函数y＝x2－1(x∈R)与函数y＝t2－1(t∈R)是同一函数吗？
[提示]　是同一函数，这两个函数定义域相同，对应关系也相同．因此，这两个函数是同一函数．
3．区间的概念
阅读教材P27从“研究函数常常用到区间的概念”～“例1”以上内容，完成下列问题．
(1)区间的定义
条件：a结论：
①闭区间：符号表示[a，b]，数轴表示为
②开区间：符号表示(a，b)，数轴表示为
③半开半闭区间：符号表示[a，b)或(a，b]，
数轴表示为或
(2)无穷大区间
①实数集R也可以用区间表示为(－∞，＋∞)．
②读法：“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
③无穷大区间的表示：
定义
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
几何
表示
1．下列等式中，y不是x的函数关系的是(　　)
A．y＝2x　　　　　 B．y＝
C．y＝x2＋5 D．y2＝x2＋5
D　[选项A、B、C符合函数定义．对于选项D，当x＝0时，y＝±.故y不是x的函数．]
2．函数y＝＋的定义域为(　　)
A．{x|x≤1}　　　　 B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1，或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
D　[依题意，得解得0≤x≤1.]
3．集合{x|x≥0，且x≠1}用区间表示为________．
[答案] [0,1)∪(1，＋∞)
4．若函数f(x)＝2x2＋3x－5，则f(2)＝________.
9　[f(2)＝2×22＋3×2－5＝9.]
生活中的变量关系及判断
【例1】　下列两个变量之间是否存在依赖关系，其中哪些是函数关系？
(1)圆的面积与其半径之间的关系；
(2)家庭收入与消费支出之间的关系；
(3)人的身高与视力之间的关系；
(4)价格不变的情况下，商品销售额和销售量之间的关系．
[思路探究]　当一个变量随着另一个变量的变化而变化时，这两个变量之间存在依赖关系；存在依赖关系的两个变量，对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，这两个变量具有函数关系．
[解]　(1)圆的面积随圆的半径的变化而变化，所以圆的面积与其半径之间存在依赖关系，又因为对每一个半径的值，都有唯一的圆的面积与之对应，故圆的面积是半径的函数．
(2)消费支出随家庭收入的变化而变化，消费支出与家庭收入之间存在依赖关系，但消费支出还要受到其他因素的影响，二者之间不是函数关系．
(3)人的身高与视力之间不存在依赖关系．
(4)价格不变的情况下，商品销售额随销售量的变化而变化，二者存在依赖关系，且商品销售额是销售量的函数．
综上可知，(1)(4)中的变量存在依赖关系，且是函数关系；
(2)中的变量存在依赖关系，不是函数关系；(3)中的变量不存在依赖关系．
1．判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化．
2．判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应．
1．下列变量之间是否具有依赖关系？其中哪些是函数关系？
①正方形的面积和它的边长之间的关系；
②姚明罚球次数与进球次数之间的关系；
③施肥量与作物产量之间的关系；
④汽车从A地到B地所用时间与汽车速度之间的关系．
[解]　①②③④中两个变量都存在依赖关系，其中①④是函数关系，②③不是函数关系．
函数的概念
【例2】　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)下图中能表示函数关系的是________．
(1)B　(2)①②④　[(1)①中，因为在集合M中，当1(2)由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．]
?1?判断所给对应是否为函数的方法
①先观察两个数集A，B是否非空.
②验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性.
?2?根据图形判断对应是否为函数的步骤
①任取一条垂直于x轴的直线l.
②在定义域内平行移动直线l.
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
2．下列各式是否表示y是x的函数关系？如果是，写出这个函数的解析式；若不是，请说明原因．
(1)5x＋2y＝1(x∈R)；(2)xy＝－3(x≠0)；
(3)x2＋y2＝1(x∈(－1,0))；(4)x3＋y3＝1(x∈R)．
[解]　(1)5x＋2y＝1(x∈R)是函数关系，解析式为y＝－x＋；
(2)xy＝－3(x≠0)是函数关系，解析式为y＝(x≠0)；
(3)x2＋y2＝1(x∈(－1,0))不是函数关系，因对于x∈(－1,0)的任意一个值，对应的y值有两个；
(4)x3＋y3＝1(x∈R)是函数关系，解析式为y＝.
求函数的定义域
【例3】　求下列函数的定义域：
(1)y＝＋；(2)y＝.
[思路探究]　求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可通过列不等式或不等式组求解．
[解]　(1)依题意解得－1≤x≤1.
所以，函数y＝＋的定义域为[－1,1]．
(2)依题意，解得x≤1，且x≠0，且x≠－1.
所以，函数y＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0,1]．
1．当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．(1)偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．
2．注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．
3．函数y＝＋的定义域是(　　)
A．{x|x≤1}　　　　 B．{x|x≥0}
C．{x|x≤0，或x≥1} D．{x|0≤x≤1}
A　[依题意1－x≥0，解得x≤1.所以，函数y＝＋的定义域为{x|x≤1}．]
求函数值与值域
[探究问题]
1．已知f(x)＝，如何求f？
提示：f＝＝＝.
2．已知f(x)＝，若f(x)＝2，如何求x?
提示：由f(x)＝2，得＝2，解得x＝－2.
3．已知f(x)＝，如何求f[f(x)]?
提示：f[f(x)]＝＝＝＝.
　已知f(x)＝(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)．
(1)求f(1)，g(1)的值；
(2)求f[g(x)]的值．
[思路探究]　(1)将x＝1分别代入f(x)与g(x)的函数表达式中求出函数值．
(2)将x＝x＋4代入f(x)的解析式中，求出f[g(x)]．
[解]　(1)f(1)＝＝1，g(1)＝1＋4＝5.
(2)f[g(x)]＝f(x＋4)＝＝＝－(x∈R，且x≠－2)．
1．(变结论)在本例条件下，求g[f(1)]的值及f(2x＋1)的表达式．
[解]　g[f(1)]＝g(1)＝1＋4＝5.
f(2x＋1)＝＝－.
2．(变条件、变结论)若将本例g(x)的定义域改为{0,1,2,3}，求g(x)的值域．
[解]　因为g(x)＝x＋4，x∈{0,1,2,3}，所以g(0)＝4，g(1)＝5，g(2)＝6，g(3)＝7.
所以g(x)的值域为{4,5,6,7}．
?1?求函数值的方法
①先要确定出函数的对应关系f的具体含义，②然后将变量取值代入解析式计算，对于f[g?x?]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f[g?x?]与g[f?x?]的区别.
?2?求函数值域的常用方法
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
②配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；
③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.
1．对函数相等的概念的理解
(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系．函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．
2．区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合．如{x|a1．思考辨析
(1)数学成绩与物理成绩的关系是函数关系．(　　)
(2)根据函数的定义，定义域中的多个x可以对应同一个y值．(　　)
(3)在函数f：A→B中，值域即集合B.(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
2．已知f(x)＝x2＋1，则f[f(－1)]＝________.
5　[∵f(－1)＝(－1)2＋1＝2，
∴f[f(－1)]＝f(2)＝22＋1＝5.]
3．函数y＝的定义域是________．
{x|x≠±1}　[由x2－1≠0，得x≠±1.所以函数y＝的定义域为{x|x≠±1}．]
4．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)和f[f(2)]；
(2)若f(x)＝，求x；
(3)求函数f(x)的值域．
[解]　(1)∵f(2)＝＝，∴f[f(2)]＝f＝＝＝－.
(2)由f(x)＝，得＝，x2＝3，∴x＝±.
(3)f(x)＝1＋.
∵x2＋1≥1，∴－2≤<0，∴－1≤1＋<1.
∴函数f(x)的值域为[－1,1)．