高中数学北师大版必修1学案：第2章函数1生活中的变量关系2对函数的进一步认识2.2函数的表示法

2.2　函数的表示法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握函数的三种表示方法．(重点)
2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．(重点、难点)
1.通过应用函数的表示方法提升数学抽象素养．
2．通过分段函数的简单应用提升数学运算素养.
1．函数的表示法
阅读教材P28～P29“例2”以上内容，完成下列问题．
函数的三种表示方法
表示法
定义
解析法
用自变量的解析表达式表示两个变量之间的对应关系
图像法
用图像表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
思考1：函数的三种表示方法各有什么优、缺点？
[提示]　三种表示方法的优、缺点比较：
优点
缺点
解析法
①简明、全面地概括了变量间的关系；②可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值
不够形象、直观
列表法
不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值
一般只能表示部分自变量的函数值
图像法
直观、形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的某些性质
只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大
思考2：任何一个函数是不是都可以用解析法、列表法、图像法三种形式来表示．
[提示]　并不是所有的函数都可以用解析式表示，例如人的心跳强度与时间的函数关系．图像法也不适用于所有函数，例如D(x)＝对于函数值有无限个的情况，无法用列表法表示．
2．分段函数
阅读教材P29“例2”～P31，完成下列问题．
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值，对应关系也不同，这样的函数通常称为分段函数．
思考3：如何求分段函数的值域？
[提示]　先求出每一段中函数值的取值范围，再求其并集．
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝(　　)
x
1≤x<2
2
2f(x)
1
2
3
A.1　 B．2　　　C．3　 D．不存在
C　[因为3∈(2,4]，所以f(3)＝3.]
2．函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域是______，值域是______．
[－1,2)　(－1,1]　[观察图像，得f(x)的定义域为：[－1，2)．值域为：(－1,1]．]
3．已知f(x)是一次函数，且其图像过点A(－2,0)，B(1,5)，则f(x)的解析式为________．
f(x)＝x＋　[设f(x)＝kx＋b，依题意，得
解得所以，f(x)＝x＋.]
4．函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(2))的值为________．
3　[因为g(2)＝2，f(2)＝3，所以f(g(2))＝3.]
函数图像的作法
【例1】　作出下列函数的图像并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
[解]　(1)列表：
x
0
1
2
y
1
2
3
4
5
当x∈[0,2]时，图像是直线的一部分，观察图像可知，其值域为[1,5]．
(2)列表：
x
2
3
4
5
…
y
1
当x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y＝的一部分，观察图像可知其值域为(0,1]．
(3)列表：
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画图像，图像是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
1．作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图像．
2．函数的图像可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图像与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点．
1．作出下列函数的图像．
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．
[解]　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图像如图①.
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余的曲线．如图②.
求函数的解析式
【例2】　(1)若f(x＋1)＝x2＋x，则f(x)＝________.
(2)若f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.
(3)已知函数y＝f(x)满足2f(x)＋f＝2x(x∈R且x≠0)，则f(x)＝________.
(1)x2－x　(2)2x－或－2x＋1
(3)x－　[(1)因为x∈R，
所以令t＝x＋1∈R，则x＝t－1，
代入f(x＋1)＝x2＋x，
得f(t)＝(t－1)2＋(t－1)＝t2－t，t∈R，
即f(x)＝x2－x.
(2)由f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x－1，
所以
解得或
所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(3)由2f(x)＋f＝2x， ①
将x换成，则换成x，
得2f＋f(x)＝， ②
①×2－②，得3f(x)＝4x－，
所以f(x)＝x－.]
求函数解析式的常用方法
?1?待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程?组?，通过解方程?组?求出待定系数，进而求出函数解析式.
?2?换元法?有时可用“配凑法”?：已知函数f[g?x?]的解析式求f?x?的解析式，可用换元法?或“配凑法”?，即令g?x?＝t，反解出x，然后代入f[g?x?]中求出f?t?，从而求出f?x?.
?3?消元法?或解方程组法?：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法?或解方程组法?.
2．(1)设函数g(x)＝2x－1，则g(x＋2)＝(　　)
A．2x＋1　　　　　 B．2x－1
C．2x＋3 D．2x－3
(2)设f(x)＝2x－3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)＝(　　)
A．2x＋1 B．2x＋3
C．2x－7 D．2x－3
(1)C　(2)C　[(1)因为g(x)＝2x－1，所以g(x＋2)＝2(x＋2)－1＝2x＋3.
(2)g(x＋2)＝f(x)＝2x－3，令t＝x＋2，则x＝t－2.
所以g(t)＝2(t－2)－3＝2t－7，即g(x)＝2x－7.]
分段函数及应用
[探究问题]
1．已知函数f(x)＝3|x－1|－2.
(1)把函数f(x)写成分段的形式；
(2)画出函数f(x)的图像；
(3)观察f(x)的图像，它是轴对称图形吗？若是，它的对称轴是什么？
(4)如何由函数g(x)＝3|x|的图像得到f(x)＝3|x－1|－2的图像？
提示：(1)f(x)＝
(2)分段画函数图像：
(3)f(x)的图像是轴对称图形，其对称轴为直线x＝1.
(4)把函数y＝3|x|的图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度可得到函数y＝3|x－1|－2的图像．
2．设函数f(x)＝
(1)求f与f；
(2)若f(x0)＝4，求实数x0的值．
提示：(1)f＝－＝，f＝2＝.
(2)由f(x0)＝4，
得或
解得x0＝－4或2.
3．对于探究2中的函数，探究以下问题．
(1)若f(x)≤，求x的取值范围；
(2)求函数f(x)的值域．
提示：(1)由f(x)≤，
得或
解得－≤x≤0，或0所以，x的取值范围是.
(2)当x≤0时，f(x)≥0；当x>0时，f(x)>0，
所以，f(x)的值域为[0，＋∞)∪(0，＋∞)＝[0，＋∞)．
【例3】　已知f(x)＝
(1)求f{f[f(5)]}的值；
(2)画出该函数的图像；
(3)根据所画图像，写出函数的定义域，值域．
[思路探究]　(1)从里向外依次求值，每一次求值时，应先判断自变量的取值属于哪一段，再利用该段的解析式求值；(2)分段画函数图像；(3)观察函数图像写出定义域，值域．
[解]　(1)f{f[f(5)]}＝f[f(－3)]＝f(1)＝－1.
(2)
(3)定义域为(－∞，0]∪(0,4]∪(4，＋∞)＝R，值域为(－∞，4]∪[－1,8]∪(－∞，－2)＝R.
1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
2．多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
3．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
4．研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数的图像时，可先将各段的图像分别画出来，再将它们连在一起得到整个函数的图像．
3．(1)函数f(x)＝则f(2)＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
(2)已知f(x)＝若f(x)>2，求x的取值范围．
(1)A　[f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝1－2＝－1.]
(2)解：当x≥－2时，f(x)＝x＋2，
由f(x)>2，得x＋2>2，
解得x>0，故x>0；
当x<－2时，f(x)＝－x－2，
由f(x)>2，得－x－2>2，
解得x<－4，故x<－4.
综上可得：x>0或x<－4.
1．函数三种表示法的优缺点
2．理解分段函数应注意的问题
(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．
(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图像时，可先将各段的图像分别画出来，从而得到整个函数的图像．
3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等.
1．思考辨析
(1)任何一个函数都可以用解析法表示．(　　)
(2)y＝是分段函数．(　　)
(3)函数y＝的值域是[0，＋∞)．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．已知f(x2－1)＝x4－x2＋1，则f(x)＝________.
x2＋x＋1(x≥－1)　[因为f(x2－1)＝x4－x2＋1＝(x2－1)2＋(x2－1)＋1，所以f(x)＝x2＋x＋1(x≥－1)．]
3．如图，函数f(x)的图像是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f的值等于________．
2　[由函数f(x)图像，知f(1)＝2，f(3)＝1，
∴f＝f(1)＝2.]
4．已知函数y＝|x－1|＋|x＋2|.
(1)作出函数的图像；
(2)写出函数的值域；
(3)判断方程|x－1|＋|x＋2|＝4有多少个实数解？
[解]　(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x＝1，第二个绝对值的分段点x＝－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)．
所以已知函数可写成分段函数形式：
y＝|x－1|＋|x＋2|＝
在相应的x取值范围内，分别作出相应函数的图像，如图所示，即为所求函数的图像．
(2)根据函数的图像可知：值域为[3，＋∞)．
(3)由于直线y＝4与函数y＝|x－1|＋|x＋2|的图像有2个交点，所以，方程|x－1|＋|x＋2|＝4有2个实数解．